Examkin

Analitik Geometri

33 soru

Soru 21Soru →

Analitik düzlemde bir karenin bir köşesi A(2,−3)A(2, -3) noktasıdır. Bu karenin bir köşegeni 3x−4y−8=03x - 4y - 8 = 0 doğrusu üzerindedir.

Buna göre, bu karenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Karenin alanı 8 birimkaredir.
Verilen nokta doğru üzerinde olmadığından, bu doğru karenin A noktasından geçmeyen diğer köşegenini taşımaktadır. A noktasının bu doğruya olan uzaklığı (2 birim), karenin köşegenlerinin kesişim noktasına olan uzaklığıdır; yani köşegenin yarısıdır. Köşegen uzunluğu 4 birim olur. Alan formülü (Köşegen² / 2) kullanılarak 8 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A noktasının verilen doğruya olan uzaklığını hesapla.
d=∣3(2)−4(−3)−8∣32+(−4)2=∣6+12−8∣5=105=2d = \frac{|3(2) - 4(-3) - 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 12 - 8|}{5} = \frac{10}{5} = 2 birim.
Karenin bir köşegeni doğru üzerindedir, A noktası ise bu doğru üzerinde değildir. Bu durumda A noktasının doğruya uzaklığı, karenin yarım köşegen uzunluğuna eşittir.
2
Karenin köşegen uzunluğunu bul.
Yarım köşegen (dd) 2 birim olduğuna göre, tam köşegen uzunluğu (DD) 2×2=42 \times 2 = 4 birimdir.
Karede köşegenler birbirini dik ortalar.
3
Karenin alanını köşegen uzunluğunu kullanarak hesapla.
Alan = D22=422=162=8\frac{D^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 birimkare.
Karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Noktanın doğruya olan uzaklığı ve karede köşegen-alan ilişkisi.

İpuçları

1
Öncelikle A noktasının verilen doğru üzerinde olup olmadığını kontrol edin. Değilse, noktanın doğruya olan uzaklığını hesaplayın.
2
Karede köşegenler birbirini dik ortalar. Bulduğunuz uzaklık, karenin merkezi ile bir köşesi arasındaki mesafedir.
3
Noktanın doğruya uzaklığı (d) yarım köşegendir. Tam köşegen (D) 2d olur. Karenin alanı D²/2 formülüyle bulunur.

Alternatif Yöntem

Bulunan yarım köşegen uzunluğu h=2h=2 ise, Pisagor bağıntısından karenin bir kenarı aa için (a/2)2+(a/2)2(a/2)^2 + (a/2)^2 değil, merkezdeki dik üçgenler kullanılır: 22+22=a2⇒a2=82^2 + 2^2 = a^2 \Rightarrow a^2 = 8. Doğrudan a2a^2 zaten alandır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →

Dik koordinat düzleminde noktaların eksenler üzerindeki yerleşimi, o noktanın koordinat değerlerinden en az birinin sıfır olmasıyla belirlenir. A(a−3,4)A(a-3, 4) noktası yy ekseni üzerinde, B(−2,b+5)B(-2, b+5) noktası ise xx ekseni üzerindedir. Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2-2

Cevap

Verilen noktaların eksenler üzerindeki konumlarına göre koordinatları sıfıra eşitlenerek bulunan a=3a=3 ve b=−5b=-5 değerlerinin toplamı olan −2-2 cevabı doğrudur.
Analitik düzlemde bir nokta yy ekseni üzerindeyse bu noktanın apsis değeri 00 olmalıdır. Dolayısıyla a−3=0a-3=0 eşitliğinden a=3a=3 bulunur. Aynı şekilde, bir nokta xx ekseni üzerindeyse ordinat değeri 00 olmalıdır; bu durumda b+5=0b+5=0 eşitliğinden b=−5b=-5 elde edilir. Bu iki değer toplandığında 3+(−5)=−23 + (-5) = -2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
A(a−3,4)A(a-3, 4) noktasının yy ekseni üzerinde olma şartını uygula.
a−3=0  ⟹  a=3a - 3 = 0 \implies a = 3
yy ekseni üzerindeki tüm noktaların apsis (xx) değeri 00'dır.
2
B(−2,b+5)B(-2, b+5) noktasının xx ekseni üzerinde olma şartını uygula.
b+5=0  ⟹  b=−5b + 5 = 0 \implies b = -5
xx ekseni üzerindeki tüm noktaların ordinat (yy) değeri 00'dır.
3
Bulunan aa ve bb değerlerini topla.
3+(−5)=−23 + (-5) = -2
Soruda bizden istenen a+ba + b toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde eksenler üzerindeki noktaların koordinat özellikleri (xx ekseni için y=0y=0, yy ekseni için x=0x=0).

İpuçları

1
yy ekseni üzerinde bulunan bir noktanın xx koordinatı (apsisi) her zaman sıfırdır.
2
BB noktası xx ekseni üzerinde olduğuna göre, parantez içindeki ikinci değer olan b+5b+5 ifadesini sıfıra eşitleyiniz.
3
a−3=0a-3=0 ve b+5=0b+5=0 denklemlerinden aa ve bb sayılarını çekip, ardından bu iki sayıyı toplayarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Noktaların eksenlere olan uzaklıkları sorulsaydı mutlak değer kullanmanız gerekeceğini unutmayın.
Tahmini Süre:45s
Soru 23Soru →

Analitik düzlemde (x−2)2+(y+1)2=4(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4 denklemi ile verilen çembere teğet olan 3x−4y+k=03x - 4y + k = 0 doğrusu için, kk gerçel sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -20

Cevap

k değerlerinin toplamı -20'dir.
Çemberin merkezi M(2,−1)M(2, -1) ve yarıçapı r=2r=2'dir. Teğet doğrusu 3x−4y+k=03x - 4y + k = 0 olduğuna göre, merkezin bu doğruya uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır. Uzaklık formülünden ∣10+k∣/5=2|10+k|/5 = 2 elde edilir. Buradan ∣10+k∣=10|10+k|=10 bulunur. Bu eşitliği sağlayan değerler k=0k=0 ve k=−20k=-20'dir. Toplamları -20 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Çember denklemini analiz et.
Merkez M(2,−1)M(2, -1), Yarıçap r=2r = 2.
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 formundaki denklemden merkez (a,b)(a,b) ve yarıçap rr bulunur.
2
Teğet olma şartını uygula.
Merkezin doğruya uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır: d=rd = r.
Bir doğrunun çembere teğet olması için, çember merkezinin doğruya olan dik uzaklığı yarıçap kadar olmalıdır.
3
Noktanın doğruya uzaklığı formülünü kullan.
∣3(2)−4(−1)+k∣32+(−4)2=2\frac{|3(2) - 4(-1) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 2
Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 doğrusuna (x0,y0)(x_0, y_0) noktasının uzaklığı d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} formülü ile hesaplanır.
4
Denklemi düzenle ve mutlak değeri çöz.
∣6+4+k∣5=2⇒∣10+k∣=10\frac{|6 + 4 + k|}{5} = 2 \Rightarrow |10 + k| = 10
Paydada 25=5\sqrt{25}=5 bulunur, içler dışlar çarpımı yapılır.
5
Olası k değerlerini bul ve topla.
10+k=10⇒k1=010 + k = 10 \Rightarrow k_1 = 0 veya 10+k=−10⇒k2=−2010 + k = -10 \Rightarrow k_2 = -20. Toplam: 0+(−20)=−200 + (-20) = -20.
∣x∣=a|x| = a ise x=ax = a veya x=−ax = -a olur.

Anahtar Kavram

Noktanın Doğruya Uzaklığı ve Çember Teğeti

İpuçları

1
Önce verilen çember denklemini kullanarak çemberin merkez koordinatlarını ve yarıçapını belirleyin.
2
Bir doğrunun bir çembere teğet olması için, çemberin merkezinin bu doğruya olan uzaklığının neye eşit olması gerektiğini hatırlayın.
3
Noktanın doğruya uzaklığı formülü d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}'dir. Bu formülde d=rd=r eşitliğini kurarak kk'yi bulun.

Daha Fazla Pratik

Aynı çembere dıştan teğet olan, eğimi bilinen doğruların denklemlerini bulma üzerine bir soru çözün.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 24Soru →

Dik koordinat düzleminde, köşe noktaları O(0,0)O(0,0), A(6,0)A(6,0) ve B(0,2)B(0,2) olan OABOAB üçgeninin y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınarak ikinci bir üçgen elde ediliyor. Buna göre, elde edilen bu iki üçgenin kesişim bölgesinin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İki üçgenin kesişim bölgesinin alanı 3 birimkaredir.
Verilen üçgenin ve simetriğinin kesişimi, köşeleri orijin, eksenler üzerindeki en yakın noktalar ve hipotenüslerin kesişim noktası olan bir dörtgendir. Bu dörtgenin alanı, iki küçük üçgene ayrılarak hesaplandığında 3 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk üçgenin kenar doğrularını ve simetriğini belirle.
OABOAB üçgeninin hipotenüsü ABAB doğrusudur. A(6,0)A(6,0) ve B(0,2)B(0,2) noktalarından geçen doğru denklemi: y−0=2−00−6(x−6)⇒y=−13x+2y - 0 = \frac{2-0}{0-6}(x-6) \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + 2.
Üçgenin sınırlarını belirleyen doğruların denklemleri kesişim noktasını bulmak için gereklidir.
2
Simetrik üçgenin hipotenüs denklemini bul.
y=−13x+2y = -\frac{1}{3}x + 2 doğrusunun y=xy=x doğrusuna göre simetriği, xx ve yy yer değiştirilerek bulunur: x=−13y+2⇒3x=−y+6⇒y=−3x+6x = -\frac{1}{3}y + 2 \Rightarrow 3x = -y + 6 \Rightarrow y = -3x + 6.
İkinci üçgenin sınır doğrusu, ilk doğrunun y=xy=x'e göre simetriğidir.
3
İki hipotenüsün kesişim noktasını (PP) bul.
−13x+2=−3x+6-\frac{1}{3}x + 2 = -3x + 6 denklemi çözülür. 8x3=4⇒x=128=1,5\frac{8x}{3} = 4 \Rightarrow x = \frac{12}{8} = 1,5. y=−3(1,5)+6=1,5y = -3(1,5) + 6 = 1,5. Kesişim noktası P(1,5;1,5)P(1,5; 1,5).
Kesişim bölgesi, eksenler ve bu iki doğrunun kesişim noktası ile sınırlıdır.
4
Kesişim bölgesinin alanını hesapla.
Bölge köşeleri O(0,0)O(0,0), B′(2,0)B'(2,0), P(1,5;1,5)P(1,5; 1,5) ve B(0,2)B(0,2) olan bir deltoiddir. Alanı, OPOP köşegeni ile iki üçgene ayrılarak hesaplanır: Alan=Alan(OB′P)+Alan(OBP)=2⋅1,52+2⋅1,52=1,5+1,5=3Alan = Alan(OB'P) + Alan(OBP) = \frac{2 \cdot 1,5}{2} + \frac{2 \cdot 1,5}{2} = 1,5 + 1,5 = 3.
Çokgenin alanı, tabanları eksenler üzerinde olan iki üçgenin toplamı olarak kolayca hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde simetri ve doğruların kesişimi ile oluşan bölgelerin alan hesabı.

İpuçları

1
Önce AA ve BB noktalarının y=xy=x doğrusuna göre simetriklerini bularak ikinci üçgenin köşe noktalarını belirleyin.
2
İki üçgenin hipotenüs doğrularının denklemlerini yazıp ortak kesişim noktasını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu y=−xy=-x simetriği için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Grafik çizilerek kesişim bölgesinin (0,0)(0,0), (2,0)(2,0), P(1,5;1,5)P(1,5; 1,5) ve (0,2)(0,2) noktaları olduğu görülür. Bu şekil y=xy=x doğrusu üzerinde katlandığında simetrik olduğundan, alanı 2×(Taban 2×Yu¨kseklik 1,5/2)=32 \times (\text{Taban } 2 \times \text{Yükseklik } 1,5 / 2) = 3 olarak bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 25Soru →

Analitik düzlemde A(1,4)A(1, 4) noktasının y=2x−3y = 2x - 3 doğrusuna göre simetriği olan nokta B(a,b)B(a, b) olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Simetrik nokta B(5, 2) bulunur ve koordinatları toplamı 7'dir.
Doğru cevap, noktanın doğruya göre simetriği alınırken izlenen 'dik doğru denklemi kurma', 'kesişim noktasını bulma' ve 'orta nokta formülünü tersten uygulama' adımlarının eksiksiz yapılmasıyla 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimi bulunur ve simetri ekseni olan dik doğrunun eğimi belirlenir.
m1=2m_1 = 2 olduğundan, dik doğrunun eğimi m2=−1/2m_2 = -1/2 olur.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1).
2
A(1, 4) noktasından geçen ve eğimi -1/2 olan doğrunun denklemi yazılır.
y−4=−12(x−1)⇒2y−8=−x+1⇒x+2y−9=0y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow 2y - 8 = -x + 1 \Rightarrow x + 2y - 9 = 0.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi: y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1).
3
İki doğrunun kesişim noktası (orta nokta M) bulunur.
y=2x−3y = 2x - 3 ile x+2y=9x + 2y = 9 ortak çözülürse x+2(2x−3)=9⇒5x=15⇒x=3x + 2(2x - 3) = 9 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3. Buradan y=3y = 3 bulunur. M(3, 3).
Simetrik iki noktanın tam ortasındaki nokta, simetri ekseni (ayna) görevi gören doğru üzerindedir.
4
Orta nokta formülü kullanılarak B(a, b) noktasının koordinatları hesaplanır.
1+a2=3⇒a=5\frac{1 + a}{2} = 3 \Rightarrow a = 5 ve 4+b2=3⇒b=2\frac{4 + b}{2} = 3 \Rightarrow b = 2. B(5, 2).
M noktası, A ve B noktalarının orta noktasıdır.
5
Koordinatların toplamı hesaplanır.
a+b=5+2=7a + b = 5 + 2 = 7.
Soruda istenen sonuç.

Anahtar Kavram

Analitik geometride bir noktanın bir doğruya göre simetriği, o noktadan doğruya inilen dikmenin doğruyu kestiği noktaya eşit uzaklıktaki diğer uç noktadır.

İpuçları

1
Bir noktanın bir doğruya göre simetriğini bulmak için, önce o noktadan geçen ve verilen doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmalısın.
2
Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir. Verilen doğrunun eğimi 2 olduğuna göre, dik doğrunun eğimi -1/2 olacaktır.
3
İki doğrunun kesişim noktası (orta nokta) bulunduktan sonra, A noktası ile bu orta nokta arasındaki mesafeyi diğer tarafa taşıyarak B noktasını bulabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu noktanın noktaya göre simetriği üzerinden çözerek aradaki farkı pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Özel bir formül kullanmadan, şıklardan giderek bulunan noktanın orta noktasının doğru denklemini sağlayıp sağlamadığı kontrol edilebilir (ancak bu yöntem toplam sorulduğu için zordur).
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 26Soru →

Dik koordinat düzleminde 3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0 doğrusuna, bu doğrunun xx eksenini kestiği noktada dik olan doğrunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −163-\frac{16}{3}

Cevap

Doğrunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı −163-\frac{16}{3} olarak bulunur.
Verilen 3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0 doğrusunun xx eksenini kestiği nokta (−4,0)(-4, 0) ve eğimi 34\frac{3}{4}'tür. Bu doğruya dik olan doğrunun eğimi −43-\frac{4}{3} olmalıdır. (−4,0)(-4, 0) noktasından geçen ve eğimi −43-\frac{4}{3} olan doğrunun denklemi y=−43x−163y = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3} şeklindedir. Bu doğrunun yy eksenini kestiği yer, x=0x=0 için −163-\frac{16}{3} değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0 doğrusunun xx eksenini kestiği noktayı bulun.
y=0y = 0 için 3x+12=0⇒x=−43x + 12 = 0 \Rightarrow x = -4. Nokta: P(−4,0)P(-4, 0)
Soruda dik olan doğrunun bu noktadan geçtiği belirtilmiştir.
2
3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0 doğrusunun eğimini bulun.
4y=3x+12⇒y=34x+34y = 3x + 12 \Rightarrow y = \frac{3}{4}x + 3. Eğim m1=34m_1 = \frac{3}{4}
İki doğrunun diklik şartını kullanabilmek için birinci doğrunun eğimi gereklidir.
3
Dik olan ikinci doğrunun eğimini hesaplayın.
m1⋅m2=−1⇒34⋅m2=−1⇒m2=−43m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \frac{3}{4} \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -\frac{4}{3}
Dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir.
4
P(−4,0)P(-4, 0) noktasından geçen ve eğimi −43-\frac{4}{3} olan doğrunun denklemini yazın.
y−0=−43(x−(−4))⇒y=−43x−163y - 0 = -\frac{4}{3}(x - (-4)) \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3}
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılmıştır.
5
Yeni doğrunun yy eksenini kestiği noktayı (ordinatı) bulun.
x=0x = 0 için y=−163y = -\frac{16}{3}
Bir doğrunun yy eksenini kestiği noktayı bulmak için xx yerine 00 yazılır.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde diklik şartı ve doğru denklemi kurma

İpuçları

1
Önce verilen doğrunun xx eksenini kestiği noktayı ve eğimini bularak işe başlayın.
2
Dik doğruların eğimleri çarpımının −1-1 olduğunu hatırlayarak yeni doğrunun eğimini bulun.
3
Bulduğunuz nokta ve eğimi kullanarak y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülüyle yeni doğru denklemini yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, bir noktanın bir doğruya göre simetriği olan noktadan geçen doğruları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 27Soru →

Dik koordinat düzleminde d1:3x−4y+11=0d_1: 3x - 4y + 11 = 0 ve d2:3x−4y−4=0d_2: 3x - 4y - 4 = 0 doğruları veriliyor. Karşılıklı iki kenarı bu doğrular üzerinde bulunan bir karenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Karenin alanı 9 birimkaredir.
Verilen doğruların katsayıları aynı olduğu için paraleldirler. Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülü olan h=∣C1−C2∣A2+B2h = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} uygulandığında, pay kısmında ∣11−(−4)∣=15|11 - (-4)| = 15 ve payda kısmında 32+(−4)2=5\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 değerleri elde edilir. Buradan uzaklık (karenin bir kenarı) 15/5=315/5 = 3 birim olarak bulunur. Karenin alanı bir kenarının karesi olduğundan 32=93^2 = 9 birimkare sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların paralelliğinin ve genel denklemlerinin kontrol edilmesi
d1d_1 ve d2d_2 doğrularının katsayıları (33 ve −4-4) aynı olduğundan bu doğrular paraleldir.
Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için katsayıların oranlı veya eşit olması gerekir.
2
Paralel doğrular arasındaki uzaklığın (hh) hesaplanması
h=∣11−(−4)∣32+(−4)2=155=3h = \frac{|11 - (-4)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{5} = 3 birim
Karenin karşılıklı iki kenarı bu doğrular üzerindeyse, doğrular arası dik uzaklık karenin bir kenar uzunluğuna eşittir.
3
Karenin alanının hesaplanması
Alan =h2=32=9= h^2 = 3^2 = 9 birimkare
Bir kenarı aa olan karenin alanı a2a^2 formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü

İpuçları

1
Karenin karşılıklı kenarları paraleldir; bu doğrular arasındaki dik uzaklık size karenin bir kenarını verecektir.
2
Ax+By+C1=0Ax + By + C_1 = 0 ve Ax+By+C2=0Ax + By + C_2 = 0 doğruları arasındaki uzaklık h=∣C1−C2∣A2+B2h = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} formülü ile bulunur.
3
Formüldeki değerleri yerine koyduğunuzda ∣11−(−4)∣|11 - (-4)| ifadesini 32+(−4)2\sqrt{3^2 + (-4)^2} değerine bölerek kenar uzunluğunu bulun ve sonucun karesini alın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda karenin çevresini veya köşegen uzunluğunu bulmaya çalışarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Doğrulardan biri üzerinde (örneğin d2d_2 üzerinde) bir nokta seçip (örneğin (0,−1)(0, -1) noktası), bu noktanın d1d_1 doğrusuna olan uzaklığını 'noktanın doğruya uzaklığı' formülü ile hesaplayarak da kenar uzunluğuna ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 28Soru →

Dik koordinat düzleminde; y=xy = x ve y=−2xy = -2x doğruları ile x+y−6=0x + y - 6 = 0 doğrusu arasında kalan sınırlı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Doğruların kesişim noktaları bulunarak hesaplanan üçgenin alanı 27 birimkaredir.
Doğruların kesişim noktaları (0,0)(0,0), (3,3)(3,3) ve (−6,12)(-6,12) olarak bulunur. Bu noktalarla oluşturulan üçgenin alanı determinant formülü veya taban-yükseklik çarpımının yarısı ile hesaplandığında sonuç 27 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların ikişerli kesişim noktalarını (üçgenin köşelerini) belirle.
1. Köşe: y=xy=x ve y=−2xy=-2x orijinde kesişir: O(0,0)O(0,0).
2. Köşe: y=xy=x ve x+y−6=0x+y-6=0 kesişimi: x+x−6=0⇒2x=6⇒x=3,y=3x+x-6=0 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, y=3. Nokta A(3,3)A(3,3).
3. Köşe: y=−2xy=-2x ve x+y−6=0x+y-6=0 kesişimi: x+(−2x)−6=0⇒−x=6⇒x=−6,y=12x+(-2x)-6=0 \Rightarrow -x=6 \Rightarrow x=-6, y=12. Nokta B(−6,12)B(-6,12).
Üçgenin alanını hesaplamak için köşe koordinatlarına ihtiyaç vardır.
2
Köşe koordinatlarını kullanarak determinant yöntemi veya taban-yükseklik formülü ile alanı hesapla.
Determinant Yöntemi:
12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|
=12∣0(3−12)+3(12−0)+(−6)(0−3)∣= \frac{1}{2} |0(3-12) + 3(12-0) + (-6)(0-3)|
=12∣0+36+18∣= \frac{1}{2} |0 + 36 + 18|
=12∣54∣=27= \frac{1}{2} |54| = 27 birimkare.
Koordinatları bilinen bir üçgenin alanı en pratik şekilde determinant yöntemiyle bulunur.
3
Alternatif Yöntem (Taban x Yükseklik) ile sağlama yap.
Taban ∣AB∣=(3−(−6))2+(3−12)2=92+(−9)2=92|AB| = \sqrt{(3-(-6))^2 + (3-12)^2} = \sqrt{9^2 + (-9)^2} = 9\sqrt{2} birim.
Yükseklik (OO'dan x+y−6=0x+y-6=0'a uzaklık) h=∣0+0−6∣12+12=62=32h = \frac{|0+0-6|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} birim.
Alan =12⋅(92)⋅(32)=12⋅27⋅2=27= \frac{1}{2} \cdot (9\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 2 = 27 birimkare.
Sonucun doğruluğunu geometrik formüllerle teyit etmek.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde doğruların kesişim noktaları ve köşe koordinatları bilinen üçgenin alanı.

İpuçları

1
Önce verilen doğruların ikişer ikişer kesişim noktalarını bularak üçgenin köşe koordinatlarını belirleyin.
2
y=xy=x ve y=−2xy=-2x doğruları orijinden geçer. Diğer köşeleri bulmak için bu denklemleri sırayla x+y−6=0x+y-6=0 denkleminde yerine yazın.
3
Köşe koordinatları (0,0)(0,0), (3,3)(3,3) ve (−6,12)(-6,12) olan üçgenin alanını hesaplamak için 12∣x1y2−y1x2+...∣\frac{1}{2} |x_1y_2 - y_1x_2 + ...| determinant formülünü kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, köşe koordinatları verilen bir dörtgenin alanını iki üçgene ayırarak hesaplama sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Taban-Yükseklik Yöntemi: Taban olarak A(3,3)A(3,3) ve B(−6,12)B(-6,12) arasındaki uzaklığı, yükseklik olarak ise orijinin x+y−6=0x+y-6=0 doğrusuna olan uzaklığını hesaplayıp Alan = (Taban x Yükseklik)/2 formülünü kullanabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 29Soru →

Dik koordinat düzleminde, eksenler ve 2x+y−8=02x + y - 8 = 0 doğrusu ile sınırlanan üçgensel bölge, y=ky = k doğrusu ile alanları eşit iki bölgeye ayrılıyor. Buna göre kk gerçel sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8−428 - 4\sqrt{2}

Cevap

8−428 - 4\sqrt{2} değeri, bölgeyi iki eşit alana ayıran yatay doğrunun denklemidir.
Üçgenin tepe noktasından çizilen paralel bir doğru ile ayrılan küçük üçgenin alanı tüm alanın yarısı ise, benzerlik oranı 12\frac{1}{\sqrt{2}} olur. Büyük üçgenin yüksekliği 8 birim olduğundan, küçük üçgenin yüksekliği 424\sqrt{2} birimdir. Doğrunun yy eksenindeki yeri ise tepe noktasından bu yükseklik kadar aşağıdadır: 8−428 - 4\sqrt{2}.

Adım Adım Çözüm

1
Eksenleri kestiği noktaları bul
x=0x=0 için y=8y=8, y=0y=0 için x=4x=4. Büyük üçgenin yüksekliği h=8h=8, tabanı 44.
Üçgenin köşe koordinatlarını ve boyutlarını belirlemek için.
2
Benzerlik oranını kur
Üstteki küçük üçgenin alanı, büyük üçgenin alanının yarısıdır (1/2). Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir: (kbenzerlik)2=12(k_{benzerlik})^2 = \frac{1}{2}.
y=ky=k doğrusu xx-eksenine paralel olduğundan oluşan küçük üçgen büyük üçgenle benzerdir.
3
Küçük üçgenin yüksekliğini bul
kbenzerlik=12k_{benzerlik} = \frac{1}{\sqrt{2}}. Küçük yükseklik h′=8⋅12=42h' = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}.
Benzerlik oranını kullanarak kesilen üst parçanın yüksekliğini hesaplamak için.
4
Doğrunun y-koordinatını bul
Tepe noktası y=8y=8 olduğundan, doğrunun yeri k=8−h′=8−42k = 8 - h' = 8 - 4\sqrt{2}.
Bulunan yükseklik tepe noktasından aşağıya doğru olan mesafedir, koordinat düzlemindeki yy değeri istenmektedir.

Anahtar Kavram

Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

İpuçları

1
Eksenleri kestiği noktaları bularak üçgenin tepe noktasının yüksekliğini (yy eksenindeki değeri) belirleyiniz.
2
y=ky=k doğrusu xx-eksenine paralel olduğu için oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir.
3
Alanlar oranı 12\frac{1}{2} olduğuna göre, benzerlik oranı 12\frac{1}{\sqrt{2}} olmalıdır. Büyük yükseklik 8 birimdir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu y=mxy=mx doğrusu (orijinden geçen) ile alanı bölme şeklinde çözünüz.

Alternatif Yöntem

İntegral kullanarak veya yamuk alanını hesaplayarak da çözülebilir: ∫04(8−2x)dx=16\int_{0}^{4} (8-2x) dx = 16. ∫xk4(8−2x−k)dx\int_{x_k}^{4} (8-2x - k) dx yerine üst üçgen alanı = 12⋅Taban⋅(8−k)=8\frac{1}{2} \cdot \text{Taban} \cdot (8-k) = 8.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 30Soru →

Analitik düzlemde A(−2,4)A(-2, 4) ve B(3,−6)B(3, -6) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2-2

Cevap

Verilen noktalardan geçen doğrunun eğimi −2-2 değerine eşittir.
Doğru cevap olan −2-2 seçeneği, eğim formülü olan m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} ifadesinde noktalar doğru şekilde yerleştirilip hesaplandığında elde edilen değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülünü belirleyin.
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Analitik düzlemde bir doğrunun eğimi, üzerindeki iki noktanın ordinatlar farkının apsisler farkına oranıdır.
2
A(−2,4)A(-2, 4) ve B(3,−6)B(3, -6) noktalarının koordinatlarını formülde yerlerine yazın.
m=−6−43−(−2)m = \frac{-6 - 4}{3 - (-2)}
Burada x1=−2,y1=4x_1 = -2, y_1 = 4 ve x2=3,y2=−6x_2 = 3, y_2 = -6 değerleri kullanılmıştır.
3
Pay ve payda kısımlarındaki aritmetik işlemleri yapın.
m=−105m = \frac{-10}{5}
−6−4=−10-6 - 4 = -10 ve 3−(−2)=3+2=53 - (-2) = 3 + 2 = 5 hesaplamaları yapılmıştır.
4
Bölme işlemini tamamlayarak eğimi bulun.
m=−2m = -2
−10-10 sayısının 55 sayısına bölümü −2-2 sonucunu verir.

Anahtar Kavram

İki noktası bilinen doğrunun eğimi

İpuçları

1
Eğimi bulmak için ordinatlar (y) farkını apsisler (x) farkına bölmelisiniz.
2
Formülünüz: m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Noktaları bu formüle yerleştirirken sıralamaya dikkat edin.
3
Pay kısmında −6−4-6 - 4, payda kısmında ise 3−(−2)3 - (-2) işlemlerini yapmanız gerekiyor.

Daha Fazla Pratik

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini yazma konusuna göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Doğru denklemini y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formunda yazıp her iki noktayı sağlatarak da m değerini çekebilirsiniz, ancak doğrudan eğim formülü en hızlı yöntemdir.
Tahmini Süre:45s
Soru 31Soru →

Analitik düzlemde, A(5,0)A(5, 0) noktasının d:2x−y=0d: 2x - y = 0 doğrusuna göre simetriği BB noktasıdır.

Buna göre; köşeleri orijin, AA ve BB noktaları olan OABOAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 birimkare
A(5,0) noktasının y=2x doğrusuna göre simetriği B(-3,4) olarak bulunur. O(0,0), A(5,0) ve B(-3,4) noktaları ile oluşturulan üçgenin tabanı x ekseni üzerinde 5 birim, yüksekliği ise B noktasının y eksenine izdüşümü olan 4 birimdir. Alan formülü uygulandığında sonuç 10 birimkare çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimi bulunur.
2x−y=0⇒y=2x2x - y = 0 \Rightarrow y = 2x olduğundan eğim md=2m_d = 2 olur.
Simetri işlemi için dik doğrunun eğimini bulmak gereklidir.
2
A noktasından geçen ve d doğrusuna dik olan doğrunun denklemi yazılır.
Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir (md⋅mdik=−1m_d \cdot m_{dik} = -1). 2⋅mdik=−1⇒mdik=−1/22 \cdot m_{dik} = -1 \Rightarrow m_{dik} = -1/2. A(5,0) noktasından geçen denklem: y−0=−12(x−5)⇒2y=−x+5⇒x+2y=5y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 5) \Rightarrow 2y = -x + 5 \Rightarrow x + 2y = 5.
Simetri noktası bu dik doğru üzerinde yer alır.
3
İki doğrunun kesişim noktası (K) bulunur.
y=2xy = 2x ve x+2y=5x + 2y = 5 sisteminden: x+2(2x)=5⇒5x=5⇒x=1x + 2(2x) = 5 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1. y=2(1)=2y = 2(1) = 2. Kesişim noktası K(1,2)K(1, 2)'dir.
Kesişim noktası, A noktası ile simetriği olan B noktasının orta noktasıdır.
4
Orta nokta formülü ile B noktasının koordinatları bulunur.
K(1, 2) noktası A(5, 0) ve B(x, y)'nin ortasıdır. 5+x2=1⇒x=−3\frac{5+x}{2}=1 \Rightarrow x=-3 ve 0+y2=2⇒y=4\frac{0+y}{2}=2 \Rightarrow y=4. Böylece B(−3,4)B(-3, 4) bulunur.
B noktası, A'nın K'ya göre yansımasıdır.
5
OAB üçgeninin alanı hesaplanır.
Köşeler: O(0,0)O(0,0), A(5,0)A(5,0), B(−3,4)B(-3,4). Taban ∣OA∣=5|OA| = 5 birim (x ekseni üzerinde). Yükseklik B'nin ordinatının mutlak değeri ∣4∣=4|4| = 4 birim. Alan = 5⋅42=10\frac{5 \cdot 4}{2} = 10 birimkare.
Üçgenin alanı taban ×\times yükseklik / 2 formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Noktanın Doğruya Göre Simetriği

İpuçları

1
Bir noktanın bir doğruya göre simetriğini bulmak için, önce noktadan geçen ve o doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmalısınız.
2
Verilen y=2xy=2x doğrusuna dik olan doğrunun eğimi −1/2-1/2 olmalıdır. Bu iki doğrunun kesişim noktası, A noktası ile B noktasının orta noktasıdır.
3
Orta nokta K(1,2) bulunduktan sonra, A(5,0) noktasına göre simetrik B(-3,4) noktasını bulun. Son olarak tabanı 5 ve yüksekliği 4 olan üçgenin alanını hesaplayın.

Alternatif Yöntem

Determinant (Sarrus) yöntemi ile alan hesabı: Köşeler (0,0), (5,0), (-3,4) matrise yazılır. 1/2∣(0⋅0+5⋅4+(−3)⋅0)−(0⋅5+0⋅(−3)+4⋅0)∣=1/2∣20−0∣=101/2 |(0\cdot0 + 5\cdot4 + (-3)\cdot0) - (0\cdot5 + 0\cdot(-3) + 4\cdot0)| = 1/2 |20 - 0| = 10.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 32Soru →

Analitik düzlemde uç noktalarının koordinatları A(−2,5)A(-2, 5) ve B(4,1)B(4, 1) olan [AB][AB] doğru parçasının orta noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (1,3)(1, 3)

Cevap

Verilen noktaların orta noktası (1,3)(1, 3) koordinatlarına sahiptir.
Orta nokta formülü olan (x1+x22,y1+y22)(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) ifadesinde değerler yerine yazıldığında; xx için −2+42=1\frac{-2+4}{2}=1 ve yy için 5+12=3\frac{5+1}{2}=3 sonuçları elde edilir. Bu da bizi (1,3)(1, 3) noktasına ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Orta nokta formülünü belirle.
M(x0,y0)=(x1+x22,y1+y22)M(x_0, y_0) = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})
Bir doğru parçasının orta noktası, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
2
Apsislerin (x değerleri) ortalamasını hesapla.
x0=−2+42=22=1x_0 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1
Orta noktanın x koordinatını bulmak için uç noktaların x değerleri toplanıp ikiye bölünür.
3
Ordinatların (y değerleri) ortalamasını hesapla.
y0=5+12=62=3y_0 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3
Orta noktanın y koordinatını bulmak için uç noktaların y değerleri toplanıp ikiye bölünür.
4
Sonucu koordinat çifti olarak yaz.
M(1,3)M(1, 3)
Bulunan x ve y değerleri orta noktanın koordinatlarını oluşturur.

Anahtar Kavram

İki noktanın orta noktası, bu noktaların koordinatlarının toplamının yarısına eşittir.

İpuçları

1
Orta nokta, iki ucun tam ortasındaki 'ortalama' değerdir.
2
Apsisleri kendi arasında toplayıp ikiye, ordinatları kendi arasında toplayıp ikiye bölmelisin.
3
A noktasının x değeri −2-2, B noktasının x değeri 44'tür. Toplamları olan 22'yi ikiye bölersek orta noktanın x değerini buluruz.

Daha Fazla Pratik

Orta noktası verilen bir doğru parçasının diğer uç noktasını bulma sorularını çözerek bu konuyu pekiştirebilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 33Soru →

Dik koordinat düzleminde, ∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 eşitsizliği ile belirtilen kapalı bölgenin, y≥1y \ge 1 eşitsizliğini sağlayan kısmının alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İstenen bölgenin alanı 9 birimkaredir.
Verilen ∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 eşitsizliği, merkezi (2,0)(2,0) noktasında olan bir kare belirtir. Bu karenin y≥1y \ge 1 doğrusunun üzerinde kalan kısmı, tabanı y=1y=1 doğrusu üzerinde ve tepe noktası (2,4)(2,4) olan bir üçgendir. Taban uzunluğu 6 birim ve yüksekliği 3 birim olduğundan alan 9 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik bölgelerini tanımla
∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 eşitsizliği, merkezi (2,0)(2, 0) olan ve köşegen uzunlukları 8 birim olan bir kare (eşkenar dörtgen) belirtir. y≥1y \ge 1 eşitsizliği ise y=1y=1 doğrusunun üst kısmını ifade eder.
Geometrik şekli ve kesişim bölgesini belirlemek için sınırları çizmek gerekir.
2
Kesişim bölgesinin sınır noktalarını bul
y=1y=1 doğrusunun eşitsizlik sınırı ile kesiştiği noktalar için ∣x−2∣+1=4⇒∣x−2∣=3|x - 2| + 1 = 4 \Rightarrow |x - 2| = 3 denklemi çözülür. x−2=3⇒x=5x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 ve x−2=−3⇒x=−1x - 2 = -3 \Rightarrow x = -1. Kesişim noktaları (−1,1)(-1, 1) ve (5,1)(5, 1)'dir.
Oluşan üçgensel bölgenin taban uzunluğunu bulmak için köşe koordinatlarına ihtiyaç vardır.
3
Bölgenin tepe noktasını belirle
∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 bölgesinin en üst noktası, x=2x=2 için ∣y∣=4⇒y=4|y|=4 \Rightarrow y=4 noktasıdır. Tepe noktası (2,4)(2, 4)'tür.
Üçgenin yüksekliğini hesaplamak için tepe noktasının bilinmesi gerekir.
4
Üçgenin alanını hesapla
Taban uzunluğu 5−(−1)=65 - (-1) = 6 birim. Yükseklik 4−1=34 - 1 = 3 birim. Alan = 6×32=9\frac{6 \times 3}{2} = 9 birimkare.
Üçgen alanı formülü (Taban x Yükseklik / 2) uygulanır.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Grafiği ve Bölge Alanı

İpuçları

1
Eşitsizliği sağlayan bölgeyi çizmek için önce mutlak değerlerin kritik noktalarını (içini sıfır yapan değerler) bulun.
2
∣x−2∣+∣y∣=4|x - 2| + |y| = 4 denklemi, merkezi (2,0)(2, 0) olan bir kare (eşkenar dörtgen) oluşturur. Tepe noktalarını belirleyin.
3
Bölge, y=1y=1 doğrusu ile kesildiğinde üstte kalan kısım bir üçgendir. Bu üçgenin taban noktalarını bulmak için denklemde y=1y=1 yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, ∣x∣+∣y∣≤6|x| + |y| \le 6 ve y≥xy \ge x eşitsizliklerinin kesişim alanını hesaplayınız.

Alternatif Yöntem

Yamuk alanı yöntemi: y≥0y \ge 0 bölgesinin alanı (yarım kare) 16'dır. 0≤y≤10 \le y \le 1 arasındaki yamuğun alanı ise Alt Taban=8, Üst Taban=6, Yükseklik=1 olduğundan (8+6)/2 * 1 = 7'dir. İstenen alan 16 - 7 = 9 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Analitik Geometri Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin