Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

301 soru

Soru 21Soru →

Bir konferans salonundaki koltuklar 11'den başlanarak nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Teknik bir arıza nedeniyle bir koltuk kullanıma kapatılmıştır. Kullanılabilir durumdaki diğer koltukların numaralarının aritmetik ortalaması 2291122 \frac{9}{11} olarak hesaplandığına göre, kullanıma kapatılan koltuğun numarası kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

Kullanıma kapatılan koltuğun numarası 31'dir.
Soruda verilen ortalama değeri (2291122 \frac{9}{11}) kullanılarak toplam koltuk sayısının (nn) yaklaşık 45 olduğu tahmin edilir. Denklem yerine konulduğunda, n=45n=45 için çıkarılan sayının 31 olduğu ve bu sayının geçerli aralıkta bulunduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri matematiksel ifadelere dök.
Toplam koltuk sayısı nn, çıkarılan koltuk numarası xx olsun. Kalan koltuk sayısı n−1n-1 olur. Ortalama A=22911=25111A = 22 \frac{9}{11} = \frac{251}{11}.
Sözel problemi cebirsel denkleme dönüştürmek için.
2
Toplam formülünü ve ortalama eşitliğini kur.
1'den n'ye kadar toplam: n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}. Kalanların toplamı: n(n+1)2−x\frac{n(n+1)}{2} - x. Ortalama denklemi: n(n+1)2−xn−1=25111\frac{\frac{n(n+1)}{2} - x}{n-1} = \frac{251}{11}.
Bilinmeyenler (nn ve xx) arasında bir ilişki kurmak için.
3
nn değerini tahmin etmek için ortalama özelliğini kullan.
1'den nn'ye kadar sayıların ortalaması yaklaşık n2\frac{n}{2}'dir. Burada ortalama ≈22,8\approx 22,8 olduğundan, n≈45n \approx 45 olmalıdır.
İki bilinmeyenli tek denklemde tamsayı kısıtlamasını kullanarak çözüm aralığını daraltmak için.
4
n=45n=45 değerini denklemde test et.
Denklemde yerine koyarsak: 45(46)2−x44=25111\frac{\frac{45(46)}{2} - x}{44} = \frac{251}{11}. Paydaları eşitlemek için sağ tarafı 4 ile genişletelim: 1035−x44=100444\frac{1035 - x}{44} = \frac{1004}{44}.
Seçilen nn değerinin tamsayı bir xx çözümü verip vermediğini kontrol etmek için.
5
xx değerini hesapla.
1035−x=1004⇒x=311035 - x = 1004 \Rightarrow x = 31. Bulunan xx değeri 1≤x≤451 \le x \le 45 aralığında olduğu için çözüm geçerlidir.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı ve aritmetik ortalama ilişkisi

İpuçları

1
1'den nn'ye kadar olan sayıların toplam formülü n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}'dir. Çıkarılan sayıya xx diyerek yeni toplamı yazın.
2
Kalan sayıların adedi n−1n-1 olacaktır. Ortalama formülü: Kalanların Toplamın−1=22911\frac{\text{Kalanların Toplamı}}{n-1} = 22 \frac{9}{11}.
3
Ortalama yaklaşık 22,822,8 olduğuna göre, nn sayısı 22,8×2≈45,622,8 \times 2 \approx 45,6 civarında bir tamsayı olmalıdır. n=45n=45 değerini deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir sayı eklendiğinde ortalamanın nasıl değiştiğini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Toplamların değişimi üzerinden düşünmek: Ortalama ≈22.8\approx 22.8 ise, çıkarılan sayı ile orijinal ortalama arasındaki fark, yeni ortalamayı belirler. Ancak bu tür sorularda doğrudan formül yerine nn'yi sınırlamak en güvenilir yöntemdir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 22Soru →

İki pozitif tam sayının 1 sayısından başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Bu tanıma göre, aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (1, 45)

Cevap

(1, 45) çifti aralarında asaldır.
1 sayısı ile 45 sayısının 1'den başka hiçbir ortak pozitif tam sayı böleni yoktur. Genel bir kural olarak 1, tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Adım Adım Çözüm

1
Seçeneklerdeki sayı çiftlerinin 1 dışında ortak böleni olup olmadığını kontrol edin.
18 ve 27 (3 ve 9'a bölünür), 25 ve 40 (5'e bölünür), 22 ve 33 (11'e bölünür), 12 ve 14 (2'ye bölünür).
Aralarında asal olmaları için 1'den başka ortak bölenleri olmamalıdır.
2
1 sayısının aralarında asallık kuralındaki yerini değerlendirin.
1 sayısı ile 45 sayısının 1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni yoktur.
Matematiksel bir kural olarak 1 sayısı, bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Anahtar Kavram

İki sayının aralarında asal olması için en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1 olması gerekir.

İpuçları

1
Aralarında asal sayıların kendilerinin asal sayı olma zorunluluğu yoktur.
2
Verilen sayı çiftlerinin EBOB değerlerinin 1 olup olmadığını kontrol edin.
3
1 sayısının tüm pozitif tam sayılarla aralarında asal olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Ardışık iki tam sayının (örneğin 14 ve 15) her zaman aralarında asal olduğunu biliyor muydunuz?

Alternatif Yöntem

Sayıları asal çarpanlarına ayırarak ortak çarpan olup olmadığına bakabilirsiniz. Örneğin 25 = 5² ve 40 = 2³ · 5 olduğu için 5 ortak çarpandır.
Tahmini Süre:45s
Soru 23Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir xx sayısı için, aşağıda verilen durumlardan hangisinin gerçekleşmesi xx sayısının irrasyonel (Q′\mathbb{Q}') olduğunun kesin kanıtıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5\sqrt{5} sayısı ile toplamının rasyonel bir sayı olması

Cevap

5\sqrt{5} sayısı ile toplamının rasyonel bir sayı olması, xx'in irrasyonel olduğunun kesin kanıtıdır.
Rasyonel sayılar kümesi (Q\mathbb{Q}) ile İrrasyonel sayılar kümesi (Q′\mathbb{Q}') ayrık kümelerdir. Bir rasyonel sayı (rr) ile bir irrasyonel sayının (5\sqrt{5}) toplamı veya farkı daima irrasyoneldir. Eğer x+5=rx + \sqrt{5} = r (rasyonel) ise, x=r−5x = r - \sqrt{5} olmak zorundadır. Rasyonel bir sayıdan irrasyonel bir sayı çıkarıldığında sonuç kesinlikle irrasyoneldir. Bu nedenle bu koşul, xx'in irrasyonel olduğunun kesin kanıtıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Seçenek C'yi analiz et
x+5=rx + \sqrt{5} = r (r∈Qr \in \mathbb{Q}) eşitliğini kur.
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökmek için.
2
xx'i yalnız bırak ve kümeleri incele
x=r−5x = r - \sqrt{5} bulunur.
xx sayısının yapısını görmek için.
3
Rasyonel ve İrrasyonel sayıların farkının özelliğini kullan
Rasyonel bir sayıdan (rr), irrasyonel bir sayı (5\sqrt{5}) çıkarıldığında sonuç daima irrasyoneldir. Bu nedenle xx kesinlikle Q′\mathbb{Q}' kümesindedir.
Q−Q′\mathbb{Q} - \mathbb{Q}' işlemi kapalı değildir ve daima Q′\mathbb{Q}' üretir.

Anahtar Kavram

İrrasyonel Sayıların İşlem Özellikleri

İpuçları

1
Şıklardaki her bir ifade için, xx yerine rasyonel bir sayı koyarak ifadenin sağlanıp sağlanamayacağını (aksi örnek) deneyin.

Daha Fazla Pratik

Rasyonel ve irrasyonel sayıların çarpımının her zaman irrasyonel olup olmadığını (sıfır durumu) inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →

a,ba, b ve cc birer tam sayıdır.

a2+a⋅b+a=4c+11a^2 + a \cdot b + a = 4c + 11

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (a+b)⋅c(a + b) \cdot c çift sayıdır

Cevap

(a+b)⋅c(a + b) \cdot c ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen eşitlikte sağ taraf (4c+114c+11) daima tektir. Bu durumda sol taraf (a(a+b+1)a(a+b+1)) da tek olmalıdır. Bir çarpımın tek olması için çarpanların hepsi tek olmalıdır (aa tektir, a+b+1a+b+1 tektir). Bu koşullar sağlandığında aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek sayı olduğu kesinleşir. İki tek sayının toplamı (a+ba+b) çift sayı olduğundan, bu toplamın herhangi bir cc tam sayısıyla çarpımı ((a+b)⋅c(a+b)\cdot c) daima çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafının tekliğini/çiftliğini analiz et.
4c4c daima çifttir (c tam sayı olduğu için). 4c+114c + 11 (Çift + Tek) = Tek sayıdır.
Eşitliğin bir tarafının paritesi (tek/çift durumu), diğer tarafını belirler.
2
Eşitliğin sol tarafını ortak çarpan parantezine al ve analiz et.
a2+a⋅b+a=a(a+b+1)a^2 + a \cdot b + a = a(a + b + 1) olarak yazılabilir. Bu çarpımın sonucu Tek olmalıdır.
Çarpımın sonucu tek ise, çarpanların her biri tek sayı olmalıdır.
3
Çarpanlardan yola çıkarak aa ve bb değişkenlerinin durumunu belirle.
1. Çarpan aa Tektir.
2. Çarpan (a+b+1)(a + b + 1) Tektir.
Tek x Tek = Tek kuralı gereği.
4
bb sayısının durumunu bulmak için ikinci çarpanı çöz.
aa Tek olduğuna göre, (Tek+b+1)(Tek + b + 1) ifadesi (C\cift+b)(Çift + b) olur. Sonucun Tek olması için bb Tek olmalıdır (Çift + Tek = Tek).
Elde edilen verileri yerine koyarak bilinmeyeni bulma.
5
Bulunan a=Tek,b=Teka=Tek, b=Tek ve c=Bilinmiyorc=Bilinmiyor durumlarına göre şıkları değerlendir.
a+ba + b (Tek + Tek) = Çift eder. (a+b)⋅c(a + b) \cdot c ifadesinde bir çarpan (a+b) çift olduğu için sonuç cc'ye bakılmaksızın daima Çifttir.
Çift sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda işlemler ve parite analizi.

İpuçları

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 4c+114c + 11 ifadesinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyerek başlayın.
2
Sol taraftaki ifadeyi aa parantezine alarak çarpanlarına ayırın: a(a+b+1)a(a + b + 1).
3
Çarpım sonucu tek sayı ise, çarpanların her biri tek sayı olmalıdır. Bu bilgiyi kullanarak önce aa'nın, sonra bb'nin durumunu bulun.

Daha Fazla Pratik

İçinde üslü ifadelerin (örn. aba^b) olduğu tek-çift sayı sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (sadece kontrol amaçlı): Sağ tarafın tek olması gerektiğinden, örneğin a=1a=1 verelim. 1+b+1=Tek  ⟹  b+2=Tek  ⟹  b=Tek1 + b + 1 = Tek \implies b+2=Tek \implies b=Tek (örneğin 1). a=1,b=1a=1, b=1 için şıkları test edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 25Soru →

a,ba, b ve cc birer asal sayıdır.

3a=b2−c23a = b^2 - c^2

eşitliği sağlandığına göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Doğru cevap 14'tür (a=7,b=5,c=2a=7, b=5, c=2).
Verilen 3a=b2−c23a = b^2 - c^2 eşitliği çarpanlarına ayrıldığında 3a=(b−c)(b+c)3a = (b-c)(b+c) elde edilir. bb ve cc asal sayı olduğu için b−cb-c çarpanı 3'e eşitlenir (çünkü b−c=1b-c=1 durumu aa'yı tam sayı yapmaz). Farkları 3 olan asal sayılardan biri mutlaka çifttir (c=2c=2), dolayısıyla b=5b=5 olur. Buradan a=7a=7 bulunur ve toplam 14 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafını iki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlarına ayırın.
3a=(b−c)⋅(b+c)3a = (b-c) \cdot (b+c)
b2−c2=(b−c)(b+c)b^2 - c^2 = (b-c)(b+c) özdeşliği kullanılır.
2
Eşitliğin sol tarafındaki 3a3a ifadesinin çarpanlarını analiz edin ve olası (b−c)(b-c) değerlerini belirleyin.
33 ve aa asal olduğu için çarpanlar 1,3,a,3a1, 3, a, 3a olabilir. b+c>b−cb+c > b-c olduğu unutulmamalıdır.
Asal sayıların çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
3
Olası durumları test edin. 1. Durum: b−c=1b-c=1 ve b+c=3ab+c=3a.
b−c=1b-c=1 ise b=3,c=2b=3, c=2 (ardışık asallar). Bu durumda 3+2=5=3a⇒a=5/33+2=5=3a \Rightarrow a=5/3 (Tam sayı değil). Bu durum geçersizdir.
Ardışık asal sayılar sadece 2 ve 3'tür.
4
2. Durum: b−c=3b-c=3 ve b+c=ab+c=a. Bu durumda asalları test edin.
Farkları 3 (tek sayı) olan iki asal sayıdan biri mutlaka çift olmalıdır (Çünkü Tek - Tek = Çift, Tek - Çift = Tek). Çift olan tek asal sayı 2'dir. O halde c=2c=2 olmalıdır. Buradan b−2=3⇒b=5b-2=3 \Rightarrow b=5 bulunur. b=5b=5 asaldır.
Asal sayıların parite (teklik-çiftlik) özelliklerinin kullanılması gerekir.
5
Bulunan bb ve cc değerlerini kullanarak aa'yı hesaplayın ve tüm sayıların asal olup olmadığını doğrulayın.
b+c=a⇒5+2=a⇒a=7b+c = a \Rightarrow 5+2 = a \Rightarrow a=7. 7 bir asal sayıdır. Eşitlik kontrolü: 3(7)=52−22⇒21=25−43(7) = 5^2 - 2^2 \Rightarrow 21 = 25 - 4. Doğru.
Bulunan değerlerin denklemi sağladığı ve hepsinin asal olduğu teyit edilmelidir.
6
a+b+ca+b+c toplamını hesaplayın.
7+5+2=147 + 5 + 2 = 14.
Sonuç adımı.

Anahtar Kavram

Asal sayıların çarpan özellikleri ve parite (teklik-çiftlik) kuralları.

İpuçları

1
b2−c2b^2 - c^2 ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak (b−c)(b+c)(b-c)(b+c) şeklinde yazın.
2
3a3a ifadesinin çarpanlarını düşünün. bb ve cc asal sayı olduğu için (b−c)(b-c) çarpanı ya 1 ya da 3 olabilir. Her iki durumu da deneyin.
3
b−c=3b-c=3 ise, aralarındaki fark tek sayı olan iki sayıdan biri mutlaka çifttir. Asal sayılar içinde çift olan tek sayı 2'dir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →
x,yx, y ve zz tam sayıları için
5xy+43=z\frac{5xy + 4}{3} = z
eşitliği sağlandığına göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅y+zx \cdot y + z

Cevap

x⋅y+zx \cdot y + z ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen denklemde 5xy+4=3z5xy + 4 = 3z eşitliği kurulduğunda, 4 çift olduğu için 5xy5xy ile 3z3z aynı tekliğe/çiftliğe sahip olmalıdır. Çarpanlardaki 5 ve 3 tek sayı oldukları için xyxy ile zz ifadelerinin karakteristiğini değiştirmezler. Bu durumda xyxy tek ise zz de tek, xyxy çift ise zz de çift olur. İki aynı karakterdeki sayının (her ikisi de tek veya her ikisi de çift) toplamı olan x⋅y+zx \cdot y + z ifadesi her zaman çift sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadeyi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyelim.
5xy+4=3z5xy + 4 = 3z
Eşitliğin her iki tarafındaki terimlerin tekliğini ve çiftliğini analiz edebilmek için rasyonel ifadeden kurtulmak gerekir.
2
3z3z ifadesinin ve 5xy+45xy + 4 ifadesinin teklik-çiftlik durumlarını inceleyelim.
Eğer xyxy tek ise, 5xy+45xy + 4 tektir, dolayısıyla 3z3z de tektir (zz tek olur). Eğer xyxy çift ise, 5xy+45xy + 4 çifttir, dolayısıyla 3z3z de çifttir (zz çift olur).
4 sayısı çift bir sayı olduğu için, sonucun tekliğini 5xy5xy terimi belirler; benzer şekilde 3 tek bir sayı olduğu için 3z3z ifadesinin tekliğini zz belirler.
3
Seçenekleri elde edilen xy≡z(mod2)xy \equiv z \pmod 2 bağıntısına göre test edelim.
x⋅yx \cdot y ile zz aynı tekliğe veya çiftliğe sahipse (ikisi de tek veya ikisi de çift), toplamları (x⋅y+zx \cdot y + z) daima çift olur.
İki tek sayının toplamı çift, iki çift sayının toplamı da çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Temel İşlemler

İpuçları

1
Denklemi önce 5xy+4=3z5xy + 4 = 3z şeklinde yazarak rasyonel ifadeden kurtulmayı dene.
2
Eşitlikte 4 çift, 5 ve 3 ise tek sayılardır. Bu durum xyxy ile zz arasında nasıl bir ilişki kurmanı sağlar?
3
xyxy ve zz ifadelerinin her zaman aynı türden (ikisi de tek ya da ikisi de çift) olması gerektiğini fark ettiğinde, toplamlarının sonucunu düşün.

Daha Fazla Pratik

İçinde rasyonel ifade barındıran tek-çift sayı sorularında her zaman önce içler dışlar çarpımı yaparak tam sayı eşitliği elde etmeye odaklanmalısın.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemini kullanarak hızlıca eleme yapabilirsin: x=1,y=1x=1, y=1 için z=3z=3 olur. Bu değerleri şıklarda yerine koyup tek çıkanları eleyebilirsin. Ardından x=1,y=4x=1, y=4 için z=8z=8 değerlerini deneyerek kalan seçenekleri test edebilirsin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 27Soru →

A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakam olmak üzere; ABC, BCA ve CAB üç basamaklı doğal sayılardır.

ABC+BCA+CAB=2442ABC + BCA + CAB = 2442

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABC sayısı ile en küçük ABC sayısı arasındaki fark kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 396

Cevap

En büyük ve en küçük değerler arasındaki fark 396'dır.
İfade çözümlendiğinde rakamlar toplamının 22 olduğu görülür. Toplamı 22 eden, rakamları farklı kümeler {9,8,5} ve {9,7,6} dır. En büyük sayı bu kümelerden elde edilebilecek en büyük dizilim olan 985, en küçük sayı ise en küçük yüzler basamağına sahip 589'dur. Fark 396 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi basamak analizi yöntemini kullanarak çözümle.
(100A+10B+C)+(100B+10C+A)+(100C+10A+B)=2442(100A+10B+C) + (100B+10C+A) + (100C+10A+B) = 2442 111(A+B+C)=2442111(A + B + C) = 2442
Her bir sayıyı 10'un kuvvetleri cinsinden yazarak denklemi sadeleştirmek gerekir.
2
Rakamların toplamını bul.
A+B+C=2442111=22A + B + C = \frac{2442}{111} = 22
Üç bilinmeyenin toplamına ulaşmak çözüm kümesini daraltır.
3
Toplamı 22 olan, birbirinden farklı ve sıfırdan farklı rakam gruplarını belirle.
Olası kümeler: {9, 8, 5} ve {9, 7, 6}. (Not: {9,9,4} gibi kümeler rakamları farklı şartına uymaz).
En büyük ve en küçük sayıyı oluşturmak için kullanılacak rakamları tespit etmek gerekir.
4
Bu kümeleri kullanarak yazılabilecek en büyük (Max) ve en küçük (Min) ABC sayılarını bul.
En büyük sayı için yüzler basamağı (A) maksimize edilmeli: {9, 8, 5} kümesinden 985985 ve {9, 7, 6} kümesinden 976976 yazılabilir. En büyük ABC=985ABC = 985. En küçük sayı için A minimize edilmeli: {9, 8, 5} kümesinden 589589 ve {9, 7, 6} kümesinden 679679 yazılabilir. En küçük ABC=589ABC = 589.
Farklı kümeler farklı ekstrem değerler verebilir, tüm olasılıklar karşılaştırılmalıdır.
5
Bulunan değerler arasındaki farkı hesapla.
985−589=396985 - 589 = 396
Sonuç adımı.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Kümeleri Optimizasyonu

İpuçları

1
İfadeyi 111(A+B+C)111(A+B+C) şeklinde paranteze alarak sadeleştirin.
2
Rakamlar toplamı 22 olan üç farklı rakamdan oluşan tüm grupları (kümeleri) listeleyin.
3
Sadece {9, 7, 6} değil, {9, 8, 5} kümesini de kontrol etmeyi unutmayın. En küçük sayı için yüzler basamağı en az olan kümeyi seçmelisiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 28Soru →
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
(n+2)!+(n+1)!+n!(n+2)!−(n+1)!−n!=75 \frac{(n+2)! + (n+1)! + n!}{(n+2)! - (n+1)! - n!} = \frac{7}{5}
eşitliğini sağlayan nn sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 5'tir.
Verilen eşitlikte pay ve paydadaki terimler n!n! parantezine alındığında, pay kısmı (n+2)2(n+2)^2, payda kısmı ise n(n+2)n(n+2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında ifade n+2n\frac{n+2}{n} haline gelir. Bu ifade 7/57/5'e eşitlendiğinde, içler dışlar çarpımı sonucunda n=5n=5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesrin pay ve paydasındaki ifadeleri en küçük faktöriyel olan n!n! parantezine alalım.
Pay: n![(n+2)(n+1)+(n+1)+1]n![(n+2)(n+1) + (n+1) + 1], Payda: n![(n+2)(n+1)−(n+1)−1]n![(n+2)(n+1) - (n+1) - 1]
Faktöriyel içeren toplama ve çıkarma işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için ifadeler ortak paranteze alınmalıdır.
2
Parantez içindeki cebirsel ifadeleri düzenleyelim.
Pay: n!(n2+3n+2+n+1+1)=n!(n2+4n+4)n!(n^2 + 3n + 2 + n + 1 + 1) = n!(n^2 + 4n + 4), Payda: n!(n2+3n+2−n−1−1)=n!(n2+2n)n!(n^2 + 3n + 2 - n - 1 - 1) = n!(n^2 + 2n)
Çarpanlara ayırma işlemini görebilmek için ifadelerin açık halleri yazılıp toparlanmalıdır.
3
Elde edilen ifadeleri çarpanlarına ayıralım ve sadeleştirelim.
n!(n+2)2n!⋅n(n+2)=n+2n \frac{n!(n+2)^2}{n! \cdot n(n+2)} = \frac{n+2}{n}
n2+4n+4n^2+4n+4 tam kare ifadedir ve (n+2)2(n+2)^2'ye eşittir; paydadaki ifade ise n(n+2)n(n+2) parantezine alınır.
4
Sadeleşmiş hali verilen değere eşitleyip denklemi çözelim.
n+2n=75⇒5(n+2)=7n⇒5n+10=7n⇒2n=10⇒n=5 \frac{n+2}{n} = \frac{7}{5} \Rightarrow 5(n+2) = 7n \Rightarrow 5n + 10 = 7n \Rightarrow 2n = 10 \Rightarrow n = 5
Tek bilinmeyenli basit denklemin çözümü ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde dört işlem yaparken, terimler en küçük faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirme yapılır.

İpuçları

1
Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için, tüm terimleri ifadedeki en küçük faktöriyel cinsinden yazıp ortak paranteze almalısınız.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 29Soru →
aa ve bb aralarında asal, iki basamaklı iki doğal sayıdır.
a+b=40a + b = 40
olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 399

Cevap

Çarpımın alabileceği en büyük değer 399'dur.
Toplamları 40 olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir. Birbirine en yakın olan (20, 20) çifti aralarında asal olmadığından, bir sonraki en yakın çift olan (19, 21) seçilir. Bu sayılar hem iki basamaklıdır hem de EBOB(19,21)=1EBOB(19, 21)=1 şartını sağladığı için çarpımları olan 399 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Aralarında asal sayıların tanımını hatırla.
EBOB(a,b)=1EBOB(a, b) = 1
İki sayının aralarında asal olması, 1'den başka ortak bölenleri olmaması anlamına gelir.
2
Toplamları sabit olan sayıların çarpımının en büyük değerini bulma kuralını uygula.
Sayılar birbirine en yakın (mümkünse eşit) seçilmelidir.
Sayılar arasındaki fark azaldıkça çarpım artar.
3
a+b=40a+b=40 şartını sağlayan en yakın çiftleri aralarında asallık durumuna göre kontrol et.
20-20 (EBOB=20, olmaz), 19-21 (EBOB=1, olur).
20 ve 20 sayıları aralarında asal değildir. Bir sonraki en yakın çift olan 19 ve 21'in ortak böleni yoktur.
4
En yakın aralarında asal çiftin çarpımını hesapla.
19×21=39919 \times 21 = 399
Şartları sağlayan ve birbirine en yakın olan sayılar 19 ve 21'dir.

Anahtar Kavram

Toplamları verilen iki sayının çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmeli ve aralarında asal olma şartı (EBOB=1) kontrol edilmelidir.

İpuçları

1
Çarpımın en büyük olması için sayıları birbirine mümkün olduğunca yakın seçmeye çalışın.
2
Seçtiğiniz iki basamaklı sayıların ortak böleni olup olmadığını (özellikle 2, 3, 5 gibi küçük asal sayılara bölünüp bölünmediklerini) kontrol edin.
3
Sayılar arasındaki fark 0 (20-20) olduğunda aralarında asallık bozulur. Farkı 2 yaparak (19-21) kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'toplamları 30 olan ve aralarında asal olan kaç farklı (a, b) doğal sayı çifti vardır?' şeklinde çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplamları çift (40) olan iki sayının aralarında asal olması için her iki sayının da tek sayı olması gerektiğini fark edebilirsiniz. Çünkü her ikisi çift olsaydı en azından 2'ye bölünürlerdi. 20'ye en yakın tek sayı çiftleri olan (19, 21) ve (17, 23) denenerek hızlıca sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 30Soru →
xx, 11'den büyük bir doğal sayı olmak üzere,
(x+1)!+(x−1)!x3−1=120 \frac{(x+1)! + (x-1)!}{x^3 - 1} = 120
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, xx kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Verilen eşitliği sağlayan sayı 7'dir.
Verilen ifadede pay kısmı (x−1)!(x-1)! parantezine alındığında (x2+x+1)(x^2+x+1) çarpanı elde edilir. Payda ise küp farkı özdeşliği ile (x−1)(x2+x+1)(x-1)(x^2+x+1) şeklinde açılır. Bu iki çarpan sadeleştiğinde geriye (x−1)!x−1\frac{(x-1)!}{x-1} kalır. Bu ifade (x−2)!(x-2)!'e eşittir. (x−2)!=120(x-2)! = 120 eşitliğinden x−2=5x-2=5 ve buradan x=7x=7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.
(x+1)!+(x−1)!=(x−1)!⋅[(x+1)x+1]=(x−1)!⋅(x2+x+1)(x+1)! + (x-1)! = (x-1)! \cdot [(x+1)x + 1] = (x-1)! \cdot (x^2 + x + 1)
Faktöriyel işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için terimleri ortak paranteze almak gerekir.
2
Payda kısmındaki küp farkı özdeşliğini aç.
x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)
Pay kısmındaki (x2+x+1)(x^2 + x + 1) çarpanı ile sadeleştirme yapabilmek için paydanın çarpanlarına ayrılması gerekir.
3
Kesirli ifadeyi sadeleştir.
(x−1)!⋅(x2+x+1)(x−1)(x2+x+1)=(x−1)!x−1 \frac{(x-1)! \cdot (x^2 + x + 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = \frac{(x-1)!}{x-1}
Ortak çarpanlar birbirini götürür.
4
Kalan ifadeyi faktöriyel tanımına göre düzenle ve sonucu bul.
(x−1)!x−1=(x−2)! \frac{(x-1)!}{x-1} = (x-2)!
(x−2)!=120(x-2)! = 120
120=5!120 = 5! olduğu için x−2=5⇒x=7x-2 = 5 \Rightarrow x=7
n!n=(n−1)!\frac{n!}{n} = (n-1)! kuralı uygulanır ve faktöriyel değeri bilinen sayıya eşitlenir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Sadeleştirme ve Çarpanlara Ayırma

İpuçları

1
Pay kısmındaki (x+1)!(x+1)! ifadesini (x+1)⋅x⋅(x−1)!(x+1) \cdot x \cdot (x-1)! şeklinde yazarak (x−1)!(x-1)! parantezine almayı deneyin.
2
Payda kısmındaki x3−1x^3 - 1 ifadesini a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın.
3
Sadeleştirme sonucunda elde ettiğiniz (x−1)!x−1\frac{(x-1)!}{x-1} ifadesinin (x−2)!(x-2)!'e eşit olduğunu hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Küp toplamı özdeşliği içeren benzer bir faktöriyel sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri deneyerek çözmek de mümkündür. Örneğin x=7x=7 için:
Pay: 8!+6!=40320+720=410408! + 6! = 40320 + 720 = 41040
Payda: 73−1=343−1=3427^3 - 1 = 343 - 1 = 342
Bölüm: 41040/342=12041040 / 342 = 120. Eşitlik sağlandığı için cevap 7'dir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 31Soru →

xx bir çift doğal sayı olmak üzere, xx'ten başlayan 1010 tane ardışık çift tam sayının toplamı KK'dir. Bu sayıların her biri 33 artırıldığında elde edilen yeni sayıların toplamı LL olmaktadır.

7L=8K7L = 8K olduğuna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Aranan xx değeri 12'dir.
Soruda verilen bilgilere göre iki denklem kurulur. İlk olarak, her terim 3 arttığı için yeni toplam LL, eski toplam KK'den 10×3=3010 \times 3 = 30 fazladır (L=K+30L = K + 30). Verilen 7L=8K7L = 8K eşitliğinde LL yerine K+30K+30 yazıldığında K=210K=210 bulunur. İkinci olarak, xx'ten başlayan 10 ardışık çift sayının toplamı formülize edilir: 10x+(0+2+4+...+18)=10x+9010x + (0+2+4+...+18) = 10x + 90. Bu ifade 210'a eşitlendiğinde x=12x=12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
LL ile KK arasındaki ilişkiyi kullanarak KK değerini bul.
L=K+(10×3)=K+30L = K + (10 \times 3) = K + 30 olduğundan, 7(K+30)=8K⇒7K+210=8K⇒K=2107(K+30) = 8K \Rightarrow 7K + 210 = 8K \Rightarrow K = 210.
Her sayı 3 arttığında, 10 sayı için toplam artış 10×3=3010 \times 3 = 30 olur.
2
KK toplamını xx cinsinden ifade et.
Sayilar: x,x+2,x+4,…,x+18x, x+2, x+4, \dots, x+18. Toplam K=10x+(2+4+⋯+18)K = 10x + (2+4+\dots+18).
Ardışık çift sayılar xx'ten başlayarak ikişer ikişer artar.
3
Sabit kısmın toplamını hesapla.
2+4+⋯+18=2(1+2+⋯+9)=2×9×102=902+4+\dots+18 = 2(1+2+\dots+9) = 2 \times \frac{9 \times 10}{2} = 90.
Gauss toplam formülü: n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}.
4
Denklemi kur ve xx'i çöz.
10x+90=210⇒10x=120⇒x=1210x + 90 = 210 \Rightarrow 10x = 120 \Rightarrow x = 12.
Elde edilen toplam ifadesini bulunan sayısal değere eşitleme.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Toplamı ve Denklem Kurma

İpuçları

1
Önce LL ile KK arasındaki matematiksel ilişkiyi terim sayısını dikkate alarak kurunuz. Her sayı 3 artarsa toplam ne kadar artar?
2
L=K+30L = K + 30 eşitliğini soruda verilen orantıda kullanarak KK'nin sayısal değerini bulunuz.
3
K=210K = 210 bulduktan sonra, xx'ten başlayan 10 ardışık çift sayının toplamını (10x+9010x + 90) bu değere eşitleyiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'ardışık tek sayılar' ve 'azalma' durumu için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Ortanca terim mantığıyla da çözülebilir. K=210K=210 ve terim sayısı 10 ise, sayıların ortalaması 21'dir. Ardışık çift sayılar dizisinde ortalama, 5. ve 6. terimin tam ortasıdır. Sayılar: x,x+2,x+4,x+6,x+8,x+10...x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10... 5. terim x+8x+8, 6. terim x+10x+10. Ortalamaları x+9=21⇒x=12x+9 = 21 \Rightarrow x=12.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 32Soru →

aa ve bb birer irrasyonel sayı olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a + b toplamı rasyonel sayı ise a - b farkı irrasyonel sayıdır.

Cevap

a + b toplamı rasyonel sayı ise a - b farkı irrasyonel sayıdır seçeneği doğrudur.
İki sayının toplamı (a+ba+b) rasyonel ise ve sayılardan biri (bb) irrasyonel ise, farkları (a−ba-b) kesinlikle irrasyoneldir. İspatı şöyledir: a+b=qa+b=q (rasyonel) olsun. Bu durumda a−b=(a+b)−2b=q−2ba-b = (a+b) - 2b = q - 2b olur. Rasyonel bir sayıdan (qq), irrasyonel bir sayının 2 katı (2b2b) çıkarıldığında sonuç daima irrasyoneldir. Diğer seçenekler için karşıt örnekler mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
Seçenekleri analiz etmek için karşıt örnek (aksine örnek) verme yöntemini kullanın.
Genel ifadelerin yanlışlığını göstermek için tek bir istisna yeterlidir.
'Daima doğrudur' sorularında yanlış seçenekleri elemek en güvenilir yoldur.
2
Çarpım ve kare alma seçeneklerini (A, B, D, E) test edin.
a=2a=\sqrt{2} ve b=2b=\sqrt{2} için a⋅b=2a \cdot b = 2 (Rasyonel) →\rightarrow A elenir. a=2+1a=\sqrt{2}+1 için a2=3+22a^2 = 3+2\sqrt{2} (İrrasyonel) →\rightarrow B elenir. a=2a=\sqrt{2} ve b=3b=\sqrt{3} için a/ba/b irrasyoneldir →\rightarrow D elenir.
Bu örnekler, verilen önermelerin her zaman geçerli olmadığını kanıtlar.
3
Doğru seçeneği (C) cebirsel olarak kanıtlayın.
a+b=ra+b = r (r∈Qr \in \mathbb{Q}) olsun. Buradan a=r−ba = r-b yazılır. a−ba-b ifadesinde yerine koyarsak: (r−b)−b=r−2b(r-b)-b = r-2b. bb irrasyonel olduğundan 2b2b de irrasyoneldir. Rasyonel bir sayıdan (rr) irrasyonel bir sayı (2b2b) çıkarılırsa sonuç irrasyonel olur.
Sıfırdan farklı rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı/farkı daima irrasyoneldir prensibi kullanılır.

Anahtar Kavram

İrrasyonel Sayıların Özellikleri ve İşlemleri

İpuçları

1
Seçeneklerin doğruluğunu test etmek için aa ve bb yerine basit değerler (örneğin 2\sqrt{2}, −2-\sqrt{2}, 2+1\sqrt{2}+1) vererek elemeye çalışın.
2
Bir seçenekte 'a+b rasyonel ise' şartı varsa, a+b=qa+b=q diyerek aa sayısını q−bq-b şeklinde ifade edin ve istenen durumu kontrol edin.
3
Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı veya farkı daima irrasyoneldir. a−b=(a+b)−2ba-b = (a+b) - 2b eşitliğini kullanarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: a=2+3a = 2+\sqrt{3} ve b=2−3b = 2-\sqrt{3} seçin. aa ve bb irrasyoneldir. Toplamları 44 (Rasyonel). Farkları 232\sqrt{3} (İrrasyonel). Bu örnek doğrudan doğru cevabı destekler ve çarpımın (4−3=14-3=1) rasyonel olduğu özel durumu gösterir, ancak çarpım her zaman rasyonel olmak zorunda değildir (Örn: S=4,P=2S=4, P=\sqrt{2} durumu).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 33Soru →
aa ve bb birer doğal sayı olmak üzere,
a!=72⋅b!a! = 72 \cdot b!
eşitliğini sağlayan aa değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81

Cevap

Eşitliği sağlayan a değerleri 72 ve 9 olduğundan toplamları 81'dir.
Verilen a!=72⋅b!a! = 72 \cdot b! eşitliği a!b!=72\frac{a!}{b!} = 72 şeklinde yazılabilir. Bu ifade, aa sayısından geriye doğru ardışık sayıların çarpımının 72 olduğunu gösterir. 72 sayısı iki farklı şekilde ardışık sayıların çarpımı olarak yazılabilir: 1) Sadece 72 (yani 72!/71!72!/71!), buradan a=72a=72 bulunur. 2) 9⋅89 \cdot 8 (yani 9!/7!9!/7!), buradan a=9a=9 bulunur. Bu değerlerin toplamı 72+9=8172 + 9 = 81 dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği oran formunda yaz
a!b!=72\frac{a!}{b!} = 72
Faktöriyel sadeleştirmesi yaparak ardışık çarpanları görmek için.
2
Kesrin anlamını yorumla
a!b!\frac{a!}{b!} ifadesi, bb'den büyük ve aa'ya kadar olan ardışık tam sayıların çarpımına eşittir.
Örneğin 5!3!=5⋅4\frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 gibi.
3
72 sayısının ardışık çarpanlarını analiz et (Durum 1)
Tek bir sayı olarak düşünülürse: 72=7272 = 72. Bu durumda 72!71!=72\frac{72!}{71!} = 72 olur. Yani a=72,b=71a=72, b=71.
Her sayı kendisinin 1'li ardışık çarpımıdır.
4
72 sayısının ardışık çarpanlarını analiz et (Durum 2)
İki ardışık sayının çarpımı: 9⋅8=729 \cdot 8 = 72. Bu durumda 9!7!=9⋅8=72\frac{9!}{7!} = 9 \cdot 8 = 72 olur. Yani a=9,b=7a=9, b=7.
Çarpım tablosundan 9⋅8=729 \cdot 8 = 72 olduğu bilinmektedir.
5
Üçlü veya daha fazla ardışık çarpım kontrolü yap
4⋅5⋅6=120>724 \cdot 5 \cdot 6 = 120 > 72 ve 3⋅4⋅5=60<723 \cdot 4 \cdot 5 = 60 < 72. Başka çözüm yoktur.
Ardışık sayıların çarpımı hızla büyüdüğü için başka ihtimal kalmamıştır.
6
Bulunan a değerlerini topla
72+9=8172 + 9 = 81
Soruda a değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tanımı ve Ardışık Çarpanlar

İpuçları

1
Eşitliği a!b!=72\frac{a!}{b!} = 72 şeklinde düzenleyerek ardışık çarpanları arayın.
2
a!b!\frac{a!}{b!} ifadesi, bb'den büyük aa'ya kadar olan ardışık tam sayıların çarpımıdır. 72 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabilirsiniz?
3
72 sayısı tek başına bir grup olabilir (a=72,b=71a=72, b=71) veya 9⋅89 \cdot 8 şeklinde iki sayının çarpımı olabilir.

Daha Fazla Pratik

x!=24⋅y!x! = 24 \cdot y! eşitliğini sağlayan kaç farklı (x,y)(x,y) ikilisi vardır sorusu ile konu pekiştirilebilir.

Alternatif Yöntem

Şıklardan gidilerek deneme yapılabilir ancak a değerlerinin toplamı sorulduğu için analitik çözüm daha güvenilirdir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 34Soru →
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!y!=210 \frac{x!}{y!} = 210
eşitliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 232

Cevap

Eşitliği sağlayan xx değerlerinin toplamı 232'dir.
Verilen eşitlikte x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210 olması, y!y!'in x!x!'in içinden sadeleştiğini ve geriye kalan ardışık sayıların çarpımının 210 olduğunu gösterir. 210 sayısı ardışık çarpanlara üç farklı şekilde ayrılabilir: 210210 (tek çarpan), 15⋅1415 \cdot 14 (iki çarpan) ve 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 (üç çarpan). Buna göre xx'in alabileceği değerler 210, 15 ve 7'dir. Toplamları 232 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen faktöriyel ifadesini ardışık sayıların çarpımı olarak yazma.
x!=210⋅y!x! = 210 \cdot y! olduğundan, x!y!=x⋅(x−1)⋅...⋅(y+1)=210\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (y+1) = 210 olmalıdır.
Faktöriyel tanımı gereği x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, xx'ten (y+1)(y+1)'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımıdır.
2
210 sayısının ardışık doğal sayıların çarpımı şeklinde yazılabileceği tüm durumları inceleme (Tek terim, iki terim, üç terim vb.).
Durum 1 (1 Terim): x=210x = 210. Bu durumda y=209y=209 olur.
Durum 2 (2 Terim): Ardışık iki sayının çarpımı n(n−1)=210n(n-1)=210. 15⋅14=21015 \cdot 14 = 210 olduğundan x=15,y=13x=15, y=13.
Durum 3 (3 Terim): Ardışık üç sayının çarpımı n(n−1)(n−2)=210n(n-1)(n-2)=210. 7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210 olduğundan x=7,y=4x=7, y=4.
210 sayısını veren ardışık çarpımlar bulunmalıdır. 4 terim için 4⋅3⋅2⋅1=244 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 olduğundan daha fazla çözüm yoktur.
3
Bulunan xx değerlerini toplama.
xx değerleri: 210,15,7210, 15, 7.
Toplam: 210+15+7=232210 + 15 + 7 = 232.
Soruda xx değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir sayının ardışık doğal sayıların çarpımı olarak yazılması ve faktöriyel sadeleştirmesi.

İpuçları

1
x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, y+1y+1'den xx'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımıdır.
2
210 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazmaya çalışın. Örneğin, 210=15×?210 = 15 \times ? veya 210=7×?×?210 = 7 \times ? \times ?
3
210 sayısını ardışık çarpanlara ayırmanın üç yolu vardır: Tek başına kendisi, iki sayının çarpımı ve üç sayının çarpımı.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 eşitliği için kaç farklı (x,y)(x,y) ikilisi olduğunu inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

210 sayısının asal çarpanlarını (2, 3, 5, 7) kullanarak, bu asalların ardışık sayılar içinde nasıl dağılabileceğini analiz edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 35Soru →
AA ve BB aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,
OKEK(A,B)=300OKEK(A, B) = 300

ve A>BA > B koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre, AA sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4 farklı değer alabilir.
A ve B aralarında asal olduğundan çarpımları OKEK olan 300'e eşittir. 300 sayısı 22⋅31⋅522^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. A ve B'nin ortak böleni olmaması için, her bir asal çarpanın tüm kuvveti (blok olarak) ya A'da ya da B'de bulunmalıdır. Yani elimizde dağıtılacak 3 bağımsız blok ({4}, {3}, {25}) vardır. Bu 3 blok ile 23=82^3 = 8 farklı (A, B) sıralı ikilisi oluşturulabilir. Simetri gereği bu ikililerin yarısında A > B, diğer yarısında B > A'dır. Dolayısıyla A > B koşulunu sağlayan 4 farklı durum vardır: (300, 1), (100, 3), (75, 4) ve (25, 12).

Adım Adım Çözüm

1
OKEK ve aralarında asallık ilişkisini kullanın.
A ve B aralarında asal ise OKEK(A, B) = A · B = 300 olur.
Aralarında asal sayıların en küçük ortak katı, bu sayıların çarpımına eşittir.
2
300 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
300 = 2² · 3¹ · 5² = 4 · 3 · 25
Çarpanların aralarında asal olabilmesi için aynı asal sayının tüm kuvvetleri (blok halinde) tek bir sayıda bulunmalıdır.
3
Asal çarpan gruplarını (blokları) belirleyin.
Gruplar: {4}, {3}, {25}. Bu üç grup bölünmeden A veya B sayılarına dağıtılmalıdır.
Örneğin 2² ifadesini 2 ve 2 diye ayıramayız, çünkü o zaman A ve B'nin her ikisi de 2'ye bölünür ve aralarında asal olmazlar.
4
Olası (A, B) ikililerini oluşturun ve A > B şartını kontrol edin.
Toplam 2³ = 8 durum vardır. A > B olanlar: (300, 1), (100, 3), (75, 4), (25, 12).
Simetriden dolayı 8 durumun yarısında A > B, diğer yarısında B > A olacaktır.

Anahtar Kavram

Aralarında asal sayıların çarpımı OKEK'lerine eşittir ve asal çarpanlar sayılara paylaştırılırken aynı tabana sahip üslü ifadeler parçalanamaz.

İpuçları

1
Aralarında asal iki sayının OKEK'i, bu sayıların çarpımına eşittir.
2
300'ü asal çarpanlarına ayırın: 22⋅3⋅522^2 \cdot 3 \cdot 5^2. Aralarında asallık bozulmasın diye 222^2, 33 ve 525^2 bloklarını parçalamadan A veya B'ye dağıtmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, çarpımları sabit bir sayı olan aralarında asal sayıların toplamının en küçük değeri sorulabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 36Soru →
A,BA, B ve CC sıfırdan farklı birer rakam ve A>B>CA > B > C olmak üzere;
ABCABC üç basamaklı, XYXY iki basamaklı doğal sayıları için,
ABC−(A+B+C)9=XY \frac{ABC - (A + B + C)}{9} = XY
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı ABCABC doğal sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

Koşulu sağlayan 56 farklı ABC sayısı vardır.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 11A+B=XY11A + B = XY elde edilir. XYXY iki basamaklı olduğundan sonuç 100'den küçük olmalıdır. A>B>C>0A > B > C > 0 şartıyla:
A=3A=3 için 1 durum,
A=4A=4 için 3 durum,
A=5A=5 için 6 durum,
A=6A=6 için 10 durum,
A=7A=7 için 15 durum,
A=8A=8 için 21 durum oluşur.
A=9A=9 için 11(9)+B>9911(9)+B > 99 olduğundan çözüm yoktur.
Toplam: 1+3+6+10+15+21=561+3+6+10+15+21 = 56 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte basamak çözümlemesi yap.
(100A+10B+C)−(A+B+C)9=10X+Y  ⟹  99A+9B9=XY\frac{(100A + 10B + C) - (A + B + C)}{9} = 10X + Y \implies \frac{99A + 9B}{9} = XY
Sayıları basamak değerlerine ayırarak denklemi sadeleştirmek gerekir.
2
Sadeleşmiş denklemden XY sayısını A ve B cinsinden ifade et.
11A+B=XY11A + B = XY. Burada XYXY iki basamaklı bir sayı olduğundan 11A+B≤9911A + B \le 99 olmalıdır.
XY'nin iki basamaklı olma şartı, A ve B değerleri üzerinde bir üst sınır oluşturur.
3
A > B > C > 0 şartına uygun A değerleri için kaç farklı (A,B,C) üçlüsü olduğunu hesapla.
A en az 3 olabilir (3>2>1). Her A değeri için olası B ve C sayılarını analiz edelim.
A'nın alabileceği değerlere göre B ve C'nin kombinasyonlarını sistemli bir şekilde saymak gerekir.
4
Her A değeri için durum sayılarını topla.
Toplam = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56
Üçgensel sayı örüntüsü ile her basamak için geçerli sayı adedini bulup topluyoruz.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayma Kuralları

İpuçları

1
Eşitliğin sol tarafındaki ABC−(A+B+C)ABC - (A+B+C) ifadesini basamak değerlerini kullanarak açın (Örn: 100A+10B+C100A+10B+C). Sadeleşme sonrası XYXY sayısını AA ve BB cinsinden bulmaya odaklanın.
2
Denklem 11A+B=XY11A + B = XY haline gelir. XYXY iki basamaklı bir sayı olduğu için 11A+B<10011A + B < 100 olmalıdır. Bu şartı ve A>B>C>0A > B > C > 0 eşitsizliğini sağlayan AA değerlerini deneyin.
3
AA rakamı 3'ten başlayıp en fazla 8 olabilir. A=9A=9 olduğunda 11×9+B11 \times 9 + B değeri 100'ü geçer. Her bir AA değeri için kaç farklı (B,C)(B, C) ikilisi yazılabileceğini tek tek sayıp toplayın.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 37Soru →

AA ve BB sayıları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A=12+14+16+⋯+2nA = 12 + 14 + 16 + \dots + 2n
B=11+13+15+⋯+(2n−1)B = 11 + 13 + 15 + \dots + (2n-1)

A−B=35A - B = 35 olduğuna göre, nn kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40 sayısıdır.
Soruda verilen A ve B dizileri aynı sayıda terimden oluşmaktadır. A dizisi 12'den 2n'e kadar olan çift sayıları, B dizisi ise 11'den (2n-1)'e kadar olan tek sayıları içerir. İfadeler taraf tarafa çıkarıldığında (A-B), her bir terim çifti (12-11), (14-13), ... şeklinde 1 farkını verir. Toplam farkın 35 olması, bu şekilde 35 tane terim çifti olduğunu gösterir. Terim sayısı formülü Son−I˙lkArtıs¸+1\frac{\text{Son} - \text{İlk}}{\text{Artış}} + 1 kullanılarak n−5n-5 bulunur. n−5=35n-5=35 denkleminden n=40n=40 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B ifadelerini taraf tarafa çıkarma yöntemini belirle.
A−B=(12−11)+(14−13)+⋯+(2n−(2n−1))A - B = (12-11) + (14-13) + \dots + (2n - (2n-1))
Her iki serideki terim sayıları eşittir ve terimler ikili gruplar halinde eşleştirildiğinde sabit bir fark oluşur.
2
Oluşan farkların değerini ve kaç tane terim olduğunu hesapla.
Her parantezin içi 11 eder. Terim sayısı: 2n−122+1=2n−122+22=2n−102=n−5\frac{2n-12}{2} + 1 = \frac{2n-12}{2} + \frac{2}{2} = \frac{2n-10}{2} = n-5.
Sonlu toplam formülü kullanılarak terim sayısı bulunur: Son Terim−I˙lk TerimArtıs¸ Miktarı+1\frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1.
3
Toplam farkı terim sayısı ile eşitleyip denklemi çöz.
1×(n−5)=35⇒n−5=35⇒n=401 \times (n-5) = 35 \Rightarrow n-5 = 35 \Rightarrow n = 40.
Her terim çiftinden gelen 1 farkı, toplam terim sayısı ile çarpılarak genel farka eşitlenir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayı Dizilerinde Terim Sayısı Bulma ve Taraf Tarafa İşlem
Soru 38Soru →
A,BA, B ve CC sıfırdan farklı birer rakam ve AB,BC,CAAB, BC, CA iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere,
ABC=2⋅(AB+BC+CA)ABC = 2 \cdot (AB + BC + CA)
eşitliğini sağlayan kaç farklı ABCABC üç basamaklı doğal sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Şartları sağlayan 3 farklı sayı vardır.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 26A=4B+7C26A = 4B + 7C bağıntısı elde edilir. Bu eşitliği sağlayan (A,B,C)(A,B,C) üçlüleri (1,3,2)(1,3,2), (2,6,4)(2,6,4) ve (3,9,6)(3,9,6) olmak üzere toplam 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikteki sayıları çözümleyerek basamak değerlerine göre yazalım.
100A+10B+C=2⋅[(10A+B)+(10B+C)+(10C+A)]100A + 10B + C = 2 \cdot [(10A + B) + (10B + C) + (10C + A)]
Sayıların basamak değerlerini kullanarak denklemi rakamlar cinsinden ifade etmek için.
2
Parantez içindeki ifadeleri toplayıp denklemi düzenleyelim.
100A+10B+C=2⋅(11A+11B+11C)⇒100A+10B+C=22A+22B+22C100A + 10B + C = 2 \cdot (11A + 11B + 11C) \Rightarrow 100A + 10B + C = 22A + 22B + 22C
Denklemi sadeleştirmek için.
3
Aynı türden terimleri bir araya getirip en sade hali elde edelim.
78A−12B−21C=078A - 12B - 21C = 0. Her tarafı 3'e bölelim: 26A=4B+7C26A = 4B + 7C.
Bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi daha net görmek için.
4
A'nın alabileceği değerleri sınırlandıralım. B ve C en fazla 9 olabilir.
4B+7C4B + 7C ifadesinin maksimum değeri 4(9)+7(9)=36+63=994(9) + 7(9) = 36 + 63 = 99 olur. Bu durumda 26A≤9926A \le 99 olduğundan AA rakamı sadece 1, 2 veya 3 olabilir.
Deneme yanılma kümesini daraltmak için.
5
A'nın olası değerleri (1, 2, 3) için denklemi sağlayan B ve C rakamlarını bulalım.
Durum 1 (A=1A=1): 26=4B+7C26 = 4B + 7C. C=2C=2 ise 26=4B+14⇒12=4B⇒B=326 = 4B + 14 \Rightarrow 12 = 4B \Rightarrow B=3. Sayı: 132.
Durum 2 (A=2A=2): 52=4B+7C52 = 4B + 7C. C=4C=4 ise 52=4B+28⇒24=4B⇒B=652 = 4B + 28 \Rightarrow 24 = 4B \Rightarrow B=6. Sayı: 264.
Durum 3 (A=3A=3): 78=4B+7C78 = 4B + 7C. C=6C=6 ise 78=4B+42⇒36=4B⇒B=978 = 4B + 42 \Rightarrow 36 = 4B \Rightarrow B=9. Sayı: 396.
Her bir durum için geçerli çözüm olup olmadığını kontrol etmek için.

Anahtar Kavram

Sayıların çözümlenmesi ve katsayılı Diophantine (tam sayı) denklemlerinin analizi.

İpuçları

1
Eşitliğin her iki tarafındaki sayıları çözümleyerek (100A+10B+C100A+10B+C gibi) yazın.
2
Denklemi sadeleştirdiğinizde 26A=4B+7C26A = 4B + 7C eşitliğini elde etmelisiniz.
3
BB ve CC rakamlarının en fazla 9 olabileceğini düşünerek AA'nın alabileceği maksimum değeri belirleyin.

Alternatif Yöntem

Bulduğunuz ilk sayı 132'dir. Diğer sayıların bunun katları olup olmadığını (örneğin 132×2132 \times 2, 132×3132 \times 3) kontrol ederek hızlıca bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 39Soru →

Bir caddede yan yana sıralanmış 77 binanın kapı numaraları ardışık tek tam sayılardır. Bu numaraların toplamı 161161 olduğuna göre, en büyük kapı numarası kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

En büyük kapı numarası 29'dur.
Ardışık sayıların toplamı terim sayısına bölündüğünde, terim sayısı tek ise tam ortadaki sayı bulunur. 161/7=23161 / 7 = 23 ortanca sayıdır. Sayılar ardışık tek sayılar olduğu için ikişer ikişer artarlar. Ortanca sayı 4. terimdir, en büyük sayı ise 7. terimdir. Bu nedenle ortanca sayıya (7−4)×2=6(7-4) \times 2 = 6 eklenmelidir. Sonuç 23+6=2923 + 6 = 29 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıların toplamını terim sayısına bölerek ortanca terimi (aritmetik ortalamayı) bul.
161 / 7 = 23 (Bu, dizinin tam ortasındaki 4. sayıdır)
Ardışık sayı dizilerinde, terim sayısı tek ise (burada 7), toplamın terim sayısına bölümü ortadaki sayıyı verir.
2
En büyük sayıyı bulmak için ortanca terimden kaç adım ileri gidilmesi gerektiğini hesapla.
Dizi 7 terimli olduğu için ortanca terim 4. sıradadır. En büyük terim 7. sıradadır. Arada 7 - 4 = 3 adım vardır.
Sıralama mantığı gereği son terime ulaşmak için ortadan sağa doğru ilerlenir.
3
Sayılar 'ardışık tek sayı' olduğu için artış miktarını dikkate alarak sonucu hesapla.
Her adımda sayı 2 artar. Toplam artış: 3 adım x 2 = 6. En büyük sayı: 23 + 6 = 29.
Ardışık tek tam sayılar arasındaki fark 2'dir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı ve ortanca terim ilişkisi

İpuçları

1
Sayıların toplamını sayı adedine bölerseniz, bu sayı dizisinin tam ortasındaki sayıyı bulursunuz.
2
Bulduğunuz ortanca sayı, 7 sayının dördüncüsüdür. En büyük sayı 7. sıradadır.
3
Sayılar 'ardışık tek sayı' olduğu için her adımda 2 artar. 4. sayıdan 7. sayıya gitmek için 3 kez 2 eklemelisiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 40Soru →

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler ve eşitlikler verilmiştir:

x⋅z=−y2x \cdot z = -y^2
x2⋅z3<0x^2 \cdot z^3 < 0
x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x \cdot (y + z) < 0

Cevap

xx pozitif, yy ve zz negatif olduğu için, x⋅(y+z)<0x \cdot (y + z) < 0 ifadesi daima doğrudur.
Verilen eşitsizliklerden adım adım ilerlendiğinde sayıların işaretleri şu şekilde bulunur: zz negatiftir (çünkü x2x^2 pozitifken çarpım negatiftir), xx pozitiftir (çünkü zz ile çarpımı −y2-y^2 yani negatif bir sonuç verir), ve yy negatiftir (çünkü üçünün çarpımı pozitiftir). Doğru seçenek, pozitif bir sayı (xx) ile iki negatif sayının toplamının (y+zy+z) çarpımını içerir. Negatif iki sayının toplamı kesinlikle negatiftir. Pozitif ve negatifin çarpımı daima negatiftir (<0<0), bu nedenle bu seçenek her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x2⋅z3<0x^2 \cdot z^3 < 0 eşitsizliğini incele.
x2x^2 daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için z3z^3 negatif olmalıdır. Bu durumda **z<0z < 0** sonucuna ulaşılır.
Çift kuvvetler pozitiftir, tek kuvvetler tabanın işaretini korur.
2
x⋅z=−y2x \cdot z = -y^2 eşitliğini incele.
y2y^2 pozitiftir, bu yüzden −y2-y^2 negatiftir. Yani x⋅zx \cdot z çarpımı negatiftir. zz negatif olduğuna göre, **x>0x > 0** (pozitif) olmalıdır.
Çarpımları negatif olan iki sayı zıt işaretlidir.
3
x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0 eşitsizliğini incele.
xx pozitif, zz negatiftir. x⋅zx \cdot z negatiftir. Çarpımın pozitif olması için yy de negatif olmalıdır. Sonuç: **y<0y < 0**.
Üç sayının çarpımı pozitifse ve ikisinin çarpımı negatifse, üçüncü sayı negatif olmalıdır.
4
Seçenekleri işaretlere (x:+,y:−,z:−x:+, y:-, z:-) göre değerlendir.
y+zy + z işlemi (negatif + negatif) negatiftir. xx pozitiftir. Çarpım x⋅(y+z)x \cdot (y + z) (pozitif ⋅\cdot negatif) daima negatiftir (<0< 0).
İşaret kuralı: (+)⋅(−)=(−)(+) \cdot (-) = (-).

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

İpuçları

1
Öncelikle kuvveti çift olan terimlerden (x2,y2x^2, y^2) başlayarak sayıların işaretlerini belirlemeye çalışın.
2
x2x^2 ve y2y^2 daima pozitiftir. x2⋅z3<0x^2 \cdot z^3 < 0 olması zz'nin işaretini verir. x⋅z=−y2x \cdot z = -y^2 olması ise xx ve zz'nin zıt işaretli olduğunu gösterir.
3
İşaretleri x(+)x(+), y(−)y(-), z(−)z(-) olarak bulduktan sonra, seçeneklerdeki işlemlerin sonucunun işaretini kontrol edin. Negatif iki sayının toplamı (y+zy+z) negatiftir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 16Sonraki
Temel Kavramlar ve Sayılar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin