Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

301 soru

Soru 241Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan memurlara, sicil numaralarına göre belirli sayıda evrak dağıtılmaktadır. Sicil numaraları 1,2,3,…,n1, 2, 3, \dots, n olan memurlardan; sicil numarası en küçük olan 1010 memura dağıtılan toplam evrak sayısı AA, sicil numarası en büyük olan 1010 memura dağıtılan toplam evrak sayısı BB olarak belirlenmiştir. Her memura sicil numarası kadar evrak verildiği ve B−A=200B - A = 200 olduğu bilindiğine göre, bu kurumda toplam kaç memur çalışmaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Kurumda çalışan toplam memur sayısı 3030 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 3030 değeri, ilk 1010 memurun toplamı olan 5555 ile son 1010 memurun (21,22,…,3021, 22, \dots, 30) toplamı olan 255255 arasındaki farkın tam olarak 200200 olmasını sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük sicil numarasına sahip 1010 memurun evrak toplamını (AA) hesaplayınız.
A=1+2+3+⋯+10=10×112=55A = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55
Sicil numaraları 11'den başladığı için ilk 1010 terim 11'den 1010'a kadar olan tam sayılardır.
2
En büyük sicil numarasına sahip 1010 memurun evrak toplamını (BB) nn cinsinden ifade ediniz.
B=n+(n−1)+(n−2)+⋯+(n−9)=10n−(1+2+⋯+9)=10n−45B = n + (n-1) + (n-2) + \dots + (n-9) = 10n - (1+2+\dots+9) = 10n - 45
Son 1010 memurun sicil numaraları nn'den başlayarak geriye doğru n−9n-9'a kadar olan sayılardır.
3
B−A=200B - A = 200 eşitliğini kullanarak nn değerini çözünüz.
(10n−45)−55=200⇒10n−100=200⇒10n=300⇒n=30(10n - 45) - 55 = 200 \Rightarrow 10n - 100 = 200 \Rightarrow 10n = 300 \Rightarrow n = 30
Verilen fark ilişkisi toplam memur sayısını veren denklemi oluşturur.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı ve terim sayısı ilişkisi

İpuçları

1
İlk 1010 memurun sicil numaraları 1,2,3,…,101, 2, 3, \dots, 10 şeklindedir.
2
Son 1010 memurun sicil numaralarını n,n−1,…,n−9n, n-1, \dots, n-9 olarak ifade edip toplayın.
3
Son gruptaki her bir terim ile ilk gruptaki karşılık gelen terim arasındaki farkın (n−10n-10) olduğunu fark ederseniz denklemi daha hızlı kurabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Ardışık çift veya tek sayıların farkları üzerine kurulu senaryoları inceleyerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik bir yol olarak; son 1010 memurun her biri, ilk 1010 memurun her birinden tam olarak (n−10)(n-10) fazladır. Toplamda 1010 memur olduğu için fark 10×(n−10)=20010 \times (n-10) = 200 olmalıdır. Buradan n−10=20n-10=20 ve n=30n=30 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 242Soru →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x2⋅y<0 x^2 \cdot y < 0

y⋅z>0 y \cdot z > 0

∣x∣>∣y∣>∣z∣ |x| > |y| > |z|

x+y>0 x + y > 0

olduğuna göre, x,yx, y ve zz sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y<z<xy < z < x

Cevap

y<z<xy < z < x sıralaması doğrudur.
Verilen eşitsizlikler adım adım incelendiğinde; x2x^2'nin pozitifliği yy'nin negatif olmasını gerektirir. yy negatifken y⋅z>0y \cdot z > 0 olması için zz'nin de negatif olması gerekir. yy negatifken x+y>0x+y > 0 olması için xx'in pozitif olması ve mutlak değerce yy'den büyük olması gerekir. Sıralama yapılırken pozitif olan xx en büyüktür. Negatif olan yy ve zz arasında ise, mutlak değeri büyük olan yy daha küçüktür (y<zy < z). Sonuç olarak sıralama y<z<xy < z < x şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
y'nin işaretini belirle
yy negatiftir (y<0y < 0).
x2x^2 daima pozitiftir. Çarpımın (x2⋅yx^2 \cdot y) negatif olması için yy negatif olmalıdır.
2
z'nin işaretini belirle
zz negatiftir (z<0z < 0).
yy negatif olduğuna göre, çarpımın (y⋅zy \cdot z) pozitif olması için zz de negatif olmalıdır (eksi ile eksinin çarpımı artıdır).
3
x'in işaretini belirle
xx pozitiftir (x>0x > 0).
x+y>0x + y > 0 verilmiştir. yy negatif bir sayı iken toplamın pozitif olması için, xx pozitif olmalı ve mutlak değeri yy'den büyük olmalıdır (∣x∣>∣y∣|x| > |y|).
4
Sayıları sırala
y<z<xy < z < x
xx pozitif olduğu için en büyüktür. yy ve zz negatiftir. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür. ∣y∣>∣z∣|y| > |z| verildiğinden yy, zz'den daha küçüktür (y<zy < z).

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Sıralama

İpuçları

1
Önce çarpma işlemlerini kullanarak sayıların işaretlerini (+,−+, -) belirleyiniz. x2x^2 her zaman pozitiftir.
2
yy ve zz sayılarının ikisinin de negatif olduğunu bulduktan sonra, negatif sayılarda sıralama kuralını (mutlak değeri büyük olan küçüktür) hatırlayınız.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 243Soru →

Sıfırdan farklı bir xx gerçel sayısı için aşağıdaki iki bilginin doğru olduğu bilinmektedir:

I. x3x^3 sayısı bir rasyonel sayıdır.
II. x2x^2 sayısı bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre, xx sayısı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x5x^5 sayısı irrasyoneldir.

Cevap

x5x^5 sayısının irrasyonel olduğu kesindir.
Verilen bilgilere göre x3x^3 rasyonel, x2x^2 ise irrasyoneldir. Üslü sayı özellikleri kullanılarak x5=x3⋅x2x^5 = x^3 \cdot x^2 şeklinde yazılabilir. Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalı değildir; sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir. Dolayısıyla x5x^5 kesinlikle irrasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen önermeleri analiz et.
I. x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} (Rasyonel)
II. x2∉Qx^2 \notin \mathbb{Q} (İrrasyonel)
Soruda verilen koşulları matematiksel sembollerle ifade etmek çözümün temelidir.
2
xx sayısının kendisinin rasyonel olup olmadığını belirle.
xx bir irrasyonel sayıdır.
Eğer xx rasyonel olsaydı (x∈Qx \in \mathbb{Q}), karesi x2x^2 de rasyonel olurdu. Ancak II. öncülde x2x^2'nin irrasyonel olduğu belirtilmiş. Bu çelişki xx'in irrasyonel olduğunu kanıtlar.
3
Seçeneklerdeki ifadeleri x3x^3 ve x2x^2 cinsinden yazarak incele.
x5=x3⋅x2x^5 = x^3 \cdot x^2
Bildiğimiz iki değer (x3x^3 ve x2x^2) üzerinden bilinmeyen kuvvetleri yorumlamalıyız.
4
x5x^5 ifadesinin rasyonellik durumunu kontrol et.
x3x^3 (Sıfırdan farklı Rasyonel) ×\times x2x^2 (İrrasyonel) = İrrasyonel
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir. x≠0x \neq 0 verildiği için x3≠0x^3 \neq 0 dır.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Çarpımı

İpuçları

1
x5x^5 ve x6x^6 gibi ifadeleri, soruda verilen x2x^2 ve x3x^3 cinsinden yazmayı deneyin.
2
x5=x3⋅x2x^5 = x^3 \cdot x^2 eşitliğini kullanarak rasyonellik durumunu inceleyin.
3
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x7x^7 sayısının rasyonellik durumunu inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek kontrol etme: x=23x = \sqrt[3]{2} olsun. x3=2x^3 = 2 (Rasyonel), x2=43x^2 = \sqrt[3]{4} (İrrasyonel). Bu değer için şıkları test edebilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 244Soru →

Sadece 11'e ve kendisine tam bölünebilen, 11'den büyük doğal sayılara "asal sayı" denir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi bir asal sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İki sayısı en küçük asal sayıdır ve sadece bir ile kendisine bölünür.
İki sayısı, asal sayı tanımına tam olarak uyar; 11'den büyüktür ve çarpanları sadece 11 ve 22'dir. Ayrıca çift olan tek asal sayı olması bakımından özel bir yere sahiptir.

Adım Adım Çözüm

1
Asal sayı tanımını kontrol etme
Asal sayılar 11'den büyük olmalı ve sadece iki böleni (11 ve kendisi) olmalıdır.
Bir sayının asal olup olmadığını belirlemek için önce tanıma uygunluğu kontrol edilir.
2
Seçeneklerdeki sayıların bölenlerini inceleme
11: Asal değildir (11'den büyük olmalı).
99: 1,3,91, 3, 9 (Bölen sayısı 2'den fazla).
1515: 1,3,5,151, 3, 5, 15 (Bölen sayısı 2'den fazla).
2121: 1,3,7,211, 3, 7, 21 (Bölen sayısı 2'den fazla).
22: 1,21, 2 (Sadece iki böleni var).
Tanıma uyan tek sayıyı bulmak için her sayının çarpanlarına bakılır.

Anahtar Kavram

Asal sayıların tanımı ve en küçük asal sayı olan 2'nin özelliği.

İpuçları

1
Asal sayılar 11'den başlamaz, 22 ile başlar.
2
Seçeneklerdeki tek sayıların 33'e bölünüp bölünmediğini kontrol edin.
3
Çift sayılar arasında sadece 22 asaldır, diğer tüm çift sayılar 22'ye bölündüğü için asal olamazlar.

Daha Fazla Pratik

İki basamaklı en küçük ve en büyük asal sayıları bulmaya çalışarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayıları çarpanlarına ayırarak (bölen listesi yaparak) sadece iki böleni olanı işaretleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 245Soru →
AA ve BB pozitif tam sayılar olmak üzere,
21!⋅A=B3 21! \cdot A = B^3

eşitliğini sağlayan en küçük AA sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 65

Cevap

65
21! sayısının asal çarpanlarını incelediğimizde, üsleri 3'ün katı olmayan asallar 5, 11, 13, 17 ve 19'dur. Bu asalları tamamlayacak en küçük A sayısının asal çarpanları da bu sayılardır. Toplamları 5+11+13+17+19=655+11+13+17+19=65 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
21! sayısının asal çarpanlarının kuvvetlerini Legendre formülü ile hesapla.
218⋅39⋅54⋅73⋅111⋅131⋅171⋅1912^{18} \cdot 3^9 \cdot 5^4 \cdot 7^3 \cdot 11^1 \cdot 13^1 \cdot 17^1 \cdot 19^1
Bir sayının tam küp olabilmesi için tüm asal çarpanlarının üslerinin 3'ün katı olması gerekir.
2
Küp olma şartını sağlamayan (üssü 3'ün katı olmayan) asal çarpanları belirle.
5 (üssü 4), 11 (üssü 1), 13 (üssü 1), 17 (üssü 1), 19 (üssü 1). (2'nin üssü 18 ve 3'ün üssü 9, 7'nin üssü 3 zaten 3'ün katıdır).
Tam küp olması için eksik kuvvetleri A sayısı tamamlamalıdır.
3
A sayısının içermesi gereken en küçük asal çarpanları belirle.
A=52⋅112⋅132⋅172⋅192A = 5^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17^2 \cdot 19^2 olmalıdır (üsleri 3'ün katına tamamlamak için).
54⋅52=565^4 \cdot 5^2 = 5^6, 111⋅112=11311^1 \cdot 11^2 = 11^3 vb. hepsi küp olur.
4
A sayısının farklı asal çarpanlarını topla.
5+11+13+17+19=655 + 11 + 13 + 17 + 19 = 65
Soru bizden A'nın değerini değil, asal çarpanlarının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Asal Çarpanlara Ayırma ve Tam Kuvvet Özellikleri

İpuçları

1
Önce 21! sayısını asal çarpanlarına ayırın (Legendre formülünü kullanın).
2
Bir sayının tam küp (B3B^3) olabilmesi için, asal çarpanlarının üslerinin 3'ün katı (3, 6, 9...) olması gerekir.
3
21! içinde üssü 3'ün katı olmayan asalları bulun. A sayısı bu eksik üsleri tamamlamalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla n!⋅x=y2n! \cdot x = y^2 (tam kare) yapan en küçük x değerini soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Asalları tek tek kontrol etmek yerine, sadece 'kritik' asallara (üssü 3'ün katı olma ihtimali düşük olan büyük asallara) odaklanıp, küçük asalları (2, 3, 5, 7) kontrol ederek hız kazanılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 246Soru →
x1x_1 ve x2x_2 birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, kökleri x1x_1 ve x2x_2 olan
x2−Mx+N=0x^2 - Mx + N = 0

ikinci dereceden denklemi veriliyor.
M+N=41M + N = 41

olduğuna göre, N−MN - M farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 11'dir.
Verilen denklemde kök-katsayı bağıntıları kullanıldığında MM kökler toplamı, NN ise kökler çarpımıdır. x1+x2+x1x2=41x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 41 eşitliğinde her iki tarafa 1 eklenirse (x1+1)(x2+1)=42(x_1+1)(x_2+1)=42 elde edilir. Köklerin asal sayı olma şartını sağlayan tek çözüm x1=2x_1=2 ve x2=13x_2=13 değerleridir. Buradan N=26N=26 ve M=15M=15 bulunur, farkları 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci dereceden denklem özelliklerini (kök-katsayı bağıntıları) kullanın.
M=x1+x2M = x_1 + x_2 (Kökler Toplamı) ve N=x1⋅x2N = x_1 \cdot x_2 (Kökler Çarpımı).
Verilen denklem x2−(toplam)x+(c\carpım)=0x^2 - (toplam)x + (çarpım) = 0 formatındadır.
2
Bulunan ifadeleri verilen eşitlikte yerine yazın.
x1+x2+x1⋅x2=41x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 41
M ve N değerlerini asal kökler cinsinden ifade edip çözüme gitmek için.
3
Eşitliğin her iki tarafına 1 ekleyerek ifadeyi çarpanlarına ayırın (Simon Taktiği).
x1x2+x1+x2+1=42  ⟹  (x1+1)(x2+1)=42x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 42 \implies (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 42
İki bilinmeyenli bir denklemde tamsayı/asal sayı çözümlerini bulmak için çarpım haline getirmek gerekir.
4
42 sayısının çarpanlarını inceleyerek x1x_1 ve x2x_2'nin asal sayı olduğu durumu belirleyin.
Çarpan çiftleri: (1,42), (2,21), (3,14), (6,7). Asal sayı şartını sağlayan tek çift: (3,14)  ⟹  x1+1=3,x2+1=14  ⟹  x1=2,x2=13(3, 14) \implies x_1+1=3, x_2+1=14 \implies x_1=2, x_2=13.
Diğer çarpanlar asal olmayan sayılar üretir (örn: 6 ve 7 seçilirse kökler 5 ve 6 olur, 6 asal değildir).
5
M ve N değerlerini hesaplayıp farkı bulun.
M=2+13=15M = 2 + 13 = 15, N=2⋅13=26N = 2 \cdot 13 = 26. Sonuç: N−M=26−15=11N - M = 26 - 15 = 11.
Soruda istenen nihai değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denklemler ve Asal Sayı Özellikleri

İpuçları

1
İkinci dereceden bir denklemde MM katsayısı kökler toplamını, NN katsayısı ise kökler çarpımını temsil eder.
2
Verilen x1+x2+x1⋅x2=41x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 41 eşitliğini çözmek için eşitliğin her iki tarafına 1 ekleyerek çarpanlara ayırmayı deneyin.
3
(x1+1)(x2+1)=42(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 42 eşitliğinde, çarpanlardan her birinin 'bir asal sayının 1 fazlası' olması gerektiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Kökleri tamsayı olan benzer denklemlerde negatif köklerin de olabileceği durumları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Deneme-Yanılma: 41 sayısı çok büyük olmadığı için, küçük asal sayıları (2, 3, 5, 7...) deneyerek x1+x2+x1x2=41x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 41 eşitliğini sağlayan çift aranabilir. x1=2x_1=2 için 2+x2+2x2=41  ⟹  3x2=39  ⟹  x2=132 + x_2 + 2x_2 = 41 \implies 3x_2 = 39 \implies x_2=13. Her ikisi de asal olduğu için çözüm doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 247Soru →
x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
x⋅y2<0x \cdot y^2 < 0

x−z>0x - z > 0

x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2<z2x^2 < z^2

Cevap

Sayıların işaretleri ve sıralaması z<x<0<yz < x < 0 < y şeklinde olduğundan, x2<z2x^2 < z^2 ifadesi doğrudur.
Verilen eşitsizliklerden xx ve zz'nin negatif, yy'nin pozitif olduğu ve aralarındaki sıralamanın z<x<0<yz < x < 0 < y olduğu anlaşılmaktadır. Negatif sayılarda sayı doğrusunda sola gidildikçe (sayı küçüldükçe) mutlak değer artar. z<x<0z < x < 0 olduğu için ∣z∣>∣x∣|z| > |x| olur ve her iki tarafın karesi alındığında z2>x2z^2 > x^2 (veya x2<z2x^2 < z^2) eşitsizliği elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x⋅y2<0x \cdot y^2 < 0 eşitsizliğini analiz etme.
y≠0y \neq 0 olduğu için y2>0y^2 > 0 olur. Çarpımın negatif olması için x<0x < 0 olmalıdır.
Bir sayının çift kuvveti daima pozitiftir (0 hariç), bu bilgi xx'in işaretini belirlemeyi sağlar.
2
x−z>0x - z > 0 eşitsizliğinden xx ve zz arasındaki ilişkiyi bulma.
x>zx > z elde edilir. x<0x < 0 olduğunu bildiğimizden sıralama z<x<0z < x < 0 şeklindedir.
Negatif sayılarda sıralama belirlenerek zz'nin xx'ten daha küçük (mutlak değerce daha büyük) olduğu tespit edilir.
3
x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0 eşitsizliğini kullanarak yy'nin işaretini bulma.
xx negatif ve zz negatiftir, çarpımları x⋅z>0x \cdot z > 0 (pozitif) olur. Sonucun pozitif kalması için y>0y > 0 olmalıdır.
İşaret kuralına göre (-) ile (-)'nin çarpımı (+)'dır.
4
Elde edilen z<x<0<yz < x < 0 < y sıralamasına göre seçenekleri değerlendirme.
z<x<0z < x < 0 olduğu için zz'nin mutlak değeri xx'ten büyüktür (∣z∣>∣x∣|z| > |x|). Bu nedenle kareleri alındığında z2>x2z^2 > x^2 olur.
Negatif sayılarda 0'dan uzaklaştıkça sayı küçülür ancak karesi büyür.

Anahtar Kavram

Negatif sayılarda sıralama ve kuvvet alma ilişkisi

İpuçları

1
Önce x⋅y2<0x \cdot y^2 < 0 eşitsizliğine bakarak yy'nin çift kuvvetinin işaretini düşünün ve xx'in işaretini belirleyin.
2
xx'in negatif olduğunu bulduktan sonra, x−z>0x - z > 0 eşitsizliğinden zz'nin xx'e göre konumunu (büyüklük/küçüklük) belirleyin.
3
z<x<0z < x < 0 sıralamasını bulduktan sonra, negatif sayıların karelerinin nasıl sıralanacağını hatırlayın (örneğin -5 ve -2 vererek deneyin).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, x<y<0<zx < y < 0 < z verildiğinde x−zy\frac{x-z}{y} ifadesinin işaretini soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Şartları sağlayan örnek sayılar seçilebilir. Örneğin y=1y=1 olsun (pozitif). x⋅12<0  ⟹  x=−2x \cdot 1^2 < 0 \implies x=-2 olsun. x−z>0  ⟹  −2>zx - z > 0 \implies -2 > z, buradan z=−5z=-5 seçilebilir. Çarpım kontrolü: (−2)(1)(−5)=10>0(-2)(1)(-5) = 10 > 0 (sağlıyor). Bu değerler için seçenekler test edilebilir: x2=4,z2=25  ⟹  4<25x^2=4, z^2=25 \implies 4 < 25.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 248Soru →
a,ba, b ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a⋅b+c a \cdot b + c

ifadesinin tek sayı,
a+b⋅c a + b \cdot c

ifadesinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a + c

Cevap

a çift ve c tek sayı olduğundan a + c ifadesi daima tek sayıdır.
Verilen iki eşitliği aynı anda sağlayan tek durum a'nın çift, b'nin çift ve c'nin tek sayı olduğu durumdur. Buna göre 'a + c' ifadesi (Çift + Tek) daima tek sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadenin (a⋅b+ca \cdot b + c) tek sayı olma durumunu analiz et.
İki durum mümkündür: 1) a⋅ba \cdot b çift, cc tek veya 2) a⋅ba \cdot b tek, cc çift.
Toplamın tek olması için terimlerden biri tek, diğeri çift olmalıdır.
2
İkinci ifadenin (a+b⋅ca + b \cdot c) çift sayı olma durumunu birinci adımdaki senaryolarla test et.
Sadece (aa çift, bb çift, cc tek) durumu her iki koşulu da sağlar.
Eğer cc çift olsaydı (Durum 2), aa ve bb tek olurdu. Bu durumda a+b⋅c=T+T⋅C\c=T+C\c=Ta + b \cdot c = T + T \cdot Ç = T + Ç = T olurdu, ancak sonucun çift olması gerekiyor. Bu nedenle Durum 2 elenir.
3
Doğrulanan tek senaryo (aa çift, bb çift, cc tek) için şıkları kontrol et.
a+ca+c ifadesi Çift + Tek = Tek sonucunu verir.
Diğer tüm seçenekler çift sayı sonucu üretmektedir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri (Parite Analizi)

İpuçları

1
Birinci ifadenin tek sayı olması için terimlerin (a.b ve c) teklik-çiftlik durumları zıt olmalıdır.
2
İkinci ifadenin sonucunun çift olması için 'a' ile 'b.c' aynı türden olmalıdır. c'nin çift olduğu senaryoyu test edin, eğer çelişki çıkarsa c kesinlikle tektir.
3
c tek sayı ise, birinci ifadeden a.b çift olmalı. İkinci ifadeye c=Tek koyarsanız a + b = Çift olur. Bu sadece a=Çift ve b=Çift durumunda sağlanır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, üç sayının çarpımı ve toplamının paritesi verilen soruları inceleyin.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 249Soru →
x,yx, y ve zz asal sayılardır.
z=13⋅(x−y) z = 13 \cdot (x - y)

olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Toplamın değeri 18'dir.
Verilen z=13⋅(x−y)z = 13 \cdot (x - y) eşitliğinde, zz asal olduğu için çarpanlardan biri zorunlu olarak 1 olmalıdır. 1313 asal bir sayı olduğundan 1 olamaz, bu nedenle (x−y)=1(x - y) = 1 ve z=13z = 13 olmalıdır. Asal sayılar içinde farkı 1 olan tek çift 3 ve 2'dir. Böylece x=3,y=2,z=13x=3, y=2, z=13 bulunur ve toplamları 18 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği ve asal sayı tanımını analiz et.
z=13⋅(x−y)z = 13 \cdot (x - y) eşitliğinde zz bir asal sayı olduğundan, pozitif çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
Asal sayıların tanımı gereği.
2
Çarpanları belirle.
Eşitliğin sağ tarafında 13 çarpanı vardır. zz asal olduğu için, zz mutlaka 13 olmalıdır. Bu durumda diğer çarpan olan (x−y)(x - y) ifadesi 1'e eşit olmalıdır.
Eğer x−yx-y 1'den büyük bir tam sayı olsaydı, zz sayısı 13'ün katı olurdu ve asal olmazdı (z=13 durumu hariç).
3
xx ve yy değerlerini bul.
x−y=1x - y = 1 eşitliğini sağlayan asal sayılar aranır. Aralarındaki fark 1 olan yegane asal sayı çifti 3 ve 2'dir (3−2=13 - 2 = 1). Dolayısıyla x=3x=3 ve y=2y=2 olur.
2 hariç tüm asal sayılar tektir. İki tek sayının farkı çift olacağından, farkın 1 olabilmesi için sayılardan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır.
4
Toplamı hesapla.
x+y+z=3+2+13=18x + y + z = 3 + 2 + 13 = 18 bulunur.
Bulunan değerlerin toplanması.

Anahtar Kavram

Asal Sayıların Çarpanları ve Ardışık Asallar

İpuçları

1
Bir asal sayının çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
2
13⋅(x−y)13 \cdot (x-y) ifadesinin asal olması için (x−y)(x-y) kaç olmalıdır?
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar hangileridir?

Daha Fazla Pratik

Ardışık sayıların ve asal sayıların özelliklerini birleştiren benzer sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 250Soru →

nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,

(n+2)!+(n+1)!(n+1)!−n!=152 \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+1)! - n!} = \frac{15}{2}

olduğuna göre, nn değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen denklem sadeleştirildiğinde n değeri 2 olarak bulunur.
İfadenin payı (n+1)!(n+1)! parantezine alındığında (n+1)!(n+3)(n+1)!(n+3), paydası ise n!n! parantezine alındığında n!⋅nn! \cdot n elde edilir. (n+1)!(n+1)! ifadesi (n+1)⋅n!(n+1) \cdot n! şeklinde açılıp n!n! terimleri sadeleştirildiğinde denklem (n+1)(n+3)/n=15/2(n+1)(n+3)/n = 15/2 halini alır. Bu denklem çözüldüğünde n tam sayısı 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak faktöriyel parantezine alın.
Pay: (n+1)!(n+2+1)=(n+1)!(n+3)(n+1)!(n+2+1) = (n+1)!(n+3)
Payda: n!(n+1−1)=n!⋅nn!(n+1-1) = n! \cdot n
İfadedeki karmaşıklığı azaltmak ve sadeleştirme yapabilmek için en küçük faktöriyel terimi cinsinden yazmak gerekir.
2
Pay kısmındaki (n+1)!(n+1)! ifadesini n!n! cinsinden açarak sadeleştirme yapın.
n!(n+1)(n+3)n!⋅n=(n+1)(n+3)n\frac{n!(n+1)(n+3)}{n! \cdot n} = \frac{(n+1)(n+3)}{n}
n!n! terimleri birbirini götürerek rasyonel bir ifade elde edilmesini sağlar.
3
Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyin.
n2+4n+3n=152⇒2n2+8n+6=15n\frac{n^2 + 4n + 3}{n} = \frac{15}{2} \Rightarrow 2n^2 + 8n + 6 = 15n
Kesirli ifadeyi standart bir ikinci dereceden denklem formuna getirmek için bu işlem uygulanır.
4
Denklemi sıfıra eşitleyin ve çarpanlarına ayırın.
2n2−7n+6=0⇒(2n−3)(n−2)=02n^2 - 7n + 6 = 0 \Rightarrow (2n - 3)(n - 2) = 0
Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
5
Bulunan köklerden pozitif tam sayı olanı belirleyin.
n1=32n_1 = \frac{3}{2} ve n2=2n_2 = 2. nn bir tam sayı olduğu için n=2n = 2.
Soruda n değerinin bir pozitif tam sayı olması gerektiği belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimler en küçük olanın parantezine alınır.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük olan n!n! cinsinden yazmayı deneyin.
2
(n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n! ve (n+1)!=(n+1)n!(n+1)! = (n+1)n! dönüşümlerini yapın.
3
Sadeleştirmelerden sonra elinizde nn cinsinden rasyonel bir ifade kalacak, içler dışlar çarpımı yaparak nn değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyel içeren sadeleştirme sorularında her zaman en küçük terimi referans alarak paranteze alma işlemini pekiştirmek için benzer oran soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri doğrudan denklemde yerine koyarak deneme-yanılma yoluyla hangi değerin 7,5 sonucunu verdiğini kontrol edebilirsiniz. Örneğin n=2n=2 için (24+6)/(6−2)=30/4=7,5(24+6)/(6-2) = 30/4 = 7,5 olduğu görülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 251Soru →
7!−6!−5!5! \frac{7! - 6! - 5!}{5!}


işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

İşlemin sonucu 35'tir.
Verilen işlemde pay kısmındaki her bir terim 5!5! cinsinden ifade edilebilir. 7!=42×5!7! = 42 \times 5! ve 6!=6×5!6! = 6 \times 5! şeklinde yazıldığında pay kısmı 42×5!−6×5!−1×5!42 \times 5! - 6 \times 5! - 1 \times 5! olur. Bu ifade 5!5! parantezine alındığında 5!×(42−6−1)5! \times (42 - 6 - 1) elde edilir. Paydadaki 5!5! ile sadeleştiğinde geriye 42−7=3542 - 7 = 35 kalmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Payda bulunan büyük faktöriyelli ifadeleri, paydadaki en küçük terim olan 5!5! cinsinden parçalayarak yazın.
7!=7×6×5!=42×5!7! = 7 \times 6 \times 5! = 42 \times 5! ve 6!=6×5!6! = 6 \times 5!
Faktöriyel içeren kesirli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için tüm terimleri en küçük faktöriyel cinsinden ifade etmek işlem kolaylığı sağlar.
2
Elde edilen bu ifadeleri orijinal denklemde pay kısmına yerleştirin.
42×5!−6×5!−1×5!5! \frac{42 \times 5! - 6 \times 5! - 1 \times 5!}{5!}
Tüm terimlerin ortak bir çarpan (5!5!) üzerinden görülmesini sağlar.
3
Pay kısmını 5!5! ortak çarpan parantezine alın ve paydadaki 5!5! ile sadeleştirin.
5!×(42−6−1)5!=42−6−1 \frac{5! \times (42 - 6 - 1)}{5!} = 42 - 6 - 1
Çarpım durumundaki aynı ifadeler sadeleşerek değişkeni ortadan kaldırır ve geriye sadece tam sayılar kalır.
4
Kalan sayısal değerlerle toplama ve çıkarma işlemlerini tamamlayın.
42−7=3542 - 7 = 35
İşlem önceliğine ve terimlerin işaretlerine dikkat ederek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme

İpuçları

1
Faktöriyel sorularında sadeleştirme yapmak için her zaman büyük sayıları küçük sayılara benzeterek açmaya çalışın.
2
7!7! sayısını 7×6×5!7 \times 6 \times 5! ve 6!6! sayısını 6×5!6 \times 5! olarak yazarak payı yeniden düzenleyin.
3
Pay kısmını 5!5! ortak parantezine aldığınızda parantez içinde 42−6−142 - 6 - 1 kalacağını göreceksiniz. Buradaki '1' sayısı, en sondaki 5!5! teriminden gelmektedir.

Daha Fazla Pratik

İçinde 0! (0 faktöriyel) bulunan sadeleştirme sorularını çözerek 0!'in 1'e eşit olduğu kuralını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayıların değerleri çok büyük olmadığı için doğrudan hesaplama da yapılabilir: 7!=50407! = 5040, 6!=7206! = 720, 5!=1205! = 120. Buradan (5040−720−120)/120=4200/120=35(5040 - 720 - 120) / 120 = 4200 / 120 = 35 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 252Soru →

1'den başlayan ilk nn ardışık tek doğal sayının toplamı TT, 2'den başlayan ilk mm ardışık çift doğal sayının toplamı C\cÇ olarak tanımlanmıştır.

C\c−T=41 Ç - T = 41

m−n=2 m - n = 2

Bu bilgilere göre, T+C\cT + Ç toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 139

Cevap

Doğru cevap 139'dur.
Ardışık tek ve çift sayıların toplam formülleri ile kurulan cebirsel denklemin çözülmesi gerekir. nn terimli tek sayıların toplamı n2n^2, mm terimli çift sayıların toplamı m(m+1)m(m+1)'dir. m=n+2m=n+2 bağıntısı kullanılarak denklem çözüldüğünde n=7n=7 ve m=9m=9 bulunur. Buradan T=49T=49 ve C\c=90Ç=90 elde edilir; toplamları 139'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Tek ve çift sayıların toplam formüllerini değişkenler cinsinden yaz.
T=1+3+⋯+(2n−1)=n2T = 1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2 ve C\c=2+4+⋯+2m=m(m+1)Ç = 2 + 4 + \dots + 2m = m(m+1)
Ardışık tek sayıların toplamı n2n^2, ardışık çift sayıların toplamı m(m+1)m(m+1) formülü ile bulunur.
2
Verilen ikinci eşitliği (m−n=2m-n=2) kullanarak formülleri tek değişkene indirge.
m=n+2m = n + 2 olduğu için C\c=(n+2)(n+3)Ç = (n+2)(n+3) olur.
İki bilinmeyenli denklemi çözebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
3
Elde edilen ifadeleri fark denkleminde (C\c−T=41Ç - T = 41) yerine koy ve nn değerini bul.
(n+2)(n+3)−n2=41⇒(n2+5n+6)−n2=41⇒5n=35⇒n=7(n+2)(n+3) - n^2 = 41 \Rightarrow (n^2 + 5n + 6) - n^2 = 41 \Rightarrow 5n = 35 \Rightarrow n = 7
Denklem çözülerek terim sayısı bulunur.
4
nn ve mm değerlerini kullanarak TT ve C\cÇ değerlerini hesapla.
n=7n=7 ise T=72=49T = 7^2 = 49. m=7+2=9m = 7+2=9 ise C\c=9(10)=90Ç = 9(10) = 90.
Toplam değerlerini bulmak için bulunan terim sayıları formüllerde yerine yazılır.
5
Sonuçları topla.
T+C\c=49+90=139T + Ç = 49 + 90 = 139
Soruda istenen nihai toplam değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Ardışık tek sayıların toplamı n2n^2, ardışık çift sayıların toplamı n(n+1)n(n+1) formülleriyle hesaplanır.

İpuçları

1
1'den başlayan nn tane ardışık tek sayının toplamı n2n^2, 2'den başlayan mm tane ardışık çift sayının toplamı m(m+1)m(m+1) formülüyle bulunur.
2
m−n=2m - n = 2 eşitliğinden mm yerine n+2n+2 yazarak, C\cÇ formülünü nn cinsinden ifade edin.
3
(n+2)(n+3)−n2=41(n+2)(n+3) - n^2 = 41 denklemini açarak nn'yi bulun.

Daha Fazla Pratik

Ardışık sayıların toplamında Gauss metodunun (n(n+1)2 \frac{n(n+1)}{2} ) kullanıldığı genel aritmetik dizi sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmakta zorlanıyorsanız, şıklardan veya tahminden gitmek yerine farkın 41 olmasını sağlayan kare sayı (n2n^2) ve dikdörtgensel sayı (m(m+1)m(m+1)) çiftlerini arayabilirsiniz. Örneğin n=5n=5 için T=25T=25, m=7m=7 için C\c=56Ç=56, fark 31 (az). nn sayısını biraz artırın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 253Soru →

a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,

a3−b3=c a^3 - b^3 = c


eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Toplamın sonucu 24'tür.
Verilen küp farkı ifadesi (a−b)(a2+ab+b2)=c(a-b)(a^2+ab+b^2)=c şeklinde açıldığında, cc asal olduğu için çarpanlardan küçüğü olan (a−b)(a-b) mutlaka 1'e eşit olmalıdır. Aralarındaki fark 1 olan yegane asal sayılar 3 ve 2'dir (a=3,b=2a=3, b=2). Bu değerler yerine konulduğunda c=19c=19 bulunur. Toplamları 3+2+19=243+2+19=24 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen a3−b3=ca^3 - b^3 = c ifadesini iki küp farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlarına ayırırız.
(a−b)⋅(a2+a⋅b+b2)=c(a - b) \cdot (a^2 + a \cdot b + b^2) = c
Asal sayı olan cc'nin çarpanlarını görebilmek için ifadeyi çarpım durumuna getirmek gerekir.
2
cc bir asal sayı olduğundan, çarpanlarından biri mutlaka 1, diğeri ise kendisi olmalıdır. İki parantezden hangisinin 1 olacağını belirleriz.
aa ve bb asal sayı olduklarından (en az 2), ikinci çarpan a2+ab+b2a^2 + ab + b^2 kesinlikle 1'den büyüktür. Bu durumda zorunlu olarak a−b=1a - b = 1 olmalıdır.
Asal sayıların çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları tespit ederiz.
Aralarındaki fark 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir. Dolayısıyla a=3a = 3 ve b=2b = 2 olur.
2 dışındaki tüm asal sayılar tektir. İki tek sayının farkı çift (en az 2) olacağından, farkın 1 olabilmesi için sayılardan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır.
4
aa ve bb değerlerini yerine koyarak cc sayısını bulur ve asal olup olmadığını kontrol ederiz.
c=33−23=27−8=19c = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19. 19 bir asal sayıdır, şart sağlanır.
Denklemdeki eşitliğin doğruluğunu ve cc'nin asal olma şartını teyit etmek.
5
Bulunan a,b,ca, b, c değerlerini toplarız.
a+b+c=3+2+19=24a + b + c = 3 + 2 + 19 = 24.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Asal sayıların çarpan özellikleri ve iki küp farkı özdeşliği.

İpuçları

1
a3−b3a^3 - b^3 ifadesini çarpanlarına ayırmayı dene: (a−b)(a2+ab+b2)(a-b)(a^2+ab+b^2).
2
Eşitliğin sağ tarafındaki cc sayısı bir asal sayıdır. Bir asal sayının pozitif tam sayı çarpanları neler olabilir? Bu çarpanlardan biri ifadedeki (a−b)(a-b) olabilir mi?
3
(a−b)(a-b) ifadesi 1 olmak zorundadır. Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar hangileridir?

Daha Fazla Pratik

İki kare farkı içeren ve sonucun asal sayı olduğu benzer sorular çözülebilir (a2−b2=pa^2 - b^2 = p).
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 254Soru →
aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,
6ab+4a−9b=1466ab + 4a - 9b = 146

eşitliği veriliyor. Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

a ve b sayılarının toplamı 11'dir.
Verilen eşitlik (2a−3)(3b+2)=140(2a - 3)(3b + 2) = 140 şeklinde çarpanlarına ayrılır. 2a−32a-3 terimi tek sayı olmak zorundadır. 140'ın tek bölenleri denendiğinde a=2,b=46a=2, b=46 ve a=5,b=6a=5, b=6 çözümleri bulunur. Soruda sayıların 'aralarında asal' olduğu belirtildiği için (2, 46) elenir. Geriye kalan (5, 6) çifti için toplam 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırabilmek için gruplandırma yöntemi uygula.
2a(3b+2)−3(3b)=1462a(3b + 2) - 3(3b) = 146 formuna benzetmeye çalış.
aa ve bb bilinmeyenlerini çarpım durumuna getirerek tam sayı çarpanlarını inceleyebilmek için.
2
Eşitliğin her iki tarafından 6 çıkararak tam çarpanlara ayırma işlemini tamamla.
6ab+4a−9b−6=146−6⇒2a(3b+2)−3(3b+2)=140⇒(2a−3)(3b+2)=1406ab + 4a - 9b - 6 = 146 - 6 \Rightarrow 2a(3b + 2) - 3(3b + 2) = 140 \Rightarrow (2a - 3)(3b + 2) = 140
Ortak paranteze alarak ifadeyi iki tam sayının çarpımı haline getirmek için.
3
140 sayısının çarpanlarını, 2a−32a-3 ifadesinin tek sayı olması şartına göre analiz et.
2a2a çift olduğu için 2a−32a-3 tek sayı olmalıdır. 140'ın tek çarpanları: 1, 5, 7, 35.
Olası durum sayısını azaltmak ve tam sayı şartını sağlamak için.
4
Olası çarpan çiftlerini (2, 46) ve (5, 6) bul ve 'aralarında asal' şartını kontrol et.
1. Durum: 2a−3=1⇒a=22a-3=1 \Rightarrow a=2, 3b+2=140⇒b=463b+2=140 \Rightarrow b=46. (2 ve 46 aralarında asal DEĞİL).
2. Durum: 2a−3=7⇒a=52a-3=7 \Rightarrow a=5, 3b+2=20⇒b=63b+2=20 \Rightarrow b=6. (5 ve 6 aralarında asal, EBOB=1).
Soruda verilen 'aralarında asal' kısıtlamasını sağlayan tek doğru çifti belirlemek için.
5
Bulunan doğru aa ve bb değerlerini topla.
a=5a = 5 ve b=6b = 6 ise a+b=11a + b = 11.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bu soru, cebirsel ifadelerin çarpanlara ayrılması (gruplandırma tekniği) ile aralarında asal sayıların özelliklerinin sentezini gerektirir.

İpuçları

1
İfadeyi çarpanlarına ayırabilmek için aa parantezine almayı dene ve bb'li terimin katsayısına dikkat et.
2
2a(3b+2)2a(3b + 2) ifadesini oluşturmak için eşitliğin her iki tarafından bir sayı çıkarman gerekebilir. (2a−3)(3b+2)(2a - 3)(3b + 2) yapısına ulaşmaya çalış.
3
Elde ettiğin çarpım 140'a eşittir. 2a−32a - 3 ifadesinin mutlaka tek sayı olması gerektiğini unutma ve buna uygun çarpanları dene.

Daha Fazla Pratik

x2−y2=60x^2 - y^2 = 60 ve x,yx,y aralarında asal ise xx kaçtır? gibi çarpanlara ayırma ve sayı teorisi içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi ile, aa'nın küçük asal değerleri (2, 3, 5...) için denklemde bb'nin tam sayı ve aralarında asal olup olmadığı test edilebilir, ancak bu yöntem zaman alıcıdır.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 255Soru →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x5⋅y4<0x^5 \cdot y^4 < 0

y⋅z3>0y \cdot z^3 > 0

x+z>0x + z > 0

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x−yz<0\frac{x - y}{z} < 0

Cevap

İfade edilen koşullar altında kesinlikle doğru olan seçenek x−yz<0\frac{x - y}{z} < 0 ifadesidir.
Verilen eşitsizliklerden xx'in negatif, yy ve zz'nin pozitif olduğu tespit edilmiştir. Doğru seçenekteki kesirli ifadede, pay kısmı (x−yx-y) iki terimin farkıdır. Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında sonuç daima negatiftir. Payda (zz) ise pozitiftir. Negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü negatif olacağından, bu seçenek kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitsizliği analiz etme
x5⋅y4<0x^5 \cdot y^4 < 0 ifadesinde yy sıfırdan farklı olduğu için çift kuvveti y4y^4 daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için x5<0x^5 < 0 olmalıdır. Tek kuvvet işaret değiştirmediği için x<0x < 0 (negatif) sonucuna ulaşılır.
Çift kuvvetlerin pozitifliği ve çarpım kuralı
2
İkinci eşitsizliği ve işaret ilişkisini belirleme
y⋅z3>0y \cdot z^3 > 0 ifadesinde, z3z^3 ile zz aynı işarete sahiptir. Sonucun pozitif olması için yy ve zz aynı işaretli olmalıdır (ikisi de pozitif veya ikisi de negatif).
Aynı işaretli sayıların çarpımı pozitiftir kuralı
3
Üçüncü eşitsizliği kullanarak kesin işaretleri bulma
x+z>0x + z > 0 verilmiştir. xx'in negatif olduğunu biliyoruz (x<0x < 0). Eğer zz negatif olsaydı, iki negatif sayının toplamı negatif olurdu. Toplamın pozitif olabilmesi için zz kesinlikle pozitif (z>0z > 0) olmalıdır. Buna bağlı olarak, yy ve zz aynı işaretli olduğundan yy de pozitiftir (y>0y > 0).
Toplama işleminde işaret analizi
4
Bulunan işaretlere göre seçenekleri değerlendirme
İşaretler: x(−),y(+),z(+)x(-), y(+), z(+). Doğru seçenekteki x−yz\frac{x - y}{z} ifadesi için: Pay (x−yx - y) negatiftir (negatif sayıdan pozitif çıkarsa sonuç negatiftir). Payda (zz) pozitiftir. Negatifin pozitife bölümü negatiftir (<0< 0). Bu ifade kesinlikle doğrudur.
Cebirsel ifadelerde işaret kontrolü

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Sistemleri

İpuçları

1
Önce çift kuvvet içeren terimden başlayarak işaretleri belirlemeye çalışın. y4y^4 daima pozitiftir.
2
x+z>0x+z > 0 eşitsizliğinde, xx'in negatif olduğunu bulduktan sonra zz'nin işareti hakkında ne söyleyebilirsiniz?
3
Bulduğunuz işaretler: xx negatif, yy ve zz pozitiftir. Şimdi seçeneklerdeki işlemlerin sonucunun işaretini bu bilgilere göre test edin. x−yx - y işlemi (Negatif) - (Pozitif) şeklindedir.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizliklerde işaret incelemesi yapan benzer sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde düşünme: x<0x < 0 ve x+z>0x + z > 0 olduğu için zz, xx'in mutlak değerinden daha büyük bir pozitif sayıdır. yy ve zz aynı işaretli olduğundan yy de sağ taraftadır. Sayı doğrusunda xx solda, 00 ortada, yy ve zz sağdadır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 256Soru →

x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılardır.

x+13z=13yx + 13z = 13y

olduğuna göre, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 78

Cevap

Verilen şartları sağlayan asal sayıların çarpımı 78'dir.
Verilen denklem x=13(y−z)x = 13(y - z) biçiminde yazılabilir. xx bir asal sayı olduğu için, sağ taraftaki çarpanlardan birinin 11 olması zorunludur. Eğer 1313 asal çarpan ise, diğer çarpan olan (y−z)(y - z) ifadesi 11'e eşit olmalıdır. Aralarındaki fark 11 olan tek asal sayı çifti 33 ve 22 olduğu için y=3y=3 ve z=2z=2 bulunur. Buradan x=13x=13 elde edilir. Sayıların çarpımı 13×3×2=7813 \times 3 \times 2 = 78 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
x=13y−13z⇒x=13(y−z)x = 13y - 13z \Rightarrow x = 13(y - z)
xx değişkenini tek başına bırakmak, çarpanlar üzerinden yorum yapmayı sağlar.
2
xx sayısının asal olma şartını analiz edin.
y−z=1y - z = 1 olmalıdır.
xx bir asal sayı ve 1313 de bir asal sayı olduğuna göre, x=13⋅(y−z)x = 13 \cdot (y-z) ifadesinde (y−z)(y-z) çarpanı 11'den farklı bir tam sayı olursa xx sayısı asal olamaz (13'ün katı bir bileşik sayı olur).
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları belirleyin.
y=3y = 3 ve z=2z = 2
Aralarındaki fark 1 olan yegâne asal sayı çifti 3 ve 2'dir (çünkü diğer tüm asal sayılar tektir ve farkları çifttir).
4
xx değerini hesaplayın.
x=13⋅(3−2)=13x = 13 \cdot (3 - 2) = 13
y−z=1y-z=1 eşitliği denklemde yerine konur.
5
İstenen çarpımı bulun.
x⋅y⋅z=13⋅3⋅2=78x \cdot y \cdot z = 13 \cdot 3 \cdot 2 = 78
Bulunan x,y,zx, y, z değerleri çarpılır.

Anahtar Kavram

Asal sayılar kümesinde aralarındaki fark 1 olan tek çift (3,2)(3, 2) çiftidir.

İpuçları

1
Denklemi xx ifadesini yalnız bırakacak şekilde düzenlemeyi deneyin.
2
x=13(y−z)x = 13(y - z) eşitliğinde xx asal olduğuna göre, y−zy - z farkının kaç olması gerektiğini düşünün.
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları hatırlayın: Sadece 3 ve 2 bu şartı sağlar.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde xx ve yy asal sayıları için x2−y2=13x^2 - y^2 = 13 gibi farkı asal olan denklem sorularını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 257Soru →
Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için;
x⋅y<0x \cdot y < 0

y⋅z>0y \cdot z > 0

x+z=0x + z = 0

y−x<0y - x < 0

eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x−y>zx - y > z

Cevap

x−y>zx - y > z ifadesi daima doğrudur.
Verilen eşitsizlikler incelendiğinde xx'in pozitif, yy ve zz'nin negatif olduğu kesinleşir. Doğru seçenekte verilen x−y>zx - y > z ifadesinde; sol taraf (x−yx - y) pozitif bir sayıdan negatif bir sayının çıkarılmasıdır, yani sonuç pozitiftir. Sağ taraf (zz) ise negatiftir. Pozitif bir sayı daima negatif bir sayıdan büyük olacağından bu ifade daima doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x+z=0x + z = 0 eşitliğini analiz et.
x=−zx = -z olduğu için xx ve zz ters işaretlidir ve mutlak değerleri eşittir (∣x∣=∣z∣|x| = |z|).
Toplamları sıfır olan sıfırdan farklı iki sayı zıt işaretli olmalıdır.
2
y⋅z>0y \cdot z > 0 eşitsizliğini kullanarak işaretleri ilişkilendir.
yy ve zz aynı işaretlidir.
Çarpımları pozitif olan sayılar aynı işarete sahiptir.
3
y−x<0y - x < 0 eşitsizliğini kullanarak durum analizi yap (Hipotez Testi).
x>0x > 0 olmalıdır. Çünkü eğer x<0x < 0 olsaydı; zz pozitif (Ters işaret), dolayısıyla yy pozitif (z ile aynı) olurdu. Bu durumda yy pozitif, xx negatif iken y>xy > x olurdu ki bu da y−x<0y - x < 0 (y<xy < x) şartıyla çelişir.
Çelişki yöntemiyle xx'in işaretini kesinleştirmek.
4
Tüm işaretleri belirle.
xx pozitif (+), zz negatif (-), yy negatif (-).
x>0x > 0 bulununca diğerleri zincirleme olarak ortaya çıkar.
5
Doğru seçeneği (x−y>zx - y > z) değerlendir.
xx pozitif ve yy negatiftir, bu yüzden x−yx - y işlemi x+∣y∣x + |y| anlamına gelir ve sonucu kesinlikle pozitiftir. Eşitsizliğin sağ tarafındaki zz ise negatiftir. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan daima büyüktür.
İşaret analizi sonucunda kesin yargıya varmak.

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Sistemleri

İpuçları

1
x+z=0x + z = 0 eşitliği, bu iki sayının ters işaretli olduğunu gösterir.
2
y−x<0y - x < 0 eşitsizliğinden y<xy < x olduğu anlaşılır. xx negatif olsaydı, diğer koşullarla birlikte bir çelişki doğup doğmayacağını kontrol edin.
3
Eğer xx negatif olsaydı, zz pozitif ve yy pozitif olurdu. Bu durumda yy (pozitif) sayısı xx (negatif) sayısından küçük olamazdı. Demek ki xx pozitif, yy ve zz negatiftir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 258Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde düzenleme çalışmaları kapsamında dosyalar, küçükten büyüğe doğru ardışık çift tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu serideki son 4 dosya numarasının toplamı, ilk 4 dosya numarasının toplamından 128128 fazladır. Tüm dosyaların numaraları toplamı 780780 olduğuna göre, baştan 15.15. sıradaki dosyanın numarası kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Baştan 15. sıradaki dosyanın numarası 48'dir.
Ardışık çift sayılar dizisinde son 4 ve ilk 4 terim arasındaki fark, dizinin uzunluğunu (terim sayısını) verir. Bulunan terim sayısı ve toplam formülü yardımıyla ilk terim (a=20a=20) hesaplanır. İstenen 15. terim, genel terim formülü a15=a+14da_{15} = a + 14d kullanılarak 20+28=4820 + 28 = 48 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin genel terimlerini ve verilen fark bilgisini denkleme dök
İlk terim aa, son terim ll, artış miktarı 22 olsun. İlk 4 terim toplamı: 4a+124a + 12. Son 4 terim toplamı: 4l−124l - 12. Fark: (4l−12)−(4a+12)=128⇒4(l−a)=152⇒l−a=38(4l - 12) - (4a + 12) = 128 \Rightarrow 4(l-a) = 152 \Rightarrow l - a = 38.
Ardışık çift sayıların toplam farkından, ilk ve son terim arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.
2
Terim sayısı (nn) ile ilk ve son terim arasındaki ilişkiyi kur
Genel terim formülünden l=a+(n−1)2l = a + (n-1)2 olduğu için l−a=2(n−1)l - a = 2(n-1) olur. Buradan 2(n−1)=38⇒n−1=19⇒n=202(n-1) = 38 \Rightarrow n-1 = 19 \Rightarrow n = 20 bulunur.
Dosya sayısı (nn) bilinmeden spesifik bir terim bulunamaz.
3
Toplam formülünü kullanarak ilk terimi (aa) bul
Toplam formülü Sn=n2(a+l)=780S_n = \frac{n}{2}(a + l) = 780. Değerleri yerine koyarsak: 10(a+l)=780⇒a+l=7810(a + l) = 780 \Rightarrow a + l = 78. Elimde iki denklem var: l−a=38l - a = 38 ve l+a=78l + a = 78. Taraf tarafa toplarsak 2l=116⇒l=582l = 116 \Rightarrow l = 58. Buradan a=20a = 20 bulunur.
Dizinin başlangıç noktasını belirlemek için toplam bilgisini kullanmak şarttır.
4
İstenen 15. terimi hesapla
a15=a+(15−1)⋅2=20+14⋅2=20+28=48a_{15} = a + (15-1) \cdot 2 = 20 + 14 \cdot 2 = 20 + 28 = 48.
Başlangıç değeri ve artış miktarı bilindiğinde herhangi bir terim hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Sonlu aritmetik dizilerde toplam farkı ve genel terim ilişkisi.

İpuçları

1
Son 4 terimin toplamı ile ilk 4 terimin toplamı arasındaki farkı, ilk terim (aa) ve son terim (ll) cinsinden ifade etmeye çalışın.
2
Son 4 terim: l,l−2,l−4,l−6l, l-2, l-4, l-6 ve İlk 4 terim: a,a+2,a+4,a+6a, a+2, a+4, a+6. Bunların toplamlarının farkı 4(l−a)−24=1284(l-a) - 24 = 128 denklemini verir.
3
Bulduğunuz l−a=38l-a=38 eşitliği ile l=a+(n−1)2l = a + (n-1)2 bilgisini birleştirerek terim sayısı nn'i bulun (n=20n=20). Sonra toplam formülünden aa'yı çekin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, ardışık tek sayıların toplamı ve ortanca terim ilişkisini soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Ortalama Yöntemi: Her bir 'son' terim ile karşılık gelen 'ilk' terim arasındaki fark (l−a)(l-a) kadardır demek zordur ama simetriyi kullanabilirsiniz. Daha basiti: Son 4 terim ile ilk 4 terimi eşleştirirseniz (1. ile n., 2. ile n-1. gibi değil, direkt kaydırma), farkın her bir terim çifti için eşit dağıldığını görebilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 259Soru →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
n!+(n+1)!+(n+2)!n!+(n+1)!=3n−12 \frac{n! + (n+1)! + (n+2)!}{n! + (n+1)!} = 3n - 12

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Eşitliği sağlayan nn değeri 7'dir.
Verilen kesirli ifade sadeleştirildiğinde n+2n+2 sonucu elde edilir. Bu ifade 3n−123n-12'ye eşitlendiğinde n=7n=7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel parantezine (n!n!) alarak düzenle.
Pay: n![1+(n+1)+(n+1)(n+2)]n![1 + (n+1) + (n+1)(n+2)]
Payda: n![1+(n+1)]n![1 + (n+1)]
Faktöriyel içeren toplama işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için ifadeler ortak çarpan parantezine alınmalıdır.
2
Parantez içindeki cebirsel ifadeleri düzenle ve tam kare özdeşliğini fark et.
Pay: n![1+n+1+n2+3n+2]=n![n2+4n+4]=n!(n+2)2n![1 + n + 1 + n^2 + 3n + 2] = n![n^2 + 4n + 4] = n!(n+2)^2
Payda: n![n+2]n![n+2]
n2+4n+4n^2 + 4n + 4 ifadesi (n+2)2(n+2)^2 tam karesidir.
3
Kesirli ifadeyi sadeleştir.
n!(n+2)2n!(n+2)=n+2 \frac{n!(n+2)^2}{n!(n+2)} = n+2
Pay ve paydadaki n!n! ve (n+2)(n+2) çarpanları birbirini götürür.
4
Elde edilen sadeleşmiş ifadeyi verilen eşitliğin sağ tarafına eşitle ve denklemi çöz.
n+2=3n−12  ⟹  14=2n  ⟹  n=7n + 2 = 3n - 12 \implies 14 = 2n \implies n = 7
Birinci dereceden denklem çözümü yapılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde ortak paranteze alma ve cebirsel sadeleştirme.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki tüm terimleri, en küçük faktöriyel olan n!n! parantezine almayı deneyin.
2
n!n! parantezine aldıktan sonra parantez içindeki ifadeleri açarak toplama işlemini yapın. Pay kısmında (n+2)2(n+2)^2 ifadesini görmeye çalışın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir sadeleştirme sorusu olarak: (n!)2+(n+1)!n!=17\frac{(n!)^2 + (n+1)!}{n!} = 17 denklemini sağlayan n değerini bulunuz.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek nn yerine değerler verilebilir. Ancak bu yöntem faktöriyel hesaplamaları büyüyeceği için zaman alıcı olabilir. Örneğin n=5n=5 için payda 5!+6!=120+720=8405! + 6! = 120 + 720 = 840 gibi büyük sayılarla uğraşmayı gerektirir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 260Soru →

Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

I. x⋅yx \cdot y çarpımı rasyonel bir sayıdır.
II. x+yx + y toplamı irrasyonel bir sayıdır.

Buna göre, xx ve yy sayılarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her ikisi de irrasyonel sayıdır.

Cevap

Her iki sayı da irrasyoneldir.
Verilen iki koşulu aynı anda sağlayan tek senaryo, her iki sayının da irrasyonel olmasıdır. Rasyonel sayıların kendi aralarındaki toplamı rasyoneldir (II. öncüle aykırı). Biri rasyonel diğeri irrasyonel (ve sıfırdan farklı) ise çarpımları irrasyoneldir (I. öncüle aykırı). Geriye kalan tek seçenek ikisinin de irrasyonel olmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Olası durumları analiz et.
Üç ana durum vardır: 1) İkisi de rasyonel, 2) Biri rasyonel biri irrasyonel, 3) İkisi de irrasyonel.
Gerçel sayılar kümesi rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur.
2
Birinci durumu (İkisi de rasyonel) test et.
Yanlış. Eğer x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q} ise, x+y∈Qx+y \in \mathbb{Q} olur. Ancak II. öncül toplamın irrasyonel olduğunu söylüyor.
Rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
3
İkinci durumu (Biri rasyonel, biri irrasyonel) test et.
Yanlış. x∈Q(x≠0)x \in \mathbb{Q} (x \neq 0) ve y∈Q′y \in \mathbb{Q}' ise, x⋅y∈Q′x \cdot y \in \mathbb{Q}' (irrasyonel) olur. Ancak I. öncül çarpımın rasyonel olduğunu söylüyor.
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir.
4
Üçüncü durumu (İkisi de irrasyonel) değerlendir.
Doğru. Diğer tüm olasılıklar elendiği için xx ve yy sayılarının ikisi de irrasyonel olmak zorundadır.
Örnek doğrulama: x=2x=\sqrt{2} ve y=8y=\sqrt{8} olsun. x⋅y=16=4∈Qx \cdot y = \sqrt{16} = 4 \in \mathbb{Q} (Koşul I sağlandı). x+y=32∈Q′x+y = 3\sqrt{2} \in \mathbb{Q}' (Koşul II sağlandı).

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin işlemsel özellikleri (Kapalılık ve etkileşim).
ÖncekiSayfa 13 / 16Sonraki