Examkin

Basamak Analizi ve Çözümleme

38 soru

Soru 21Soru →

Üç basamaklı 4AB4AB doğal sayısı, iki basamaklı BABA doğal sayısının 1313 katından 77 fazladır.

Buna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.
Verilen eşitlik 4AB=13×BA+74AB = 13 \times BA + 7 şeklinde kurulup, sayılar 100A+10B+C100A+10B+C mantığıyla çözümlendiğinde 131=A+43B131 = A + 43B denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan rakamlar A=2A=2 ve B=3B=3'tür, toplamları 5 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi matematiksel denkleme dök.
4AB=13×BA+74AB = 13 \times BA + 7
Sözel ifade matematiksel eşitliğe çevrilir.
2
Sayıları çözümleyerek basamak değerlerine ayır.
400+10A+B=13(10B+A)+7400 + 10A + B = 13(10B + A) + 7
4AB4AB sayısı 400+10A+B400 + 10A + B ve BABA sayısı 10B+A10B + A şeklinde çözümlenir.
3
Parantezi dağıt ve denklemi düzenle.
400+10A+B=130B+13A+7⇒393=3A+129B400 + 10A + B = 130B + 13A + 7 \Rightarrow 393 = 3A + 129B
Bilinenler ve bilinmeyenler düzenlenerek sadeleştirme yapılır.
4
Denklemin her iki tarafını 3'e böl ve A, B rakamlarını bul.
131=A+43B131 = A + 43B. B=3B=3 için 131=A+129⇒A=2131 = A + 129 \Rightarrow A=2.
A ve B birer rakam olduğu için 43B43B ifadesi 131'e yakın olmalıdır. Bu koşulu sağlayan tek değer B=3B=3'tür.
5
A ve B değerlerini topla.
A+B=2+3=5A + B = 2 + 3 = 5
Soruda istenen sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Doğal sayıların basamak değerlerine göre çözümlenmesi (Örn: ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C).
Soru 22Soru →

ABC ve CBA üç basamaklı doğal sayılardır.

ABC−CBA=594ABC - CBA = 594

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, A>B>CA > B > C koşulunu sağlayan kaç farklı ABC sayısı yazılabilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Verilen ABC−CBA=594ABC - CBA = 594 eşitliği çözümlendiğinde A−C=6A - C = 6 bulunur. CBA üç basamaklı olduğundan C≠0C \neq 0 şartı vardır. Bu şartı sağlayan (A, C) ikilileri (9,3), (8,2) ve (7,1)'dir. Her ikili için A>B>CA > B > C eşitsizliğini sağlayan tam 5 adet B değeri bulunur. 3 farklı durum için toplam 3×5=153 \times 5 = 15 farklı sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği çözümleyerek (basamak analizi yaparak) sadeleştirin.
(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=594(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 594 ⇒99A−99C=594\Rightarrow 99A - 99C = 594 ⇒99(A−C)=594\Rightarrow 99(A - C) = 594
Sayıları basamak değerlerine ayırmak, rakamlar arasındaki ilişkiyi bulmayı sağlar.
2
A ve C arasındaki farkı bulun.
A−C=59499=6A - C = \frac{594}{99} = 6
Bu fark, A ve C rakamlarının alabileceği değerleri kısıtlar.
3
CBA sayısının üç basamaklı olması (C ≠ 0) koşulunu gözeterek uygun (A, C) ikililerini belirleyin.
Olası (A, C) çiftleri: (9, 3), (8, 2) ve (7, 1). Not: (6, 0) çifti C=0 olduğu için elenir.
Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı 0 olamaz.
4
Her çift için A>B>CA > B > C koşuluna uyan B rakamlarını sayın.
1. Durum (9, 3): 9>B>39 > B > 3 ise B = {4, 5, 6, 7, 8} (5 değer)
2. Durum (8, 2): 8>B>28 > B > 2 ise B = {3, 4, 5, 6, 7} (5 değer)
3. Durum (7, 1): 7>B>17 > B > 1 ise B = {2, 3, 4, 5, 6} (5 değer)
B rakamı A ile C arasında değer almalıdır.
5
Tüm olası durumları toplayın.
Toplam = 5 + 5 + 5 = 15 farklı ABC sayısı vardır.
Ayrık durumların toplam sayısı çözüm kümesini verir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

İpuçları

1
Önce ABCABC ve CBACBA sayılarını 100A+10B+C100A + 10B + C ve 100C+10B+A100C + 10B + A şeklinde çözümleyerek fark işlemini yapınız.
2
Çıkarma işlemi sonucunda 99(A−C)=59499(A - C) = 594 eşitliğini bulacaksınız. Buradan AA ve CC arasındaki farkı belirleyiniz.
3
A−C=6A - C = 6 olacaktır. CBACBA üç basamaklı olduğu için CC sıfır olamaz. Bu kurala uyan (A,C)(A,C) ikililerini yazıp, her biri için aradaki BB rakamlarını sayınız.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: A−C=kA-C=k olduğunda, A>B>CA>B>C koşulunu sağlayan BB sayısı her zaman k−1k-1 tanedir. Geçerli (A,C)(A,C) çifti sayısını bulup (k−1)(k-1) ile çarpabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 23Soru →

Rakamları birbirinden farklı ABCABC üç basamaklı doğal sayısı, rakamları toplamının 21 katına eşittir.

Buna göre, C−AC - A değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5 değeridir.
Doğru cevap, CC ve AA rakamlarının farkı olan 5'tir. Denklem çözüldüğünde A=3A=3 ve C=8C=8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün ve basamak çözümlemesi yapın.
ABC=21⋅(A+B+C)ABC = 21 \cdot (A+B+C) ifadesini çözümleyelim: 100A+10B+C=21A+21B+21C100A + 10B + C = 21A + 21B + 21C
Üç basamaklı sayının değeri 100A+10B+C100A+10B+C formundadır.
2
Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi sadeleştirin.
79A=11B+20C79A = 11B + 20C
A, B ve C'nin katsayılarını düzenleyerek değişkenler arasındaki ilişkiyi netleştirmek gerekir.
3
A rakamı için olası değerleri belirleyin.
BB ve CC en fazla 9 olabilir. Eşitliğin sağ tarafının maksimum değeri 11(9)+20(9)=99+180=27911(9) + 20(9) = 99 + 180 = 279'dur. Bu durumda 79A≤27979A \le 279 olacağından AA sadece 1, 2 veya 3 olabilir.
Katsayısı en büyük olan A değişkenini sınırlandırarak deneme sayısını azaltırız.
4
A'nın olası değerlerini deneyerek B ve C rakamlarını bulun.
A=3A=3 için: 237=11B+20C237 = 11B + 20C olur. Bu eşitliği sağlayan değerleri bulmak için 11B=237−20C11B = 237 - 20C yazılır. C=8C=8 seçilirse 237−160=77237 - 160 = 77 olur ve B=7B=7 bulunur. Sayı 378'dir.
A=1A=1 ve A=2A=2 durumları için BB ve CC birer rakam (0-9) olacak şekilde çözüm bulunamaz.
5
Bulunan rakamların 'birbirinden farklı' olma şartını kontrol edin ve istenen değeri hesaplayın.
Rakamlar 3, 7, 8 birbirinden farklıdır. İstenen C−A=8−3=5C - A = 8 - 3 = 5 bulunur.
Sorudaki tüm kısıtlamaların sağlandığından emin olunmalıdır.

Anahtar Kavram

Basamak analizi problemlerinde katsayısı büyük olan değişkenden başlayarak değer aralığı tespiti yapmak.

İpuçları

1
Verilen sözel ifadeyi 100A+10B+C=21(A+B+C)100A + 10B + C = 21(A+B+C) şeklinde yazarak işe başlayın.
2
Denklemi sadeleştirdiğinizde 79A=11B+20C79A = 11B + 20C elde edeceksiniz. BB ve CC rakamlarının alabileceği en büyük değerleri düşünerek AA için bir üst sınır belirleyin.
3
AA sayısı en fazla 3 olabilir. A=3A=3 için 11B+20C=23711B + 20C = 237 eşitliğini sağlayan BB ve CC rakamlarını (tekler ve çiftler mantığıyla) arayın.

Daha Fazla Pratik

ABC=25(A+B+C)ABC = 25(A+B+C) koşulunu sağlayan sayıları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri deneme şansınız olmadığından (çünkü A,B,CA, B, C toplamı değil farkı soruluyor), A'ya sırasıyla 1, 2, 3 verip modüler aritmetik kullanabilirsiniz: 79A≡20C(mod11)79A \equiv 20C \pmod{11} yani 2A≡9C(mod11)2A \equiv 9C \pmod{11}.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 24Soru →
aa ve bb birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, iki basamaklı abab ve baba doğal sayıları için;
ab+ba=154 ab + ba = 154
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı abab doğal sayısı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Bu koşulu sağlayan 4 farklı abab doğal sayısı vardır.
Verilen ab+ba=154ab + ba = 154 eşitliği çözümlendiğinde 11(a+b)=15411(a+b) = 154 elde edilir, buradan a+b=14a+b=14 bulunur. Toplamları 14 olan rakam ikilileri (5,9),(6,8),(7,7),(8,6),(9,5)(5,9), (6,8), (7,7), (8,6), (9,5)'tir. Soruda aa ve bb'nin birbirinden farklı olduğu belirtildiğinden (7,7)(7,7) elenir. Geriye 4 farklı değer kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği basamak analizi (çözümleme) yöntemiyle açın.
(10a+b)+(10b+a)=154⇒11a+11b=154(10a + b) + (10b + a) = 154 \Rightarrow 11a + 11b = 154
İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ab=10a+bab = 10a + b şeklindedir.
2
Denklemi sadeleştirerek rakamlar toplamını bulun.
11(a+b)=154⇒a+b=1411(a + b) = 154 \Rightarrow a + b = 14
Her iki taraf 11'e bölünür.
3
Toplamı 14 olan rakam çiftlerini (a,b)(a, b) şeklinde listeleyin.
(5, 9), (6, 8), (7, 7), (8, 6), (9, 5)
aa ve bb birer rakamdır (0-9 arası) ve sayı iki basamaklı olduğu için 0 olamazlar.
4
Sorudaki kısıtlamaları (birbirinden farklı rakamlar) uygulayın.
(7,7)(7, 7) çifti elenir çünkü aa ve bb farklı olmalıdır.
Soruda 'a ve b birbirinden farklı' ifadesi yer almaktadır.
5
Kalan geçerli çiftleri sayın.
Geçerli abab sayıları: 59, 68, 86, 95. Toplam 4 adet.
Sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme

İpuçları

1
abab ve baba sayılarını çözümleyerek (10a+b10a+b ve 10b+a10b+a) toplayın.
2
Toplama işleminden sonra 11(a+b)=15411(a+b) = 154 eşitliğini kullanarak a+ba+b değerini bulun.
3
a+b=14a+b=14 eşitliğini sağlayan rakamları listeleyin ancak a≠ba \neq b kuralına dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla ab−ba=36ab - ba = 36 koşulunu sağlayan sayıları bulunuz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 25Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı ABAB sayısının 8 katı ile iki basamaklı BCBC sayısının 2 katının toplamına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

En büyük ABCABC sayısı 448'dir ve rakamları toplamı 16'dır.
Verilen eşitlik basamak değerlerine ayrıldığında 20A=18B+C20A = 18B + C bağıntısı elde edilir. C'nin bir rakam olması koşulu (0 ile 9 arasında) kullanılarak A'ya değer verildiğinde, A'nın en çok 4 olabileceği görülür (A=5 için C=10 olur, geçersizdir). A=4 için B=4 ve C=8 bulunur. Böylece en büyük ABC sayısı 448 olur. Rakamları toplamı 4+4+8=16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dök.
ABC=8⋅(AB)+2⋅(BC)ABC = 8 \cdot (AB) + 2 \cdot (BC)
Sorudaki ilişkiyi çözümlemek için basamak analizi yapılmalıdır.
2
Basamak değerlerini açarak denklemi düzenle.
100A+10B+C=8(10A+B)+2(10B+C)100A + 10B + C = 8(10A + B) + 2(10B + C)
100A+10B+C=80A+8B+20B+2C100A + 10B + C = 80A + 8B + 20B + 2C
100A+10B+C=80A+28B+2C100A + 10B + C = 80A + 28B + 2C
A, B ve C rakamları arasındaki ilişkiyi sadeleştirmek için.
3
Benzer terimleri bir araya getirerek en sade hali bul.
20A=18B+C20A = 18B + C
Değer vererek çözüme ulaşmak için denklem en basit hale getirilmelidir.
4
C bir rakam (0≤C≤90 \le C \le 9) olduğu için A'nın alabileceği değerleri ve buna karşılık gelen B ve C değerlerini test et.
Tablo oluşturarak inceleyelim:

- A=1  ⟹  20=18(1)+2  ⟹  B=1,C=2→112A=1 \implies 20 = 18(1) + 2 \implies B=1, C=2 \to 112
- A=2  ⟹  40=18(2)+4  ⟹  B=2,C=4→224A=2 \implies 40 = 18(2) + 4 \implies B=2, C=4 \to 224
- A=3  ⟹  60=18(3)+6  ⟹  B=3,C=6→336A=3 \implies 60 = 18(3) + 6 \implies B=3, C=6 \to 336
- A=4  ⟹  80=18(4)+8  ⟹  B=4,C=8→448A=4 \implies 80 = 18(4) + 8 \implies B=4, C=8 \to 448
- A=5  ⟹  100=18(5)+10  ⟹  C=10A=5 \implies 100 = 18(5) + 10 \implies C=10 (Rakam değil, geçersiz)
C'nin tek basamaklı bir sayı olması kısıtlaması çözüm kümesini belirler.
5
Bulunan sayılar arasından en büyüğünü seç ve rakamlarını topla.
En büyük sayı ABC=448ABC = 448. Rakamlar toplamı: 4+4+8=164 + 4 + 8 = 16.
Soruda istenen nihai değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Çözümleme ve Değer Verme

İpuçları

1
ABC, AB ve BC sayılarını basamak değerlerine göre (100A+10B+C100A+10B+C gibi) açarak bir eşitlik elde etmeyi deneyin.
2
Denklemi sadeleştirdiğinizde 20A=18B+C20A = 18B + C gibi bir ifade bulmalısınız. Burada A, B ve C'nin birer rakam olduğunu unutmayın.
3
C=20A−18BC = 20A - 18B eşitliğinde C'nin 0 ile 9 arasında bir rakam olması gerektiğini kullanarak A'ya sırasıyla 1, 2, 3... değerlerini verin.

Daha Fazla Pratik

Rakamları birbirinden farklı koşulu eklenirse çözüm kümesinin nasıl değişeceğini (veya çözümün olup olmayacağını) inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →
A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere; ABC, BCA ve CAB üç basamaklı doğal sayıları için
ABC+BCA+CAB=1665ABC + BCA + CAB = 1665
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, A<B<CA < B < C koşulunu sağlayan en büyük ABC sayısı ile en küçük ABC sayısının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 615

Cevap

En küçük sayı 159 ve en büyük sayı 456 olduğundan toplamları 615'tir.
Verilen eşitlik 111(A+B+C)=1665111(A+B+C)=1665 şeklinde sadeleşir, buradan A+B+C=15A+B+C=15 bulunur. A<B<CA<B<C şartını sağlayan ayrık rakamlar için;
En küçük ABC sayısı, A'nın en küçük (1) olduğu durumda aranır: 1+B+C=15→B+C=141+B+C=15 \rightarrow B+C=14. Bu şartı sağlayan en küçük B değeri 5'tir (çünkü B<CB<C olmalı, 6+86+8 veya 5+95+9 olabilir). En küçük sayı 159'dur.
En büyük ABC sayısı, A'nın en büyük olduğu durumda aranır: A=5 olsa B+C=10B+C=10 olmalı, ancak 5<B<C5<B<C şartıyla bu imkansızdır (en az 6+7=136+7=13). O halde A=4 olur, B+C=11B+C=11. Bu şartı sağlayan 4<5<64<5<6 seti vardır. En büyük sayı 456'dır.
Toplam: 159+456=615159 + 456 = 615.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi basamaklarına ayırarak çözümleyiniz.
(100A+10B+C)+(100B+10C+A)+(100C+10A+B)=111(A+B+C)(100A+10B+C) + (100B+10C+A) + (100C+10A+B) = 111(A+B+C)
Sayıların basamak değerlerini toplayarak genel denklemi basitleştirmek için.
2
Elde edilen ifadeyi 1665'e eşitleyip A+B+CA+B+C toplamını bulunuz.
111(A+B+C)=1665  ⟹  A+B+C=15111(A+B+C) = 1665 \implies A+B+C = 15
Rakamların toplamının kaç olması gerektiğini belirlemek için.
3
A<B<CA < B < C koşulunu ve rakamların farklı olmasını gözeterek olası en küçük ve en büyük ABC sayılarını belirleyiniz.
En küçük A=1 için 1+5+9=151+5+9=15 (159). En büyük A=4 için 4+5+6=154+5+6=15 (456).
İstenen koşulları sağlayan sınır değerleri tespit etmek için.
4
Bulunan en büyük ve en küçük değerleri toplayınız.
159+456=615159 + 456 = 615
Soruda istenen nihai sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

İpuçları

1
Verilen eşitliği 100A+10B+C100A+10B+C formatında açarak ortak paranteze alınız. 111 sayısının çarpanı ortaya çıkacaktır.
2
111(A+B+C)=1665111(A+B+C) = 1665 eşitliğinden rakamların toplamının 15 olduğunu bulabilirsiniz. Şimdi A<B<CA<B<C kuralına uyan üçlüleri listeleyin.
3
Toplamı 15 olan rakamlar için; A=1 iken B en az kaç olabilir? A en fazla kaç olabilir (A=5 olursa B+C kaç olmalı)? Bu sınırları kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Aynı toplamı (15) veren rakamlarla yazılabilecek, rakamları farklı tüm üç basamaklı sayıların toplamı kaçtır?
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 27Soru →

Rakamları sıfırdan farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, rakamları toplamının 2626 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısının rakamları çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 192

Cevap

Koşulu sağlayan en büyük sayı 468 olup, rakamları çarpımı 192'dir.
Verilen ABC=26(A+B+C)ABC = 26(A+B+C) eşitliği çözümlendiğinde 74A=16B+25C74A = 16B + 25C elde edilir. Bu eşitliği sağlayan (ve rakamları sıfırdan farklı olan) sayılar 234 ve 468'dir. En büyük sayı olan 468'in rakamları çarpımı 4×6×8=1924 \times 6 \times 8 = 192 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dök
ABC=26⋅(A+B+C)ABC = 26 \cdot (A + B + C)
Soruda sayının, rakamları toplamının 26 katı olduğu belirtilmiştir.
2
ABC sayısını basamaklarına ayırarak denklemi düzenle
100A+10B+C=26A+26B+26C100A + 10B + C = 26A + 26B + 26C ifadesinden 74A=16B+25C74A = 16B + 25C elde edilir.
Çözümleme yaparak aynı türden terimleri bir araya getirmek çözümü kolaylaştırır.
3
Elde edilen 74A=16B+25C74A = 16B + 25C denkleminde A için olası değerleri sınırla
B ve C en fazla 9 olabileceğinden 74A≤16(9)+25(9)=36974A \le 16(9) + 25(9) = 369 olur. Bu durumda A≤4A \le 4 olmalıdır.
Katsayısı büyük olan A değişkeninin alabileceği değerleri belirlemek deneme sayısını azaltır.
4
A değerlerini deneyerek B ve C rakamlarını bul
A=2A=2 için 148=16B+25C148 = 16B + 25C ise B=3,C=4B=3, C=4 (Sayı: 234).
A=4A=4 için 296=16B+25C296 = 16B + 25C ise B=6,C=8B=6, C=8 (Sayı: 468).
Diyofant denklem mantığıyla katsayılara uygun (özellikle 25'in katları ve 16'nın katları ilişkisi) rakamlar aranır.
5
Bulunan sayılardan en büyük olanı seç ve rakamlarını çarp
En büyük sayı 468'dir. Rakamları çarpımı: 4⋅6⋅8=1924 \cdot 6 \cdot 8 = 192.
Soru 'en büyük' sayının rakamları çarpımını istemektedir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

İpuçları

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde açarak eşitliği düzenleyin.
2
Düzenleme sonucunda 74A=16B+25C74A = 16B + 25C eşitliğini elde etmelisiniz. A'nın alabileceği maksimum değeri düşünün.
3
A=4 için eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edin. 16B+25C=29616B + 25C = 296 olması için C kaç olmalıdır?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla ABC=k⋅(A+B+C)ABC = k \cdot (A+B+C) tipindeki diğer soruları (örneğin k=21 durumu) inceleyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 28Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* Sayının birler ve yüzler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde sayının değeri 396396 azalmaktadır.
* Sayının onlar basamağındaki rakam, yüzler basamağındaki rakamdan 11 küçüktür.

Buna göre, bu koşulları sağlayan en büyük ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Rakamları toplamı 22'dir.
Basamak çözümlemesi yapıldığında 99(A−C)=39699(A-C) = 396 eşitliğinden A−C=4A-C=4 bulunur. Sayının en büyük olması için yüzler basamağı A=9A=9 seçilir, buradan C=5C=5 gelir. B=A−1B=A-1 koşulundan B=8B=8 bulunur. Sayımız 958'dir ve rakamları toplamı 9+8+5=229+8+5=22 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen yer değiştirme bilgisini matematiksel denkleme dökün.
ABC−CBA=396ABC - CBA = 396
Sayının değeri azaldığına göre, ilk sayı (ABCABC) ikinci sayıdan (CBACBA) büyüktür.
2
Basamak çözümlemesi yaparak ifadeyi sadeleştirin.
(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=396⇒99(A−C)=396⇒A−C=4(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 396 \Rightarrow 99(A - C) = 396 \Rightarrow A - C = 4
100A'dan A çıktı 99A, 10B'ler sadeleşti, C'den 100C çıktı -99C kaldı.
3
En büyük ABCABC sayısını elde etmek için AA rakamını maksimize edin.
AA en fazla 99 olabilir. Bu durumda C=A−4=5C = A - 4 = 5 olur.
Bir sayının değerinin en büyük olması için en büyük basamağının (yüzler) en büyük seçilmesi gerekir.
4
Verilen ikinci koşulu kullanarak BB rakamını bulun.
B=A−1⇒B=9−1=8B = A - 1 \Rightarrow B = 9 - 1 = 8.
Soruda onlar basamağının yüzler basamağından 1 küçük olduğu belirtilmiştir.
5
Bulunan rakamların toplamını hesaplayın.
Sayı 958958'dir. Rakamlar toplamı: 9+8+5=229 + 8 + 5 = 22.
Sonuç hesabı.

Anahtar Kavram

Doğal sayıların 10'un kuvvetleri şeklinde yazılması (çözümlenmesi) ve basamaklar arası ilişkilerin cebirsel ifadesi.

İpuçları

1
Sayı 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümlenebilir. Rakamlar yer değiştiğinde sayı 100C+10B+A100C + 10B + A olur.
2
İlk sayı ile ikinci sayı arasındaki farkı 396'ya eşitleyin: (100A+C)−(100C+A)=396(100A + C) - (100C + A) = 396. Bu işlem size A ve C arasındaki farkı verecektir.
3
99(A−C)=39699(A-C)=396 bulduktan sonra A−C=4A-C=4 olur. Sayının en büyük olması için A'ya verebileceğiniz en büyük rakamı düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer koşullarla 'en küçük' sayının sorulduğu veya farkın negatif olduğu durumları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yöntemi: A ve C arasındaki farkın belirleyici olduğunu fark edip, A'ya 9 vererek başlanabilir. A=9 için C=5 olur. Farkları (900-500) civarında mı? Evet. Tam hesapla kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 29Soru →

abab iki basamaklı bir doğal sayıdır. abab sayısı, rakamları toplamının 88 katına eşit olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Rakamları toplamı 9 olan seçenek doğrudur.
İki basamaklı abab sayısı 10a+b10a + b şeklinde yazılır. Eşitlik 10a+b=8(a+b)10a + b = 8(a + b) olarak kurulduğunda 2a=7b2a = 7b bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıyı sağlayan tek rakam çifti a=7a=7 ve b=2b=2 olduğundan toplam 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
abab sayısını basamak değerlerine göre çözümleyelim.
ab=10a+bab = 10a + b
İki basamaklı bir sayıda onlar basamağındaki rakam 10, birler basamağındaki rakam 1 ile çarpılır.
2
Soruda verilen eşitliği kuralım ve düzenleyelim.
10a+b=8(a+b)⇒10a+b=8a+8b10a + b = 8(a + b) \Rightarrow 10a + b = 8a + 8b
Sayının rakamları toplamının 8 katına eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Benzer terimleri eşitliğin aynı tarafına toplayarak sadeleştirelim.
10a−8a=8b−b⇒2a=7b10a - 8a = 8b - b \Rightarrow 2a = 7b
Bilinmeyenleri bir araya getirerek rakamlar arasındaki oranı bulmamız gerekir.
4
aa ve bb birer rakam ve a≠0a \neq 0 olduğu için uygun değerleri bulalım.
a=7a = 7 ve b=2b = 2
2a=7b2a = 7b eşitliğini sağlayan ve rakam olma koşuluna uyan tek değer çifti budur (a=14a=14 olamaz çünkü bir rakam değildir).
5
a+ba + b toplamını hesaplayalım.
7+2=97 + 2 = 9
Soruda rakamların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme

İpuçları

1
İki basamaklı abab sayısını 10a+b10a + b şeklinde açarak başlayın.
2
10a+b=8(a+b)10a + b = 8(a + b) denkleminde sağ taraftaki 8 sayısını parantez içine dağıtın.
3
2a=7b2a = 7b eşitliğini bulduğunuzda, aa ve bb değerlerinin rakam olması gerektiğini unutmayın; aa sadece 7 olabilir.

Daha Fazla Pratik

Üç basamaklı abcabc sayılarının çözümlenmesi ile ilgili bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek deneme yöntemi: Rakamları toplamının 8 katı olan iki basamaklı sayıları düşünün. 8×9=728 \times 9 = 72 sayısının rakamları toplamı 7+2=97+2=9 olduğu için şartı sağlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 30Soru →
Rakamları sıfırdan farklı olan iki basamaklı abab ve baba doğal sayıları için,
ab−ba>4⋅(a+b) ab - ba > 4 \cdot (a + b)
eşitsizliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı abab doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Koşulu sağlayan 13 farklı abab sayısı vardır.
Doğru cevap 13'tür. Basamaklar çözümlendiğinde 5a>13b5a > 13b eşitsizliği elde edilir. b=1,2,3b=1, 2, 3 değerleri için aa sırasıyla 7, 4 ve 2 farklı değer alır. Toplamda 13 sayı bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Basamak çözümlemesi yap.
ab=10a+bab = 10a + b ve ba=10b+aba = 10b + a olarak yazılır. Eşitsizlikte yerine koyarsak:
(10a+b)−(10b+a)>4(a+b)(10a + b) - (10b + a) > 4(a + b)
Sayıların basamak değerlerini kullanarak cebirsel ifadeye dönüştürmek gerekir.
2
İfadeyi düzenle ve sadeleştir.
9a−9b>4a+4b9a - 9b > 4a + 4b
9a−4a>4b+9b9a - 4a > 4b + 9b
5a>13b5a > 13b
aa ve bb terimlerini eşitsizliğin farklı taraflarına toplayarak ilişkiyi netleştiririz.
3
aa için alt sınırı belirle.
a>135ba > \frac{13}{5}b yani a>2,6ba > 2,6b olmalıdır.
aa'nın alabileceği değerleri bb'ye bağlı olarak bulmak için aa yalnız bırakılır.
4
Olası bb değerleri için aa rakamlarını bul.
- b=1b=1 için: a>2,6⇒a∈{3,4,5,6,7,8,9}a > 2,6 \Rightarrow a \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} (7 değer)
- b=2b=2 için: a>5,2⇒a∈{6,7,8,9}a > 5,2 \Rightarrow a \in \{6, 7, 8, 9\} (4 değer)
- b=3b=3 için: a>7,8⇒a∈{8,9}a > 7,8 \Rightarrow a \in \{8, 9\} (2 değer)
- b=4b=4 için: a>10,4a > 10,4 (Rakam olamaz, çözüm yok)
aa ve bb birer rakam olduğu için bb'ye değer vererek aa'nın alabileceği rakamları listeleriz.
5
Toplam değeri hesapla.
7+4+2=137 + 4 + 2 = 13 farklı abab sayısı vardır.
Her durumdaki çözüm sayılarını toplarız.

Anahtar Kavram

Basamak analizi ve basit eşitsizlikler

İpuçları

1
abab ve baba sayılarını 10a+b10a+b ve 10b+a10b+a şeklinde açarak eşitsizliği sadeleştirin.
2
Sadeleştirme sonucunda 5a>13b5a > 13b eşitsizliğini elde etmelisiniz. Şimdi bb'ye küçük değerler vererek (1, 2, 3...) aa'yı bulmaya çalışın.
3
a>2,6ba > 2,6b şartını sağlayan rakamları düşünün. b=1b=1 ise a>2,6a > 2,6 olur. b=4b=4 olursa a>10,4a > 10,4 olur ki bu imkansızdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla ab+ba=11(a+b)ab + ba = 11(a+b) eşitliğini kullanan soruları çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 31Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, rakamları toplamının 51 katına eşittir.

ABC=51⋅(A+B+C)ABC = 51 \cdot (A + B + C)

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayısı için A⋅C−BA \cdot C - B ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 71

Cevap

71
Verilen eşitlik 100A+10B+C=51(A+B+C)100A + 10B + C = 51(A+B+C) şeklinde açılıp düzenlendiğinde 49A=41B+50C49A = 41B + 50C elde edilir. Bu denklemi sağlayan tek rakam üçlüsü A=9,B=1,C=8A=9, B=1, C=8 şeklindedir (918=51×18918 = 51 \times 18). İstenen değer 9×8−1=719 \times 8 - 1 = 71 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dök ve çözümle.
100A+10B+C=51(A+B+C)100A + 10B + C = 51(A + B + C)
Basamak analizi kuralına göre ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C şeklinde açılır.
2
Parantezi dağıt ve benzer terimleri bir araya getirerek sadeleştir.
100A+10B+C=51A+51B+51C  ⟹  49A=41B+50C100A + 10B + C = 51A + 51B + 51C \implies 49A = 41B + 50C
Eşitliğin her iki tarafındaki A, B ve C terimleri gruplandırılır.
3
Elde edilen 49A=41B+50C49A = 41B + 50C eşitliğinde modüler aritmetik veya değer verme yöntemini kullan.
Eşitliğin birler basamağına (mod 10) bakalım. 49A49A'nın son basamağı ile 41B+50C41B + 50C'nin son basamağı aynı olmalıdır. 50C50C'nin son basamağı 0 olduğundan, 9A9A ile 1B1B'nin son basamağı aynı olmalıdır (9A≡B(mod10)9A \equiv B \pmod{10}).
B ve C birer rakam olduğu için katsayıların büyüklüğü çözüm kümesini sınırlar.
4
Olası A rakamlarını dene ve uygun B, C değerlerini bul.
A=9A=9 için: 9A9A'nın sonu 1, yani B=1B=1 olmalı. Denklemde yerine koyalım: 49(9)=44149(9) = 441. 41(1)+50C=441  ⟹  41+50C=441  ⟹  50C=400  ⟹  C=841(1) + 50C = 441 \implies 41 + 50C = 441 \implies 50C = 400 \implies C=8. Bu geçerli bir çözümdür (ABC=918ABC = 918).
Diğer A değerleri (örn. A=8, B=2) denendiğinde C tam sayı veya rakam çıkmaz (Örn: 49(8)=39249(8)=392, 41(2)=8241(2)=82, 392−82=310392-82=310, 310/50310/50 tam sayı değil).
5
Bulunan rakamlarla istenen A⋅C−BA \cdot C - B işlemini yap.
A=9,B=1,C=8A=9, B=1, C=8 olduğuna göre; 9⋅8−1=72−1=719 \cdot 8 - 1 = 72 - 1 = 71.
Sorunun son kısmı sonuç değerini istemektedir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

İpuçları

1
Sayımızı 100A+10B+C100A + 10B + C olarak çözümleyip verilen eşitliği düzenleyin.
2
Düzenleme sonucunda 49A=41B+50C49A = 41B + 50C eşitliğini elde etmelisiniz.
3
50C50C terimi 50'nin katı olduğu için sonu 0 ile biter. Bu durumda 49A49A ile 41B41B'nin birler basamağının aynı olması gerekir.

Daha Fazla Pratik

İki basamaklı ABAB sayısı rakamları toplamının xx katı ise xx en çok kaç olabilir?

Alternatif Yöntem

Deneme-yanılma yöntemi ile 51'in katları incelenebilir, ancak 3 basamaklı sayılar içinde 51'in katı olan ve rakamları toplamının 51 katı olan sayıyı bulmak (örneğin 51x10=510, toplam=6, 51x6=306!=510) zaman alabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 32Soru →
aa, bb ve cc sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere; abcabc, bcabca ve cabcab üç basamaklı doğal sayıları için
abc+bca+cab=1665abc + bca + cab = 1665
eşitliği veriliyor.

Buna göre, a<b<ca < b < c koşulunu sağlayan kaç farklı abcabc sayısı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Toplam 8 farklı abc sayısı yazılabilir.
Verilen eşitlik basamaklarına ayrıldığında 111(a+b+c)=1665111(a+b+c) = 1665 bulunur, buradan a+b+c=15a+b+c=15 elde edilir. a<b<ca<b<c koşulu altında rakamlar sıfırdan farklı olduğu için sistemli değer verme yöntemiyle;
a=1a=1 için: (1,5,9),(1,6,8)(1,5,9), (1,6,8) →\rightarrow 2 durum
a=2a=2 için: (2,4,9),(2,5,8),(2,6,7)(2,4,9), (2,5,8), (2,6,7) →\rightarrow 3 durum
a=3a=3 için: (3,4,8),(3,5,7)(3,4,8), (3,5,7) →\rightarrow 2 durum
a=4a=4 için: (4,5,6)(4,5,6) →\rightarrow 1 durum
olmak üzere toplam 8 farklı sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıları basamak değerlerine göre çözümle
abc=100a+10b+cabc = 100a + 10b + c, bca=100b+10c+abca = 100b + 10c + a, cab=100c+10a+bcab = 100c + 10a + b
Sayıların basamak değerlerini kullanarak denklemi rakamlar cinsinden ifade etmek için gereklidir.
2
Çözümlenen ifadeleri topla ve sadeleştir
(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)=111a+111b+111c=111(a+b+c)(100a+10b+c) + (100b+10c+a) + (100c+10a+b) = 111a + 111b + 111c = 111(a+b+c)
Denklemi en sade hale getirerek a, b ve c toplamını bulmak için gereklidir.
3
Denklemden rakamların toplamını bul
111(a+b+c)=1665⇒a+b+c=15111(a+b+c) = 1665 \Rightarrow a+b+c = 15
Hangi rakam kombinasyonlarını arayacağımızı belirlemek için gereklidir.
4
a < b < c koşuluna ve toplamın 15 olmasına göre olası üçlüleri belirle
a=1 için (1,5,9), (1,6,8); a=2 için (2,4,9), (2,5,8), (2,6,7); a=3 için (3,4,8), (3,5,7); a=4 için (4,5,6)
Sıralama koşulunu sağlayan tüm geçerli durumları sistematik olarak listelemek için gereklidir.
5
Bulunan durum sayısını topla
2+3+2+1=82 + 3 + 2 + 1 = 8 farklı durum vardır.
Soruda istenen toplam sayı adedine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Kümeleri Problemleri

İpuçları

1
Sayıları çözümleyerek abc=100a+10b+cabc = 100a + 10b + c şeklinde yazıp toplayın. Ortak çarpan parantezine almaya çalışın.
2
İfadeyi 111(a+b+c)=1665111(a+b+c) = 1665 haline getirebilirsiniz. Buradan a+b+ca+b+c toplamını bulun.
3
a+b+c=15a+b+c=15 ve a<b<ca<b<c şartını sağlayan üçlüleri bulmak için aa'ya en küçük değerden (1'den) başlayarak değer verin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla abc−cba=495abc - cba = 495 koşulunu sağlayan kaç sayı olduğunu araştırınız.

Alternatif Yöntem

Toplamı 15 olan 3 farklı rakamın tüm kombinasyonlarını düşünüp, her kombinasyon için sadece 1 tane sıralı (a<b<c) durumun geçerli olduğunu fark edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 33Soru →

Üç basamaklı ABCABC ve ACBACB doğal sayılarının toplamı 488'dir. Buna göre, bu sayıların rakamları toplamı olan A+B+CA + B + C kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Rakamlar toplamı 10'dur.
Sayılar çözümlendiğinde elde edilen 200A+11(B+C)=488200A + 11(B + C) = 488 denkleminde, AA yerine yazılabilecek tek uygun rakam 2'dir. Bu durumda B+CB + C toplamı 8 olarak bulunur. Tüm rakamların toplamı ise 2+8=102 + 8 = 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümle.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve ACB=100A+10C+BACB = 100A + 10C + B
Basamak analizi sorularında çözümleme yapmak sayısal ilişkiyi kurmayı sağlar.
2
Sayıları toplayarak verilen sonuca eşitle.
(100A+10B+C)+(100A+10C+B)=488⇒200A+11B+11C=488(100A + 10B + C) + (100A + 10C + B) = 488 \Rightarrow 200A + 11B + 11C = 488
Denklemi sadeleştirerek değişkenler arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.
3
Denklemi ortak paranteze alarak düzenle.
200A+11(B+C)=488200A + 11(B + C) = 488
BB ve CC değerlerinin katsayıları aynı olduğu için gruplandırılabilir.
4
AA rakamı için uygun değeri belirle.
A=2A = 2 için 400+11(B+C)=488⇒11(B+C)=88⇒B+C=8400 + 11(B + C) = 488 \Rightarrow 11(B + C) = 88 \Rightarrow B + C = 8. (A=1A=1 için B+CB+C tam sayı çıkmaz, A≥3A \geq 3 için toplam 488'i geçer.)
AA bir rakam ve sıfırdan farklı olmalıdır. Eşitliği sağlayan tek rakam 2'dir.
5
A+B+CA + B + C toplamını hesapla.
A+(B+C)=2+8=10A + (B + C) = 2 + 8 = 10
Soru kökünde istenen tüm rakamların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Basamak Çözümleme ve Denklem Kurma

İpuçları

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek işe başlayın.
2
Toplama işlemini yaptığınızda 200A+11(B+C)=488200A + 11(B + C) = 488 denklemini elde edeceksiniz.
3
AA rakamı 2'den büyük olamaz çünkü 200×3=600200 \times 3 = 600 olur ve 488'i geçer. A=2A=2 vererek B+CB+C değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde ABC−CBA=495ABC - CBA = 495 şartını sağlayan rakamları farklı en büyük ABCABC sayısını bulmaya çalışın.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 34Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısının birler ve yüzler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde sayı 297 azalmaktadır.

A=2CA = 2C olduğuna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

En büyük ABC sayısının rakamları toplamı 18'dir.
Basamakların yer değiştirmesiyle oluşan fark 99(A−C)=29799(A-C)=297 eşitliğini verir, buradan A−C=3A-C=3 bulunur. A=2CA=2C şartı kullanıldığında C=3C=3 ve A=6A=6 elde edilir. Sayının en büyük olması için onlar basamağındaki BB rakamı en büyük rakam olan 9 seçilir. Böylece sayı 693 olur ve rakamları toplamı 6+9+3=186+9+3=18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Basamak değişimi ifadesini matematiksel denkleme dök
ABC−CBA=297ABC - CBA = 297
Sayının değeri azaldığına göre ilk sayı (ABC) ikinci sayıdan (CBA) büyüktür.
2
Sayıları çözümle ve farkı sadeleştir
(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=297⇒99(A−C)=297⇒A−C=3(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 297 \Rightarrow 99(A - C) = 297 \Rightarrow A - C = 3
10B terimleri birbirini götürür, geriye A ve C arasındaki fark kalır.
3
Verilen A=2CA = 2C şartını kullanarak A ve C'yi bul
2C−C=3⇒C=32C - C = 3 \Rightarrow C = 3. Buradan A=2×3=6A = 2 \times 3 = 6 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için yerine koyma metodu uygulanır.
4
En büyük sayıyı oluşturmak için B rakamını belirle
Sayı 6B36B3 formatındadır. En büyük sayı istendiği için BB rakamı en büyük değer olan 99 seçilir. Sayı: 693693.
B rakamı üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur, sayıyı büyütmek için onlar basamağı maksimize edilir.
5
Rakamlar toplamını hesapla
6+9+3=186 + 9 + 3 = 18
Soruda istenen nihai değer rakamların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Doğal sayıların basamaklarına ayrılması (çözümleme) ve rakamların basamak değerleri arasındaki ilişkilerin kullanılması.

İpuçları

1
Bir sayı çözümlenirken ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C şeklinde yazılır.
2
ABC−CBAABC - CBA işlemini çözümleyerek yazdığınızda, 10B terimleri birbirini götürecektir. Geriye 99 parantezinde bir ifade kalır.
3
99(A−C)=29799(A-C) = 297 eşitliğinden AA ve CC arasındaki farkı bulun, sonra A=2CA=2C eşitliğini kullanın. B'yi en büyük seçmeyi unutmayın.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yöntemi: A=2CA=2C şartını sağlayan rakam ikilileri (2,1), (4,2), (6,3), (8,4)'tür. Bu ikililer için yüzler ve birler basamağı yer değiştiğinde farkın 297 olup olmadığı kontrol edilebilir. 600−300=300600-300=300 civarı bir fark gerektiğinden (6,3) çifti hemen göze çarpar.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 35Soru →

A, B ve C sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere; üç basamaklı ABC doğal sayısı, rakamları toplamının 21 katına eşittir.

Buna göre, B⋅C−AB \cdot C - A ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53

Cevap

İşlemin sonucu 53'tür.
Verilen eşitlik 100A+10B+C=21(A+B+C)100A + 10B + C = 21(A+B+C) şeklinde düzenlendiğinde 79A=11B+20C79A = 11B + 20C elde edilir. Bu denklemi sağlayan ve rakam olma şartına uyan tek üçlü (A,B,C)=(3,7,8)(A,B,C) = (3,7,8)'dir. İstenen B⋅C−AB \cdot C - A değeri 7⋅8−3=537 \cdot 8 - 3 = 53 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifade matematiksel denkleme dökülür ve basamak analizi yapılır.
100A+10B+C=21⋅(A+B+C)100A + 10B + C = 21 \cdot (A + B + C)
ABC sayısı 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümlenir.
2
Denklem düzenlenerek değişkenler arasındaki ilişki basitleştirilir.
100A+10B+C=21A+21B+21C100A + 10B + C = 21A + 21B + 21C 79A=11B+20C79A = 11B + 20C
Aynı türden terimler bir araya toplanarak eşitlik sadeleştirilir.
3
Eşitliğin sağ tarafının alabileceği maksimum değeri bularak A için olası değerler sınırlandırılır.
Maksimum sağ taraf (B=9,C=9B=9, C=9 için): 11(9)+20(9)=99+180=27911(9) + 20(9) = 99 + 180 = 279. 79A≤279  ⟹  A≤379A \le 279 \implies A \le 3
A bir rakam olduğu için katsayısı büyük olan A'nın alabileceği değerler analiz edilir.
4
A için olası değerler (1, 2, 3) denenerek B ve C rakamları bulunur.
A=3 için: 237=11B+20C237 = 11B + 20C Eşitliği sağlayan değerler C=8C=8 ve B=7B=7'dir (11(7)+20(8)=77+160=23711(7) + 20(8) = 77 + 160 = 237).
A=1 ve A=2 durumlarında B ve C için uygun rakamlar bulunamaz. Tek çözüm kümesi A=3,B=7,C=8A=3, B=7, C=8'dir.
5
Bulunan değerler istenen ifadede yerine yazılır.
B⋅C−A=7⋅8−3=56−3=53B \cdot C - A = 7 \cdot 8 - 3 = 56 - 3 = 53
Sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

İpuçları

1
ABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek verilen eşitliği sadeleştirin.
2
Sadeleştirme sonucunda 79A=11B+20C79A = 11B + 20C eşitliğini elde edeceksiniz. A'nın katsayısı büyük olduğu için A'ya küçük değerler vererek (1, 2, 3) deneme yapın.
3
Eşitliğin sağ tarafı en fazla 11(9)+20(9)=27911(9)+20(9)=279 olabilir. Bu yüzden 79A≤27979A \le 279 olmalıdır, yani A en fazla 3 olabilir. A=3 için denklemi çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, ABC=k⋅(A+B+C)ABC = k \cdot (A+B+C) tipindeki sorularda k katsayısının değişimiyle çözümün nasıl etkilendiğini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Modüler aritmetik kullanarak çözüm aralığı daraltılabilir. 79A≡2A(mod11)79A \equiv 2A \pmod{11} ve 11B+20C≡9C(mod11)11B + 20C \equiv 9C \pmod{11} olduğu için 2A≡9C(mod11)2A \equiv 9C \pmod{11} denkliği üzerinden A ve C arasındaki ilişki daha hızlı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 36Soru →

xx, yy ve zz sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar ve x>y>zx > y > z olmak üzere;

xyz+yzx+zxy=1665xyz + yzx + zxy = 1665

eşitliği veriliyor. Buna göre, bu koşulları sağlayan en büyük iki basamaklı xyxy doğal sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 95

Cevap

En büyük xyxy sayısı 95'tir.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 111(x+y+z)=1665111(x+y+z) = 1665 elde edilir, buradan x+y+z=15x+y+z=15 bulunur. xyxy sayısının en büyük olması için onlar basamağı xx en büyük seçilmelidir (x=9x=9). Kalan y+z=6y+z=6 toplamı için, y>zy>z ve z≠0z \neq 0 koşulunu sağlayan en büyük yy değeri aranır. (5,1)(5,1) ikilisi bu şartları sağlar (9>5>19>5>1). Böylece en büyük sayı 95 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üç basamaklı sayıları çözümleyerek toplamı x,y,zx, y, z cinsinden ifade et.
xyz+yzx+zxy=(100x+10y+z)+(100y+10z+x)+(100z+10x+y)=111(x+y+z)xyz + yzx + zxy = (100x+10y+z) + (100y+10z+x) + (100z+10x+y) = 111(x+y+z)
Basamak analizi problemlerinde sayıları çözümleyerek rakamlar arası ilişkiyi bulmak temel adımdır.
2
Elde edilen denklemi çözerek rakamların toplamını bul.
111(x+y+z)=1665  ⟹  x+y+z=1665111=15111(x+y+z) = 1665 \implies x+y+z = \frac{1665}{111} = 15
Rakamların toplamını bulmak, olası (x,y,z)(x, y, z) üçlülerini belirlemek için gereklidir.
3
xyxy sayısının en büyük olması için xx ve yy'yi maksimize et.
xx en büyük rakam olan 9 olsun. Bu durumda y+z=15−9=6y+z = 15-9 = 6 olur.
İki basamaklı sayının değeri onlar basamağına (xx) daha çok bağlıdır, bu yüzden önce xx maksimize edilir.
4
x>y>zx>y>z ve z≠0z \neq 0 koşullarına uygun (y,z)(y, z) ikililerini kontrol et.
y+z=6y+z=6 ve y>zy>z için olası ikililer: (5,1)(5,1) ve (4,2)(4,2)'dir. yy en çok 5 olabilir. Bu durumda z=1z=1 olur. Koşullar (9>5>19>5>1 ve hepsi sıfırdan farklı) sağlanır.
En büyük xyxy sayısı için x=9x=9 iken mümkün olan en büyük yy değeri seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

İpuçları

1
Üç basamaklı sayıları xyz=100x+10y+zxyz = 100x + 10y + z şeklinde çözümleyerek toplayınız.
2
Toplama işleminde x,yx, y ve zz'nin katsayılarının eşit olduğunu fark edip paranteze alınız: 111(x+y+z)111(x+y+z).
3
x+y+z=15x+y+z=15 bulunduktan sonra, x>y>zx > y > z şartını sağlayan ve xx'i (sonra da yy'yi) en büyük yapan değerleri deneyiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer kısıtlamalarla en küçük xyzxyz sayısını soran bir problem çözerek eşitsizlik mantığını pekiştirin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 37Soru →

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı, bu sayının rakamları kullanılarak oluşturulabilecek rakamları birbirinden farklı tüm iki basamaklı doğal sayıların toplamının 2 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayısı için A+B−CA + B - C ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14
Verilen koşulu sağlayan tek sayı 792792'dir. Bu durumda A=7,B=9,C=2A=7, B=9, C=2 olur ve A+B−C=14A+B-C = 14 değeri elde edilir. Çözüm, basamak değerlerinin ayrıştırılması ve oluşan Diophantine (tam sayı) denkleminin parite analizi ile çözülmesiyle bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen iki basamaklı sayıların toplamını ifade et.
A,B,CA, B, C rakamları ile yazılabilecek rakamları farklı iki basamaklı sayılar: AB,AC,BA,BC,CA,CBAB, AC, BA, BC, CA, CB. Bunların toplamı: (10A+B)+(10A+C)+(10B+A)+(10B+C)+(10C+A)+(10C+B)=22(A+B+C)(10A+B) + (10A+C) + (10B+A) + (10B+C) + (10C+A) + (10C+B) = 22(A+B+C).
Basamak çözümlemesi yaparak toplamı A,B,CA, B, C cinsinden bulmak gerekir.
2
Verilen eşitliği matematiksel denkleme dök.
ABC=2×22(A+B+C)⇒100A+10B+C=44(A+B+C)ABC = 2 \times 22(A+B+C) \Rightarrow 100A + 10B + C = 44(A+B+C)
Problemdeki sözel ifadeyi cebirsel eşitliğe çevirmek için.
3
Denklemi düzenleyerek katsayıları sadeleştir.
100A+10B+C=44A+44B+44C⇒56A=34B+43C100A + 10B + C = 44A + 44B + 44C \Rightarrow 56A = 34B + 43C
Bilinmeyenleri gruplayarak çözüm kümesini daraltmak için.
4
Eşitliğin sağ ve sol tarafındaki sayıların tek-çift (parite) durumunu incele.
56A56A çifttir, 34B34B çifttir. Eşitliğin sağlanması için 43C43C çift olmalıdır. 43 tek sayı olduğu için CC kesinlikle çift bir rakamdır (2,4,6,82, 4, 6, 8).
Tam sayı analizinde çözüm aralığını daraltmak için parite kontrolü yapılır.
5
CC değerlerini deneyerek uygun AA ve BB rakamlarını bul.
C=2C=2 için denklem: 56A=34B+8656A = 34B + 86. Her tarafı 2'ye böl: 28A=17B+4328A = 17B + 43. Modüler aritmetik veya deneme yoluyla A=7A=7 bulunur (28×7=19628 \times 7 = 196). Buradan 196=17B+43⇒17B=153⇒B=9196 = 17B + 43 \Rightarrow 17B = 153 \Rightarrow B=9. Bulunan sayılar A=7,B=9,C=2A=7, B=9, C=2 olup hepsi birbirinden farklıdır ve denklemi sağlar (792=44×18792 = 44 \times 18).
Diğer CC değerleri (4,6,84, 6, 8) için geçerli bir rakam çözümü bulunamaz.
6
İstenen değeri hesapla.
A+B−C=7+9−2=14A + B - C = 7 + 9 - 2 = 14.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Teorisi (Parite ve Bölünebilme)

İpuçları

1
A,B,CA, B, C rakamları ile yazılabilecek rakamları farklı iki basamaklı tüm sayıların toplamını A,B,CA, B, C cinsinden ifade ediniz. Bu toplam 22(A+B+C)22(A+B+C) olacaktır.
2
Elde ettiğiniz denklem 100A+10B+C=44(A+B+C)100A + 10B + C = 44(A+B+C) şeklindedir. Bunu sadeleştirerek 56A=34B+43C56A = 34B + 43C elde ediniz.
3
Eşitliğin sol tarafı ve 34B34B terimi çifttir. Bu nedenle 43C43C terimi de çift olmalıdır. CC yerine çift rakamları (2,4,6,82, 4, 6, 8) deneyerek çözüme ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, ABC=3×(A!+B!+C!)ABC = 3 \times (A! + B! + C!) gibi faktöriyel içeren basamak analizi soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Denklemi 11(5A−3B−4C)=A−B−C11(5A - 3B - 4C) = A - B - C şeklinde modüler aritmetik yaklaşımıyla düzenleyerek, sol tarafın 11'in katı olması gerektiğinden yola çıkıp çözüm aralığı daha hızlı daraltılabilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 38Soru →

Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısının onlar basamağındaki rakam silindiğinde elde edilen iki basamaklı ACAC doğal sayısı, başlangıçtaki ABCABC sayısının 19\frac{1}{9}'una eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 855

Cevap

Koşulu sağlayan sayıların toplamı 855'tir.
Verilen ilişki matematiksel olarak modellendiğinde 5(A+B)=4C5(A+B)=4C eşitliğine ulaşılır. Bu eşitliği sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan ABCABC sayıları 135, 315 ve 405'tir. Bu sayıların toplamı 855 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün.
ABC=9⋅ACABC = 9 \cdot AC
Soruda ACAC sayısının ABCABC sayısının 1/91/9'u olduğu belirtilmiştir, yani ABCABC sayısı ACAC'nin 9 katıdır.
2
Basamak çözümlemesi yaparak denklemi açın.
100A+10B+C=9(10A+C)100A + 10B + C = 9(10A + C)
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve AC=10A+CAC = 10A + C şeklinde çözümlenir.
3
Denklemi düzenleyerek A,B,CA, B, C rakamları arasındaki bağıntıyı bulun.
100A+10B+C=90A+9C⇒10A+10B=8C⇒5(A+B)=4C100A + 10B + C = 90A + 9C \Rightarrow 10A + 10B = 8C \Rightarrow 5(A+B) = 4C
Benzer terimleri bir araya getirip sadeleştirme yapılır.
4
Elde edilen 5(A+B)=4C5(A+B) = 4C eşitliğine uygun rakamları belirleyin.
C=5C=5 ve A+B=4A+B=4
5 ve 4 aralarında asal olduğundan, eşitliğin sağlanması için CC 5'in katı olmalıdır. CC bir rakam olduğu için 0 veya 5 olabilir. Ancak C=0C=0 ise A+B=0A+B=0 olur ki bu durumda A=0A=0 olmalıdır, fakat AA yüzler basamağında olduğu için 0 olamaz. Dolayısıyla C=5C=5 olmak zorundadır.
5
A+B=4A+B=4 şartını sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan (A,B)(A,B) ikililerini bulun.
(1,3),(3,1),(4,0)(1,3), (3,1), (4,0)
Toplamları 4 olan ikililer: (1,3),(2,2),(3,1),(4,0)(1,3), (2,2), (3,1), (4,0). Ancak soruda 'rakamları birbirinden farklı' dendiği için (2,2)(2,2) elenir (çünkü A=BA=B olur). Ayrıca C=5C=5 olduğu için diğer rakamlarla çakışma yoktur.
6
Bulunan ABCABC sayılarını yazıp toplayın.
135+315+405=855135 + 315 + 405 = 855
Geçerli sayılar 135, 315 ve 405'tir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

İpuçları

1
Soruda verilen sözel ifadeyi ABC=9⋅ACABC = 9 \cdot AC şeklinde matematiksel bir eşitliğe dönüştürerek başlayın.
2
Eşitliğin her iki tarafını basamak değerlerine göre açın (100A+10B+C=...100A+10B+C = ...) ve sadeleştirin. CC ile A+BA+B arasında bir oran bulacaksınız.
3
Sadeleştirme sonucunda 5(A+B)=4C5(A+B) = 4C elde edilir. C bir rakam olduğu için 5'in katı olmalıdır. Rakamları birbirinden farklı şartını unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, rakamları toplamının belirli bir katına eşit olan sayıları soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yerine, 9 ile çarpıldığında 3 basamaklı olan ve ortadaki rakamı silindiğinde 1/9'una düşen sayıları düşünmek zordur. Ancak ACAC sayısının 9 katının ortasına bir rakam eklenmiş hali olduğunu düşünerek tersten gidilebilir. Örneğin AC=15AC=15 ise 9×15=1359 \times 15 = 135. Ortadaki 3 silinirse 15 kalır. Doğru. ACAC değerlerini deneyerek (15, 25, 35, 45...) gitmek de bir yöntemdir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Basamak Analizi ve Çözümleme Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin