Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri

Bir e-Devlet veri merkezine gelen vergi sorgulama işlemleri, saniyede 44 sorgu (λ=4\lambda = 4) olacak şekilde Poisson sürecine uygun olarak sisteme ulaşmaktadır. Bu sorguların işlem süreleri ise üstel dağılıma uymaktadır.

Sistem performansını değerlendiren mühendisler iki farklı mimariyi analiz etmektedir:

* I. Mimari (M/M/1): Tüm sorguların, hizmet oranı saniyede 66 sorgu (μ=6\mu = 6) olan tek bir sunucuya yönlendirilmesi.
* II. Mimari (M/M/2): Gelen sorguların, ortak bir kuyruktan beslenen ve her birinin hizmet oranı saniyede 33 sorgu (μ=3\mu = 3) olan birbirine eş iki sunucuya yönlendirilmesi.

Her iki mimarinin de kararlı durumda (steady-state) çalıştığı bilinmektedir.

Buna göre, I. Mimarideki sistemde beklenen ortalama sorgu sayısı (LIL_{I}) ile II. Mimarideki kuyrukta beklenen ortalama sorgu sayısı (Lq,IIL_{q,II}) arasındaki fark (LI−Lq,IIL_{I} - L_{q,II}) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    25\frac{2}{5}
  2. B
    415\frac{4}{15}
  3. 1415\frac{14}{15}Cevap
  4. D
    1615\frac{16}{15}
  5. E
    23\frac{2}{3}

Cevap

I. Mimarideki sistemdeki sorgu sayısı ile II. Mimarideki kuyruktaki sorgu sayısı arasındaki fark 1415\frac{14}{15}'tir.
I. Mimari (M/M/1) için λ=4\lambda = 4 ve μ=6\mu = 6 değerleri verilmiştir. Sistemdeki beklenen sorgu sayısı LI=λμ−λ=46−4=2L_I = \frac{\lambda}{\mu-\lambda} = \frac{4}{6-4} = 2 bulunur. II. Mimari (M/M/2) için c=2c=2, λ=4\lambda=4, μ=3\mu=3 değerleri ile ilk olarak sistemin boş olma olasılığı P0P_0 hesaplanır. ρ=λcμ=46=23\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} olduğundan, P0=[1+43+(4/3)22(1−2/3)]−1=15P_0 = \left[ 1 + \frac{4}{3} + \frac{(4/3)^2}{2(1-2/3)} \right]^{-1} = \frac{1}{5} olarak elde edilir. Kuyruk uzunluğu ise Lq,II=P0(λ/μ)cρc!(1−ρ)2=(1/5)(16/9)(2/3)2(1/9)=1615L_{q,II} = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c!(1-\rho)^2} = \frac{(1/5) (16/9) (2/3)}{2(1/9)} = \frac{16}{15} olur. İstenen LI−Lq,IIL_I - L_{q,II} farkı 2−1615=14152 - \frac{16}{15} = \frac{14}{15} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
I. Mimari (M/M/1) için sistemdeki beklenen sorgu sayısını (LIL_I) hesapla.
LI=λμ−λ=46−4=2L_I = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{4}{6 - 4} = 2
M/M/1 kuyruk modelinde sistemdeki ortalama birim sayısı formülü kullanılmıştır.
2
II. Mimari (M/M/2) için sistemin boş kalma olasılığını (P0P_0) hesapla.
P0=[1+43+(4/3)22(1−2/3)]−1=[73+16/92/3]−1=[73+83]−1=15P_0 = \left[ 1 + \frac{4}{3} + \frac{(4/3)^2}{2(1 - 2/3)} \right]^{-1} = \left[ \frac{7}{3} + \frac{16/9}{2/3} \right]^{-1} = \left[ \frac{7}{3} + \frac{8}{3} \right]^{-1} = \frac{1}{5}
M/M/c kuyruk modeli için c=2c=2, λ=4\lambda=4 ve μ=3\mu=3 değerleriyle P0P_0 formülü uygulanmıştır.
3
II. Mimari (M/M/2) için kuyrukta beklenen sorgu sayısını (Lq,IIL_{q,II}) hesapla.
Lq,II=P0(λ/μ)cρc!(1−ρ)2=(1/5)(16/9)(2/3)2(1/9)=32/1352/9=1615L_{q,II} = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c!(1-\rho)^2} = \frac{(1/5) (16/9) (2/3)}{2(1/9)} = \frac{32/135}{2/9} = \frac{16}{15}
Sistemin boş olma olasılığı ve trafik yoğunluğu (ρ=2/3\rho = 2/3) kullanılarak M/M/c için kuyruk uzunluğu formülü uygulanmıştır.
4
İki değerin farkını al.
LI−Lq,II=2−1615=3015−1615=1415L_I - L_{q,II} = 2 - \frac{16}{15} = \frac{30}{15} - \frac{16}{15} = \frac{14}{15}
Soru metninde istenen metriklerin farkı bulunmuştur.

Anahtar Kavram

M/M/1 ve M/M/c Kuyruk Sistemlerinde Sistem ve Kuyruk Uzunluklarının Karşılaştırılması
Bu soruyu puanla

Konular

Kuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri

Bu konudan daha fazla soru