Examkin

Soru

Zorluk: ZorKuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri

Bir Nüfus ve Vatandaşlık İşleri ilçe müdürlüğünde, pasaport yenileme işlemleri için tek bir banko hizmet vermektedir (M/M/1 modeli). Bu bankoya başvuru yapan vatandaşların gelişleri Poisson sürecine uygun olup, saatte ortalama 2020 kişi gelmektedir.

Müdürlük yönetimi, hizmet standartları gereği bir vatandaşın kuyrukta (bekleme hattında) geçirdiği ortalama sürenin en fazla 44 dakika olmasını hedeflemektedir.

Buna göre, bu hedefin sağlanabilmesi için gişe memurunun hizmet hızının (üstel dağılıma uygun olarak) saatte ortalama en az kaç kişi olması gerekir?

  1. A
    20
  2. B
    25
  3. 30Cevap
  4. D
    35
  5. E
    80

Cevap

Hedefin sağlanabilmesi için gişe memurunun hizmet hızının saatte ortalama en az 30 kişi olması gerekir.
M/M/1 kuyruk modelinde kuyrukta bekleme süresi Wq=λμ(μ−λ)W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)} formülü ile hesaplanır. Dakika cinsinden verilen 44 dakikalık hedeflenen bekleme süresi saate çevrildiğinde 1/151/15 saat elde edilir. Formülde λ=20\lambda = 20 ve Wq=1/15W_q = 1/15 yerine konulduğunda 20μ2−20μ=115\frac{20}{\mu^2 - 20\mu} = \frac{1}{15} denklemi ortaya çıkar. İçler dışlar çarpımı yapıldığında μ2−20μ−300=0\mu^2 - 20\mu - 300 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Çarpanlarına ayırma işlemi sonucunda kökler 3030 ve −10-10 olarak bulunur. Hizmet hızı pozitif bir değer olması gerektiğinden doğru sonuç μ=30\mu = 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen değerleri ve istenen hedefi standart zaman birimlerine (saat) dönüştürmek.
Varış hızı λ=20\lambda = 20 kişi/saat. Hedeflenen kuyrukta bekleme süresi Wq=4 dakika=460 saat=115 saatW_q = 4 \text{ dakika} = \frac{4}{60} \text{ saat} = \frac{1}{15} \text{ saat}.
Kuyruk formüllerinde varış ve hizmet hızlarının zaman birimleri ile bekleme sürelerinin birimleri birbiriyle mutlaka tutarlı olmalıdır.
2
Little Kanunu'nu kullanarak kuyruktaki ortalama kişi sayısını (LqL_q) hesaplamak.
Lq=λ×Wq=20×115=43 kis¸iL_q = \lambda \times W_q = 20 \times \frac{1}{15} = \frac{4}{3} \text{ kişi}.
Little Kanunu (Lq=λWqL_q = \lambda W_q), WqW_q bilindiğinde LqL_q değerine hızlıca geçiş yapmayı sağlar ve kullanılacak formülü basitleştirir.
3
M/M/1 modeli için LqL_q formülünü yazıp μ\mu (hizmet hızı) değerini bulmak amacıyla ana denklemi kurmak.
Lq=λ2μ(μ−λ)  ⟹  43=202μ(μ−20)  ⟹  43=400μ2−20μL_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} \implies \frac{4}{3} = \frac{20^2}{\mu(\mu - 20)} \implies \frac{4}{3} = \frac{400}{\mu^2 - 20\mu}.
Sistemdeki tek bilinmeyen olan μ\mu değerini bulmak için standart M/M/1 kuyruk uzunluğu formülü kullanılır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözmek.
4(μ2−20μ)=1200  ⟹  μ2−20μ−300=04(\mu^2 - 20\mu) = 1200 \implies \mu^2 - 20\mu - 300 = 0. Bu denklem (μ−30)(μ+10)=0(\mu - 30)(\mu + 10) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Hizmet hızı pozitif olacağından μ=30\mu = 30 kişi/saat olarak elde edilir.
Gerekli minimum hizmet hızını matematiksel olarak net bir şekilde belirlemek için ikinci dereceden denklem çözülmelidir.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modellerinde Performans Ölçütleri ve Little Kanunu
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri

Bu konudan daha fazla soru