Examkin

Kuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri

11 soru

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt ve inceleme biriminde tek bir uzman çalışmaktadır (M/M/1 modeli). Bu uzmanın evrak inceleme süreleri üstel dağılıma uymakta olup, saatte ortalama 20 evrak inceleyebilmektedir. Birime evrak geliş hızı ise saatte ortalama 12 evrak olup Poisson dağılımına uymaktadır.

Kurum yönetimi, birimdeki esnekliği artırmak amacıyla mevcut sistemi değiştirmeyi planlamaktadır. Yeni düzende, aynı bekleme hattından beslenen ve her biri saatte ortalama 10 evrak inceleyebilen iki uzmanın aynı anda çalışacağı M/M/2 modeline geçilecektir. (Müşteriler/Evraklar için tek bir kuyruk kullanılmaya devam edilecektir.)

Buna göre, yeni sisteme geçildiğinde evrakların sistemde (kuyrukta bekleme ve işlem görme aşamalarının toplamı) bulunma ortalaması (sistemdeki ortalama evrak sayısı, LL) ilk duruma göre nasıl değişir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38\frac{3}{8} artar.

Cevap

Sistemdeki ortalama evrak sayısı 38\frac{3}{8} artar.
Doğru yanıtı bulmak için iki sistemin LL (sistemdeki ortalama müşteri/evrak sayısı) değerleri ayrı ayrı hesaplanmalıdır. M/M/1 modelinde sistemdeki ortalama evrak sayısı L1=λμ−λ=128=1.5L_1 = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{12}{8} = 1.5 olarak bulunur. M/M/2 modelinde ise öncelikle sistemin boş kalma olasılığı P0=0.25P_0 = 0.25 hesaplanmalı, ardından Lq=0.675L_q = 0.675 bulunur. Sistemdeki toplam evrak sayısı ise L2=Lq+(λ/μ)=0.675+1.2=1.875L_2 = L_q + (\lambda/\mu) = 0.675 + 1.2 = 1.875 (yani 15/815/8) olarak elde edilir. İki durum arasındaki fark incelendiğinde 1.875−1.5=+0.3751.875 - 1.5 = +0.375 (38\frac{3}{8}) artış olduğu görülür. Toplam hizmet kapasitesi aynı kalsa bile, çok kanallı yapıda her bir evrakın inceleme süresi iki katına çıktığı için, sistemde geçirilen ortalama süre ve dolayısıyla sistemdeki ortalama evrak sayısı artar.

Adım Adım Çözüm

1
Mevcut M/M/1 sistemi için ortalama evrak sayısının (L1L_1) hesaplanması.
ρ=1220=0.6\rho = \frac{12}{20} = 0.6 elde edilir. L1=λμ−λ=1220−12=128=1.5L_1 = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{12}{20 - 12} = \frac{12}{8} = 1.5 bulunur.
Karşılaştırma için ilk durumdaki (M/M/1) sistemdeki müşteri sayısını belirlemek.
2
Yeni M/M/2 sistemi için parametrelerin belirlenip sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması.
λ=12\lambda = 12, μ=10\mu = 10, s=2s = 2. r=1210=1.2r = \frac{12}{10} = 1.2, ρ=1.22=0.6\rho = \frac{1.2}{2} = 0.6. Formül ile P0=[1+1.2+1.22211−0.6]−1=[2.2+1.440.8]−1=[4]−1=0.25P_0 = \left[ 1 + 1.2 + \frac{1.2^2}{2} \frac{1}{1-0.6} \right]^{-1} = \left[ 2.2 + \frac{1.44}{0.8} \right]^{-1} = [4]^{-1} = 0.25 bulunur.
Çok kanallı bekleme modellerinde tüm performans ölçütleri P0P_0 değerine bağlıdır.
3
M/M/2 sistemi için kuyruktaki ortalama evrak sayısının (LqL_q) bulunması.
Lq=P0⋅rs⋅ρs!⋅(1−ρ)2=0.25⋅1.44⋅0.62⋅(0.4)2=0.2160.32=0.675=2740L_q = \frac{P_0 \cdot r^s \cdot \rho}{s! \cdot (1-\rho)^2} = \frac{0.25 \cdot 1.44 \cdot 0.6}{2 \cdot (0.4)^2} = \frac{0.216}{0.32} = 0.675 = \frac{27}{40} elde edilir.
Sistemdeki ortalama sayıyı (L) hesaplayabilmek için önce kuyruk uzunluğuna ulaşılmalıdır.
4
M/M/2 sistemi için sistemdeki toplam evrak sayısının (L2L_2) bulunması.
L2=Lq+r=0.675+1.2=1.875=158L_2 = L_q + r = 0.675 + 1.2 = 1.875 = \frac{15}{8} hesaplanır.
L=Lq+λμL = L_q + \frac{\lambda}{\mu} ilişkisi kullanılarak hizmet gören evraklar da toplama dahil edilir.
5
İki sistem arasındaki farkın alınması.
L2−L1=1.875−1.500=+0.375=38L_2 - L_1 = 1.875 - 1.500 = +0.375 = \frac{3}{8} artış bulunur.
Soruda istenen net değişimi ortaya koymak.

Anahtar Kavram

Tek ve çok kanallı kuyruk modellerinde performans ölçütlerinin (M/M/1 ve M/M/s) karşılaştırmalı analizi.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 2Soru →

Bir e-Devlet veri merkezine gelen vergi sorgulama işlemleri, saniyede 44 sorgu (λ=4\lambda = 4) olacak şekilde Poisson sürecine uygun olarak sisteme ulaşmaktadır. Bu sorguların işlem süreleri ise üstel dağılıma uymaktadır.

Sistem performansını değerlendiren mühendisler iki farklı mimariyi analiz etmektedir:

* I. Mimari (M/M/1): Tüm sorguların, hizmet oranı saniyede 66 sorgu (μ=6\mu = 6) olan tek bir sunucuya yönlendirilmesi.
* II. Mimari (M/M/2): Gelen sorguların, ortak bir kuyruktan beslenen ve her birinin hizmet oranı saniyede 33 sorgu (μ=3\mu = 3) olan birbirine eş iki sunucuya yönlendirilmesi.

Her iki mimarinin de kararlı durumda (steady-state) çalıştığı bilinmektedir.

Buna göre, I. Mimarideki sistemde beklenen ortalama sorgu sayısı (LIL_{I}) ile II. Mimarideki kuyrukta beklenen ortalama sorgu sayısı (Lq,IIL_{q,II}) arasındaki fark (LI−Lq,IIL_{I} - L_{q,II}) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1415\frac{14}{15}

Cevap

I. Mimarideki sistemdeki sorgu sayısı ile II. Mimarideki kuyruktaki sorgu sayısı arasındaki fark 1415\frac{14}{15}'tir.
I. Mimari (M/M/1) için λ=4\lambda = 4 ve μ=6\mu = 6 değerleri verilmiştir. Sistemdeki beklenen sorgu sayısı LI=λμ−λ=46−4=2L_I = \frac{\lambda}{\mu-\lambda} = \frac{4}{6-4} = 2 bulunur. II. Mimari (M/M/2) için c=2c=2, λ=4\lambda=4, μ=3\mu=3 değerleri ile ilk olarak sistemin boş olma olasılığı P0P_0 hesaplanır. ρ=λcμ=46=23\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} olduğundan, P0=[1+43+(4/3)22(1−2/3)]−1=15P_0 = \left[ 1 + \frac{4}{3} + \frac{(4/3)^2}{2(1-2/3)} \right]^{-1} = \frac{1}{5} olarak elde edilir. Kuyruk uzunluğu ise Lq,II=P0(λ/μ)cρc!(1−ρ)2=(1/5)(16/9)(2/3)2(1/9)=1615L_{q,II} = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c!(1-\rho)^2} = \frac{(1/5) (16/9) (2/3)}{2(1/9)} = \frac{16}{15} olur. İstenen LI−Lq,IIL_I - L_{q,II} farkı 2−1615=14152 - \frac{16}{15} = \frac{14}{15} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
I. Mimari (M/M/1) için sistemdeki beklenen sorgu sayısını (LIL_I) hesapla.
LI=λμ−λ=46−4=2L_I = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{4}{6 - 4} = 2
M/M/1 kuyruk modelinde sistemdeki ortalama birim sayısı formülü kullanılmıştır.
2
II. Mimari (M/M/2) için sistemin boş kalma olasılığını (P0P_0) hesapla.
P0=[1+43+(4/3)22(1−2/3)]−1=[73+16/92/3]−1=[73+83]−1=15P_0 = \left[ 1 + \frac{4}{3} + \frac{(4/3)^2}{2(1 - 2/3)} \right]^{-1} = \left[ \frac{7}{3} + \frac{16/9}{2/3} \right]^{-1} = \left[ \frac{7}{3} + \frac{8}{3} \right]^{-1} = \frac{1}{5}
M/M/c kuyruk modeli için c=2c=2, λ=4\lambda=4 ve μ=3\mu=3 değerleriyle P0P_0 formülü uygulanmıştır.
3
II. Mimari (M/M/2) için kuyrukta beklenen sorgu sayısını (Lq,IIL_{q,II}) hesapla.
Lq,II=P0(λ/μ)cρc!(1−ρ)2=(1/5)(16/9)(2/3)2(1/9)=32/1352/9=1615L_{q,II} = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c!(1-\rho)^2} = \frac{(1/5) (16/9) (2/3)}{2(1/9)} = \frac{32/135}{2/9} = \frac{16}{15}
Sistemin boş olma olasılığı ve trafik yoğunluğu (ρ=2/3\rho = 2/3) kullanılarak M/M/c için kuyruk uzunluğu formülü uygulanmıştır.
4
İki değerin farkını al.
LI−Lq,II=2−1615=3015−1615=1415L_I - L_{q,II} = 2 - \frac{16}{15} = \frac{30}{15} - \frac{16}{15} = \frac{14}{15}
Soru metninde istenen metriklerin farkı bulunmuştur.

Anahtar Kavram

M/M/1 ve M/M/c Kuyruk Sistemlerinde Sistem ve Kuyruk Uzunluklarının Karşılaştırılması
Soru 3Soru →

Bir bölgesel lojistik merkezine yük boşaltmak için gelen tırların varışları Poisson dağılımına, tek bir peronun bulunduğu (M/M/1 modeli) boşaltma sistemindeki hizmet süreleri ise üstel dağılıma uymaktadır.

Bu lojistik merkezi ile ilgili mevcut durumda şu bilgiler verilmektedir:
- Boşaltma peronunun boş kalma olasılığı P0=0,2P_0 = 0,2'dir.
- Bir tırın lojistik merkezinde geçirdiği ortalama toplam süre (sistemde kalma süresi) 11 saattir.

Merkez yönetimi, peron önünde bekleyen tır kuyruğunun trafiği aksatmaması amacıyla, kuyrukta bekleyen ortalama tır sayısını (LqL_q) 43\frac{4}{3} değerine düşürmeyi hedeflemektedir.

Tırların varış hızında (λ\lambda) herhangi bir değişiklik olmayacağı varsayıldığında, hedeflenen bu iyileşme için boşaltma peronunun yeni hizmet hızı (μyeni\mu_{yeni}) saatte kaç tır olmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Yeni hizmet hızı saatte 6 tır olmalıdır.
Doğru cevap, hedeflenen kuyruk uzunluğu (Lq) değerini sağlayan yeni hizmet hızının (μ) hesaplanmasıyla elde edilir. Öncelikle P0=0,2P_0 = 0,2 bilgisinden ρ=0,8\rho = 0,8 (yani λ=0,8μ\lambda = 0,8\mu) bağıntısı çıkarılır. Ardından sistemde kalma süresi olan W=1μ−λ=1W = \frac{1}{\mu - \lambda} = 1 denkleminde yerine konularak mevcut durumdaki μ=5\mu = 5 ve λ=4\lambda = 4 değerleri kesin olarak bulunur. Yönetim varış hızını sabit (λ=4\lambda = 4) tutup kuyruktaki araç sayısını Lq=43L_q = \frac{4}{3} yapmak istediğinden; 42μyeni(μyeni−4)=43\frac{4^2}{\mu_{yeni}(\mu_{yeni} - 4)} = \frac{4}{3} eşitliği kurulur. Bu denklem düzenlendiğinde μyeni2−4μyeni−12=0\mu_{yeni}^2 - 4\mu_{yeni} - 12 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Denklemin pozitif kökü μyeni=6\mu_{yeni} = 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Mevcut durumdaki varış hızı (λ) ve hizmet hızı (μ) değerlerini bulmak için boş kalma olasılığı (P_0) eşitliğini kullanın.
Sonuç: P0=1−ρ=0,2  ⟹  ρ=0,8P_0 = 1 - \rho = 0,2 \implies \rho = 0,8. Buradan ρ=λμ=0,8  ⟹  λ=0,8μ\rho = \frac{\lambda}{\mu} = 0,8 \implies \lambda = 0,8\mu elde edilir.
Neden: Sistemin boş kalma olasılığı, M/M/1 modelinde sistemin kullanım oranının (ρ) tümleyeni olarak tanımlanır.
2
Sistemde geçen ortalama süre (W) formülünü kullanarak parametrelerin mutlak değerlerini hesaplayın.
Sonuç: W=1μ−λ=1  ⟹  μ−λ=1W = \frac{1}{\mu - \lambda} = 1 \implies \mu - \lambda = 1. Birinci adımda bulunan λ=0,8μ\lambda = 0,8\mu değeri yerine konulduğunda μ−0,8μ=1  ⟹  0,2μ=1  ⟹  μ=5\mu - 0,8\mu = 1 \implies 0,2\mu = 1 \implies \mu = 5 ve λ=4\lambda = 4 bulunur.
Neden: Ortalama süre (W) bilindiğinde, λ ve μ arasındaki doğrusal ilişki kullanılarak her iki parametre kesin olarak çözülebilir.
3
Hedeflenen yeni durum için kuyruk uzunluğu (Lq) denklemini kurun.
Sonuç: Hedef Lq=43L_q = \frac{4}{3} ve varış hızı λ=4\lambda = 4 sabit kalacağından; λ2μyeni(μyeni−λ)=16μyeni(μyeni−4)=43\frac{\lambda^2}{\mu_{yeni}(\mu_{yeni} - \lambda)} = \frac{16}{\mu_{yeni}(\mu_{yeni} - 4)} = \frac{4}{3} denklemi oluşturulur.
Neden: İyileştirme sadece hizmet hızında yapılacağı için, kuyruk uzunluğu formülünde yeni μ değeri yalnız bırakılır.
4
Oluşturulan denklemi çözerek yeni hizmet hızını bulun.
Sonuç: İçler dışlar çarpımı ile 48=4μyeni2−16μyeni  ⟹  μyeni2−4μyeni−12=048 = 4\mu_{yeni}^2 - 16\mu_{yeni} \implies \mu_{yeni}^2 - 4\mu_{yeni} - 12 = 0. Çarpanlarına ayrıldığında (μyeni−6)(μyeni+2)=0(\mu_{yeni} - 6)(\mu_{yeni} + 2) = 0 olur. Hizmet hızı pozitif olması gerektiğinden μyeni=6\mu_{yeni} = 6 bulunur.
Neden: İkinci dereceden denklemin pozitif kökü sistemin aranan yeni fiziksel kapasitesini temsil eder.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modellerinde Kararlı Durum (Steady-State) Parametreleri ve Hedef Optimizasyonu

Alternatif Yöntem

Problemi hızla çözmek için Lq formülünü direkt kullanım oranı (ρ) üzerinden yazabilirsiniz: Lq=ρ21−ρL_q = \frac{\rho^2}{1-\rho}. Hedeflenen Lq=43L_q = \frac{4}{3} olduğundan; ρ21−ρ=43  ⟹  3ρ2+4ρ−4=0\frac{\rho^2}{1-\rho} = \frac{4}{3} \implies 3\rho^2 + 4\rho - 4 = 0. Çarpanlarına ayırırsak (3ρ−2)(ρ+2)=0(3\rho - 2)(\rho + 2) = 0. Sistemin kararlı olabilmesi için 0<ρ<10 < \rho < 1 olmalıdır, bu nedenle geçerli kök ρ=23\rho = \frac{2}{3}'tür. ρ=λμyeni=4μyeni=23\rho = \frac{\lambda}{\mu_{yeni}} = \frac{4}{\mu_{yeni}} = \frac{2}{3} eşitliği kurularak μyeni=6\mu_{yeni} = 6 sonucu doğrudan ve çok daha basit sayılarla bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →

Bir Nüfus ve Vatandaşlık İşleri ilçe müdürlüğünde, pasaport yenileme işlemleri için tek bir banko hizmet vermektedir (M/M/1 modeli). Bu bankoya başvuru yapan vatandaşların gelişleri Poisson sürecine uygun olup, saatte ortalama 2020 kişi gelmektedir.

Müdürlük yönetimi, hizmet standartları gereği bir vatandaşın kuyrukta (bekleme hattında) geçirdiği ortalama sürenin en fazla 44 dakika olmasını hedeflemektedir.

Buna göre, bu hedefin sağlanabilmesi için gişe memurunun hizmet hızının (üstel dağılıma uygun olarak) saatte ortalama en az kaç kişi olması gerekir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Hedefin sağlanabilmesi için gişe memurunun hizmet hızının saatte ortalama en az 30 kişi olması gerekir.
M/M/1 kuyruk modelinde kuyrukta bekleme süresi Wq=λμ(μ−λ)W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)} formülü ile hesaplanır. Dakika cinsinden verilen 44 dakikalık hedeflenen bekleme süresi saate çevrildiğinde 1/151/15 saat elde edilir. Formülde λ=20\lambda = 20 ve Wq=1/15W_q = 1/15 yerine konulduğunda 20μ2−20μ=115\frac{20}{\mu^2 - 20\mu} = \frac{1}{15} denklemi ortaya çıkar. İçler dışlar çarpımı yapıldığında μ2−20μ−300=0\mu^2 - 20\mu - 300 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Çarpanlarına ayırma işlemi sonucunda kökler 3030 ve −10-10 olarak bulunur. Hizmet hızı pozitif bir değer olması gerektiğinden doğru sonuç μ=30\mu = 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen değerleri ve istenen hedefi standart zaman birimlerine (saat) dönüştürmek.
Varış hızı λ=20\lambda = 20 kişi/saat. Hedeflenen kuyrukta bekleme süresi Wq=4 dakika=460 saat=115 saatW_q = 4 \text{ dakika} = \frac{4}{60} \text{ saat} = \frac{1}{15} \text{ saat}.
Kuyruk formüllerinde varış ve hizmet hızlarının zaman birimleri ile bekleme sürelerinin birimleri birbiriyle mutlaka tutarlı olmalıdır.
2
Little Kanunu'nu kullanarak kuyruktaki ortalama kişi sayısını (LqL_q) hesaplamak.
Lq=λ×Wq=20×115=43 kis¸iL_q = \lambda \times W_q = 20 \times \frac{1}{15} = \frac{4}{3} \text{ kişi}.
Little Kanunu (Lq=λWqL_q = \lambda W_q), WqW_q bilindiğinde LqL_q değerine hızlıca geçiş yapmayı sağlar ve kullanılacak formülü basitleştirir.
3
M/M/1 modeli için LqL_q formülünü yazıp μ\mu (hizmet hızı) değerini bulmak amacıyla ana denklemi kurmak.
Lq=λ2μ(μ−λ)  ⟹  43=202μ(μ−20)  ⟹  43=400μ2−20μL_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} \implies \frac{4}{3} = \frac{20^2}{\mu(\mu - 20)} \implies \frac{4}{3} = \frac{400}{\mu^2 - 20\mu}.
Sistemdeki tek bilinmeyen olan μ\mu değerini bulmak için standart M/M/1 kuyruk uzunluğu formülü kullanılır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözmek.
4(μ2−20μ)=1200  ⟹  μ2−20μ−300=04(\mu^2 - 20\mu) = 1200 \implies \mu^2 - 20\mu - 300 = 0. Bu denklem (μ−30)(μ+10)=0(\mu - 30)(\mu + 10) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Hizmet hızı pozitif olacağından μ=30\mu = 30 kişi/saat olarak elde edilir.
Gerekli minimum hizmet hızını matematiksel olarak net bir şekilde belirlemek için ikinci dereceden denklem çözülmelidir.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modellerinde Performans Ölçütleri ve Little Kanunu
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 5Soru →

Bir belediyenin emlak vergisi tahsilat veznesine mükelleflerin varışları saatte ortalama 88 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Veznedeki memurun bir mükellefin işlemini bitirme süresi ise üstel dağılıma uygun olup saatte ortalama 1010 kişidir. Kuyruk modelinin M/M/1M/M/1 yapısında olduğu varsayıldığında; bu sistemde (kuyrukta bekleyenler ve işlem görenler dahil) bulunan ortalama mükellef sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Sistemde bulunan ortalama mükellef sayısı 4'tür.
Sistemdeki ortalama mükellef sayısı (LL), varış hızı ve hizmet hızı arasındaki ilişkiyi tanımlayan L=λ/(μ−λ)L = \lambda / (\mu - \lambda) formülü ile bulunur. Verilen değerlerle λ=8\lambda=8 ve μ=10\mu=10 olduğunda, 8/(10−8)=48/(10-8) = 4 sonucu elde edilir. Bu değer, hem bekleyenleri hem de veznede işlemi devam edenleri kapsayan toplam ortalamadır.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri belirleyin.
Varış oranı λ=8\lambda = 8, Hizmet oranı μ=10\mu = 10.
Soruda verilen saatlik ortalama değerler M/M/1M/M/1 modelinin temel parametreleridir.
2
Sistem kararlılığını kontrol edin.
ρ=λ/μ=8/10=0,8<1\rho = \lambda / \mu = 8 / 10 = 0,8 < 1.
Kuyruk modelinin dengede olması için varış oranının hizmet oranından küçük olması gerekir.
3
Sistemdeki ortalama birim sayısı (LL) formülünü uygulayın.
L=λμ−λ=810−8=82=4L = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{8}{10 - 8} = \frac{8}{2} = 4.
M/M/1M/M/1 modelinde hem kuyruktaki hem de servisteki toplam birim sayısını bulmak için bu formül kullanılır.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modeli - Sistem Uzunluğu (L)
Soru 6Soru →

Bir ilçe nüfus müdürlüğünde tek bir banko hizmet vermektedir (M/M/1M/M/1 kuyruk modeli). Bu bankoya gelen vatandaşların varışları saatte ortalama 1212 kişi (λ=12\lambda = 12) olacak şekilde Poisson dağılımına, bir vatandaşa verilen hizmet süresi ise ortalama 44 dakika olacak şekilde Üstel dağılıma uygundur. Buna göre, bu hizmet sisteminde (sırada bekleyenler ve hizmet alan dahil) bulunan ortalama vatandaş sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4,00

Cevap

Sistemdeki ortalama vatandaş sayısı 4,00 olarak hesaplanır.
Sistemdeki ortalama vatandaş sayısı (LL), hem kuyrukta bekleyenleri hem de o anda hizmet alan kişiyi kapsar. M/M/1M/M/1 modelinde bu değer L=λμ−λL = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} formülüyle bulunur. Verilen λ=12\lambda = 12 ve hesaplanan μ=15\mu = 15 değerleri yerine konulduğunda 12/3=412/3 = 4 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış oranını (λ\lambda) ve hizmet oranını (μ\mu) saat cinsinden belirle.
λ=12\lambda = 12 kişi/saat; μ=604=15\mu = \frac{60}{4} = 15 kişi/saat.
Kuyruk modellerinde parametrelerin aynı zaman biriminde olması zorunludur.
2
M/M/1M/M/1 modeli için sistemdeki ortalama vatandaş sayısı (LL) formülünü uygula.
L=λμ−λL = \frac{\lambda}{\mu - \lambda}
Kararlı durumdaki bir M/M/1M/M/1 sisteminde beklenen toplam birim sayısı bu formülle bulunur.
3
Değerleri formülde yerine koyarak hesapla.
L=1215−12=123=4L = \frac{12}{15 - 12} = \frac{12}{3} = 4.
Sistemdeki ortalama vatandaş sayısı hesaplanmış olur.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modeli - Sistem Uzunluğu (L)

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle kuyrukta bekleme süresini (WqW_q) hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce sistemin yoğunluğu ρ=12/15=0,8\rho = 12/15 = 0,8 hesaplanır. Ardından L=ρ1−ρL = \frac{\rho}{1 - \rho} formülü kullanılarak L=0,8/0,2=4L = 0,8 / 0,2 = 4 sonucu elde edilebilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 7Soru →

Bir banka şubesinde bulunan tek bir ATM cihazına müşterilerin gelişleri saatte ortalama 66 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Bir müşterinin ATM'deki işlem süresi ise ortalama 66 dakika sürmekte olup üstel dağılım göstermektedir. Kararlı hal (steady-state) koşulları altında, ATM kuyruğunda bekleyenler ve işlem görenler dahil olmak üzere sistemdeki ortalama müşteri sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,5

Cevap

Sistemdeki ortalama müşteri sayısı 1,5'tir.
Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (LL), varış hızının (λ=6\lambda = 6) hizmet hızı ile varış hızı arasındaki farka (μ−λ=10−6=4\mu - \lambda = 10 - 6 = 4) bölünmesiyle hesaplanır. Bu işlem sonucunda 1,51,5 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızı (λ\lambda) ve hizmet hızının (μ\mu) saatlik birim üzerinden belirlenmesi.
λ=6\lambda = 6 müşteri/saat. Ortalama hizmet süresi 66 dakika olduğundan, μ=606=10\mu = \frac{60}{6} = 10 müşteri/saat.
Kuyruk modellerinde parametrelerin aynı zaman birimi (saat) cinsinden olması hesaplama için zorunludur.
2
M/M/1M/M/1 modeli için sistemdeki ortalama müşteri sayısı (LL) formülünün uygulanması.
L=λμ−λ=610−6=64=1,5L = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{6}{10 - 6} = \frac{6}{4} = 1,5.
Sistemdeki ortalama müşteri sayısı, hem bekleyenleri hem de hizmet alanları kapsayan temel kuyruk metriğidir.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modelinde Sistem Uzunluğu (L)

Alternatif Yöntem

Little Yasası kullanılarak da doğrulanabilir: L=λ×WL = \lambda \times W. Önce sistemde geçirilen ortalama süre bulunur: W=1/(μ−λ)=1/4=0,25W = 1 / (\mu - \lambda) = 1/4 = 0,25 saat. Ardından L=6×0,25=1,5L = 6 \times 0,25 = 1,5 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:45s
Soru 8Soru →

Bir üniversitenin öğrenci işleri bürosunda tek bir memur hizmet vermektedir (M/M/1M/M/1 modeli). Büroya gelen öğrencilerin varışları saatte ortalama 88 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, memurun bir öğrenciye hizmet verme süresi ise ortalama 66 dakika olacak şekilde üstel dağılıma uygundur. Buna göre, sisteme gelen bir öğrencinin büroda geçireceği ortalama toplam süre (kuyruk + hizmet) kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Sisteme gelen bir öğrencinin büroda geçireceği ortalama toplam süre 30 dakikadır.
Sisteme giren bir birimin kuyrukta bekleme ve hizmet alma sürelerinin toplamı olan sistemde kalış süresi (WW), M/M/1M/M/1 modelinde W=1/(μ−λ)W = 1 / (\mu - \lambda) formülü ile hesaplanır. Verilen değerlere göre λ=8\lambda = 8 ve μ=10\mu = 10 (saatte 10 öğrenci) olduğundan, W=1/2W = 1/2 saat, yani 30 dakika olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Varış ve hizmet oranlarını aynı zaman birimi (saat) cinsinden belirleyin.
λ=8\lambda = 8 öğrenci/saat; μ=606=10\mu = \frac{60}{6} = 10 öğrenci/saat.
Kuyruk modellerinde oranların tutarlı olması için hizmet süresi hizmet oranına çevrilmelidir.
2
M/M/1M/M/1 modeli için sistemde geçirilen ortalama süre (WW) formülünü uygulayın.
W=1μ−λ=110−8=12W = \frac{1}{\mu - \lambda} = \frac{1}{10 - 8} = \frac{1}{2} saat.
WW formülü, bir birimin kuyruk ve hizmet dahil toplam süresini verir.
3
Bulunan sonucu dakikaya çevirin.
0,5×60=300,5 \times 60 = 30 dakika.
Soruda cevap dakika cinsinden istenmiştir.

Anahtar Kavram

M/M/1 modelinde sistemde kalış süresi (WW) hesaplanırken varış (λ\lambda) ve hizmet (μ\mu) oranları kullanılır ve W=1μ−λW = \frac{1}{\mu - \lambda} formülü uygulanır.
Soru 9Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt bölümünde tek bir vezne (M/M/1 modeli) bulunmaktadır. Bu vezneye başvurular Poisson dağılımına uygun olarak 15 dakikada ortalama 3 kişi olacak şekilde gelmektedir. Veznedeki memurun bir kişiye hizmet verme süresi üstel dağılıma sahip olup ortalama 4 dakikadır.

Buna göre, sistemde kararlı durum (steady-state) sağlandığında, kuyrukta bekleyen beklenen (ortalama) kişi sayısı (LqL_q) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,20

Cevap

Sistem saatlik bazda değerlendirildiğinde λ=12\lambda=12 ve μ=15\mu=15 olur. Buradan kuyrukta bekleyen kişi sayısı 3,20 olarak bulunur.
Doğru sonuca ulaşmak için öncelikle verilen oranların aynı zaman dilimine (örneğin 1 saat) çekilmesi gerekir. 15 dakikada 3 kişi geliyorsa saatte λ=12\lambda = 12 kişi gelir. Hizmet süresi 4 dakika ise saatte μ=60/4=15\mu = 60/4 = 15 kişiye hizmet verilir. Trafik yoğunluğu ρ=λ/μ=12/15=0,80\rho = \lambda/\mu = 12/15 = 0,80 olarak bulunur. M/M/1 modelinde kuyrukta bekleyen kişi sayısı formülü Lq=ρ2/(1−ρ)L_q = \rho^2 / (1-\rho) olduğundan, 0,82/(1−0,8)=0,64/0,2=3,200,8^2 / (1-0,8) = 0,64 / 0,2 = 3,20 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geliş hızını (λ\lambda) ve hizmet hızını (μ\mu) aynı zaman birimine (saat) dönüştürün.
λ=3×4=12\lambda = 3 \times 4 = 12 kişi/saat. μ=60/4=15\mu = 60 / 4 = 15 kişi/saat.
Kuyruk teorisi formüllerinin doğru sonuç vermesi için oranların (oran parametrelerinin) aynı zaman ölçüsünde ifade edilmesi zorunludur.
2
Sistemin kullanım oranını (trafik yoğunluğu, ρ\rho) hesaplayın.
ρ=λμ=1215=0,80\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{12}{15} = 0,80.
Kararlı durumda sistemin doluluk oranı, beklenen değer formüllerinin temel bileşenidir.
3
M/M/1 modeli için kuyrukta bekleyen ortalama kişi sayısı (LqL_q) formülünü uygulayın.
Lq=λ2μ(μ−λ)=ρ21−ρ=0,821−0,8=0,640,20=3,20L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} = \frac{\rho^2}{1 - \rho} = \frac{0,8^2}{1 - 0,8} = \frac{0,64}{0,20} = 3,20.
Sistemdeki toplam kişiden (LL) hizmet alan kişiyi çıkardığımızda (L−ρL - \rho) veya doğrudan LqL_q formülünü kullandığımızda kuyruktaki kişi sayısını buluruz.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modelinde Temel Performans Ölçütleri

Alternatif Yöntem

Problemi Little Teoremi adımlarını takip ederek de çözebiliriz: Önce sistemde geçirilen toplam süreyi bulalım: W=1/(μ−λ)=1/(15−12)=1/3W = 1 / (\mu - \lambda) = 1 / (15 - 12) = 1/3 saat. Kuyrukta bekleme süresi, toplam süreden hizmet süresinin çıkarılmasıyla bulunur: Wq=W−1/μ=1/3−1/15=4/15W_q = W - 1/\mu = 1/3 - 1/15 = 4/15 saat. Little Teoremi'ne göre kuyruk uzunluğu Lq=λ×WqL_q = \lambda \times W_q olduğundan, 12×(4/15)=48/15=3,2012 \times (4/15) = 48 / 15 = 3,20 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğünde, emeklilik işlemleri için hizmet veren tek bir gişeye yapılan başvurular, Poisson dağılımına uygun olarak saatte ortalama 12 kişi hızında gerçekleşmektedir. Gişede görevli memurun bir vatandaşın işlemini tamamlama süresi üstel dağılıma uymakta olup, memur saatte ortalama 15 kişinin işlemini tamamlayabilmektedir.

Buna göre, bu gişeye başvuran bir vatandaşın işlemi başlayana kadar kuyrukta beklediği ortalama süre kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
Soruda tek bir gişe olduğu için M/M/1 bekleme hattı modeli geçerlidir. Varış oranı λ=12\lambda = 12 ve hizmet oranı μ=15\mu = 15 olarak verilmiştir. Bir birimin işlem görmeden önce kuyrukta beklediği ortalama süre WqW_q ile gösterilir ve Wq=λμ(μ−λ)W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)} formülü ile bulunur. Değerler yerine konduğunda Wq=1215(15−12)=1245=415W_q = \frac{12}{15(15-12)} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15} saat elde edilir. Sonuç dakika cinsinden istendiği için 415×60=16\frac{4}{15} \times 60 = 16 dakika bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen oranları (λ\lambda ve μ\mu) belirleyin.
Varış oranı λ=12\lambda = 12 kişi/saat, Hizmet oranı μ=15\mu = 15 kişi/saat.
M/M/1 kuyruk modeli formüllerini uygulayabilmek için öncelikle parametrelerin tanımlanması gerekir.
2
Kuyrukta bekleme süresi (WqW_q) formülünü uygulayın.
Wq=λμ(μ−λ)=1215(15−12)=1215×3=1245=415W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)} = \frac{12}{15(15 - 12)} = \frac{12}{15 \times 3} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15} saat.
Soruda vatandaşın işlemi başlayana kadar, yani sadece kuyrukta geçirdiği ortalama süre sorulmaktadır.
3
Bulunan saat cinsinden değeri dakikaya çevirin.
415 saat×60 dakika/saat=4×4=16 dakika\frac{4}{15} \text{ saat} \times 60 \text{ dakika/saat} = 4 \times 4 = 16 \text{ dakika}.
Soru kökünde sonuç dakika cinsinden istenmektedir.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modelinde Sistem Performans Ölçütleri
Soru 11Soru →

Bir Gümrük ve Dış Ticaret Bölge Müdürlüğünün ithalat beyannamesi onay veznesinde tek bir memur görev yapmaktadır (M/M/1 modeli). Bu vezneye gelen onay talepleri Poisson sürecine uygun olup, vezneye saatte ortalama 88 beyanname gelmektedir. Vezne memurunun bir beyannameyi inceleyip onaylama süresi üstel dağılıma uymakta olup, memur saatte ortalama 1010 beyannameye hizmet verebilmektedir.

Buna göre, onay için vezneye gelmiş ancak henüz memur tarafından işlemi başlatılmamış (kuyrukta bekleyen) ortalama beyanname sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,23,2

Cevap

Kuyrukta bekleyen ortalama beyanname sayısı 3,23,2'dir.
Soruda, vezneye gelmiş ancak henüz işlemi başlamamış ortalama beyanname sayısı sorulmaktadır. Bu tanım, kuyruk teorisinde 'LqL_q' (kuyrukta bekleyen ortalama birim sayısı) metriğine karşılık gelir. Verilenlere göre varış hızı λ=8\lambda = 8 ve hizmet hızı μ=10\mu = 10'dur. M/M/1 modelinde bu metrik Lq=λ2μ(μ−λ)L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} formülü ile hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda, Lq=8210(10−8)=6410×2=6420=3,2L_q = \frac{8^2}{10(10 - 8)} = \frac{64}{10 \times 2} = \frac{64}{20} = 3,2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem parametrelerini (varış hızı ve hizmet hızı) belirle.
Varış hızı λ=8\lambda = 8 beyanname/saat, hizmet hızı μ=10\mu = 10 beyanname/saat.
Kuyruk modellerinde tüm performans ölçütleri bu iki temel parametre üzerinden hesaplanır.
2
Soruda istenen performans ölçütünün notasyonunu tespit et.
Soruda 'kuyrukta bekleyen ortalama birim sayısı' sorulduğu için hesaplanması gereken değer LqL_q'dur.
Farklı metrikleri (sistemdeki sayı LL, kuyruk süresi WqW_q vb.) birbirine karıştırmamak için doğru formülü seçmek gerekir.
3
LqL_q formülünü kullanarak matematiksel işlemi gerçekleştir.
Lq=λ2μ(μ−λ)=8210(10−8)=6420=3,2L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} = \frac{8^2}{10(10 - 8)} = \frac{64}{20} = 3,2
Tek kanallı (M/M/1) kuyruk modelinde bekleyen ortalama müşteri sayısını veren bağıntı uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modelinde Performans Ölçütleri

Alternatif Yöntem

Little Kanunu ve sistem uzunluğu kullanılarak pratik bir doğrulama yapılabilir. Sistemin meşguliyet oranı ρ=810=0,8\rho = \frac{8}{10} = 0,8 bulunur. Sistemdeki ortalama birim sayısı L=ρ1−ρ=0,80,2=4L = \frac{\rho}{1 - \rho} = \frac{0,8}{0,2} = 4 tür. Kuyrukta bekleyen birim sayısı ise doğrudan Lq=L−ρ=4−0,8=3,2L_q = L - \rho = 4 - 0,8 = 3,2 işlemiyle kolayca bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Kuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik | Examkin