Examkin

Soru

Zorluk: ZorKuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri

Bir bölgesel lojistik merkezine yük boşaltmak için gelen tırların varışları Poisson dağılımına, tek bir peronun bulunduğu (M/M/1 modeli) boşaltma sistemindeki hizmet süreleri ise üstel dağılıma uymaktadır.

Bu lojistik merkezi ile ilgili mevcut durumda şu bilgiler verilmektedir:
- Boşaltma peronunun boş kalma olasılığı P0=0,2P_0 = 0,2'dir.
- Bir tırın lojistik merkezinde geçirdiği ortalama toplam süre (sistemde kalma süresi) 11 saattir.

Merkez yönetimi, peron önünde bekleyen tır kuyruğunun trafiği aksatmaması amacıyla, kuyrukta bekleyen ortalama tır sayısını (LqL_q) 43\frac{4}{3} değerine düşürmeyi hedeflemektedir.

Tırların varış hızında (λ\lambda) herhangi bir değişiklik olmayacağı varsayıldığında, hedeflenen bu iyileşme için boşaltma peronunun yeni hizmet hızı (μyeni\mu_{yeni}) saatte kaç tır olmalıdır?

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. C
    5
  4. 6Cevap
  5. E
    7

Cevap

Yeni hizmet hızı saatte 6 tır olmalıdır.
Doğru cevap, hedeflenen kuyruk uzunluğu (Lq) değerini sağlayan yeni hizmet hızının (μ) hesaplanmasıyla elde edilir. Öncelikle P0=0,2P_0 = 0,2 bilgisinden ρ=0,8\rho = 0,8 (yani λ=0,8μ\lambda = 0,8\mu) bağıntısı çıkarılır. Ardından sistemde kalma süresi olan W=1μ−λ=1W = \frac{1}{\mu - \lambda} = 1 denkleminde yerine konularak mevcut durumdaki μ=5\mu = 5 ve λ=4\lambda = 4 değerleri kesin olarak bulunur. Yönetim varış hızını sabit (λ=4\lambda = 4) tutup kuyruktaki araç sayısını Lq=43L_q = \frac{4}{3} yapmak istediğinden; 42μyeni(μyeni−4)=43\frac{4^2}{\mu_{yeni}(\mu_{yeni} - 4)} = \frac{4}{3} eşitliği kurulur. Bu denklem düzenlendiğinde μyeni2−4μyeni−12=0\mu_{yeni}^2 - 4\mu_{yeni} - 12 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Denklemin pozitif kökü μyeni=6\mu_{yeni} = 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Mevcut durumdaki varış hızı (λ) ve hizmet hızı (μ) değerlerini bulmak için boş kalma olasılığı (P_0) eşitliğini kullanın.
Sonuç: P0=1−ρ=0,2  ⟹  ρ=0,8P_0 = 1 - \rho = 0,2 \implies \rho = 0,8. Buradan ρ=λμ=0,8  ⟹  λ=0,8μ\rho = \frac{\lambda}{\mu} = 0,8 \implies \lambda = 0,8\mu elde edilir.
Neden: Sistemin boş kalma olasılığı, M/M/1 modelinde sistemin kullanım oranının (ρ) tümleyeni olarak tanımlanır.
2
Sistemde geçen ortalama süre (W) formülünü kullanarak parametrelerin mutlak değerlerini hesaplayın.
Sonuç: W=1μ−λ=1  ⟹  μ−λ=1W = \frac{1}{\mu - \lambda} = 1 \implies \mu - \lambda = 1. Birinci adımda bulunan λ=0,8μ\lambda = 0,8\mu değeri yerine konulduğunda μ−0,8μ=1  ⟹  0,2μ=1  ⟹  μ=5\mu - 0,8\mu = 1 \implies 0,2\mu = 1 \implies \mu = 5 ve λ=4\lambda = 4 bulunur.
Neden: Ortalama süre (W) bilindiğinde, λ ve μ arasındaki doğrusal ilişki kullanılarak her iki parametre kesin olarak çözülebilir.
3
Hedeflenen yeni durum için kuyruk uzunluğu (Lq) denklemini kurun.
Sonuç: Hedef Lq=43L_q = \frac{4}{3} ve varış hızı λ=4\lambda = 4 sabit kalacağından; λ2μyeni(μyeni−λ)=16μyeni(μyeni−4)=43\frac{\lambda^2}{\mu_{yeni}(\mu_{yeni} - \lambda)} = \frac{16}{\mu_{yeni}(\mu_{yeni} - 4)} = \frac{4}{3} denklemi oluşturulur.
Neden: İyileştirme sadece hizmet hızında yapılacağı için, kuyruk uzunluğu formülünde yeni μ değeri yalnız bırakılır.
4
Oluşturulan denklemi çözerek yeni hizmet hızını bulun.
Sonuç: İçler dışlar çarpımı ile 48=4μyeni2−16μyeni  ⟹  μyeni2−4μyeni−12=048 = 4\mu_{yeni}^2 - 16\mu_{yeni} \implies \mu_{yeni}^2 - 4\mu_{yeni} - 12 = 0. Çarpanlarına ayrıldığında (μyeni−6)(μyeni+2)=0(\mu_{yeni} - 6)(\mu_{yeni} + 2) = 0 olur. Hizmet hızı pozitif olması gerektiğinden μyeni=6\mu_{yeni} = 6 bulunur.
Neden: İkinci dereceden denklemin pozitif kökü sistemin aranan yeni fiziksel kapasitesini temsil eder.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modellerinde Kararlı Durum (Steady-State) Parametreleri ve Hedef Optimizasyonu

Alternatif Yöntem

Problemi hızla çözmek için Lq formülünü direkt kullanım oranı (ρ) üzerinden yazabilirsiniz: Lq=ρ21−ρL_q = \frac{\rho^2}{1-\rho}. Hedeflenen Lq=43L_q = \frac{4}{3} olduğundan; ρ21−ρ=43  ⟹  3ρ2+4ρ−4=0\frac{\rho^2}{1-\rho} = \frac{4}{3} \implies 3\rho^2 + 4\rho - 4 = 0. Çarpanlarına ayırırsak (3ρ−2)(ρ+2)=0(3\rho - 2)(\rho + 2) = 0. Sistemin kararlı olabilmesi için 0<ρ<10 < \rho < 1 olmalıdır, bu nedenle geçerli kök ρ=23\rho = \frac{2}{3}'tür. ρ=λμyeni=4μyeni=23\rho = \frac{\lambda}{\mu_{yeni}} = \frac{4}{\mu_{yeni}} = \frac{2}{3} eşitliği kurularak μyeni=6\mu_{yeni} = 6 sonucu doğrudan ve çok daha basit sayılarla bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri

Bu konudan daha fazla soru