Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri

Bir kamu kurumunun evrak kayıt ve inceleme biriminde tek bir uzman çalışmaktadır (M/M/1 modeli). Bu uzmanın evrak inceleme süreleri üstel dağılıma uymakta olup, saatte ortalama 20 evrak inceleyebilmektedir. Birime evrak geliş hızı ise saatte ortalama 12 evrak olup Poisson dağılımına uymaktadır.

Kurum yönetimi, birimdeki esnekliği artırmak amacıyla mevcut sistemi değiştirmeyi planlamaktadır. Yeni düzende, aynı bekleme hattından beslenen ve her biri saatte ortalama 10 evrak inceleyebilen iki uzmanın aynı anda çalışacağı M/M/2 modeline geçilecektir. (Müşteriler/Evraklar için tek bir kuyruk kullanılmaya devam edilecektir.)

Buna göre, yeni sisteme geçildiğinde evrakların sistemde (kuyrukta bekleme ve işlem görme aşamalarının toplamı) bulunma ortalaması (sistemdeki ortalama evrak sayısı, LL) ilk duruma göre nasıl değişir?

  1. 38\frac{3}{8} artar.Cevap
  2. B
    38\frac{3}{8} azalır.
  3. C
    940\frac{9}{40} azalır.
  4. D
    940\frac{9}{40} artar.
  5. E
    Değişmez.

Cevap

Sistemdeki ortalama evrak sayısı 38\frac{3}{8} artar.
Doğru yanıtı bulmak için iki sistemin LL (sistemdeki ortalama müşteri/evrak sayısı) değerleri ayrı ayrı hesaplanmalıdır. M/M/1 modelinde sistemdeki ortalama evrak sayısı L1=λμ−λ=128=1.5L_1 = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{12}{8} = 1.5 olarak bulunur. M/M/2 modelinde ise öncelikle sistemin boş kalma olasılığı P0=0.25P_0 = 0.25 hesaplanmalı, ardından Lq=0.675L_q = 0.675 bulunur. Sistemdeki toplam evrak sayısı ise L2=Lq+(λ/μ)=0.675+1.2=1.875L_2 = L_q + (\lambda/\mu) = 0.675 + 1.2 = 1.875 (yani 15/815/8) olarak elde edilir. İki durum arasındaki fark incelendiğinde 1.875−1.5=+0.3751.875 - 1.5 = +0.375 (38\frac{3}{8}) artış olduğu görülür. Toplam hizmet kapasitesi aynı kalsa bile, çok kanallı yapıda her bir evrakın inceleme süresi iki katına çıktığı için, sistemde geçirilen ortalama süre ve dolayısıyla sistemdeki ortalama evrak sayısı artar.

Adım Adım Çözüm

1
Mevcut M/M/1 sistemi için ortalama evrak sayısının (L1L_1) hesaplanması.
ρ=1220=0.6\rho = \frac{12}{20} = 0.6 elde edilir. L1=λμ−λ=1220−12=128=1.5L_1 = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{12}{20 - 12} = \frac{12}{8} = 1.5 bulunur.
Karşılaştırma için ilk durumdaki (M/M/1) sistemdeki müşteri sayısını belirlemek.
2
Yeni M/M/2 sistemi için parametrelerin belirlenip sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması.
λ=12\lambda = 12, μ=10\mu = 10, s=2s = 2. r=1210=1.2r = \frac{12}{10} = 1.2, ρ=1.22=0.6\rho = \frac{1.2}{2} = 0.6. Formül ile P0=[1+1.2+1.22211−0.6]−1=[2.2+1.440.8]−1=[4]−1=0.25P_0 = \left[ 1 + 1.2 + \frac{1.2^2}{2} \frac{1}{1-0.6} \right]^{-1} = \left[ 2.2 + \frac{1.44}{0.8} \right]^{-1} = [4]^{-1} = 0.25 bulunur.
Çok kanallı bekleme modellerinde tüm performans ölçütleri P0P_0 değerine bağlıdır.
3
M/M/2 sistemi için kuyruktaki ortalama evrak sayısının (LqL_q) bulunması.
Lq=P0⋅rs⋅ρs!⋅(1−ρ)2=0.25⋅1.44⋅0.62⋅(0.4)2=0.2160.32=0.675=2740L_q = \frac{P_0 \cdot r^s \cdot \rho}{s! \cdot (1-\rho)^2} = \frac{0.25 \cdot 1.44 \cdot 0.6}{2 \cdot (0.4)^2} = \frac{0.216}{0.32} = 0.675 = \frac{27}{40} elde edilir.
Sistemdeki ortalama sayıyı (L) hesaplayabilmek için önce kuyruk uzunluğuna ulaşılmalıdır.
4
M/M/2 sistemi için sistemdeki toplam evrak sayısının (L2L_2) bulunması.
L2=Lq+r=0.675+1.2=1.875=158L_2 = L_q + r = 0.675 + 1.2 = 1.875 = \frac{15}{8} hesaplanır.
L=Lq+λμL = L_q + \frac{\lambda}{\mu} ilişkisi kullanılarak hizmet gören evraklar da toplama dahil edilir.
5
İki sistem arasındaki farkın alınması.
L2−L1=1.875−1.500=+0.375=38L_2 - L_1 = 1.875 - 1.500 = +0.375 = \frac{3}{8} artış bulunur.
Soruda istenen net değişimi ortaya koymak.

Anahtar Kavram

Tek ve çok kanallı kuyruk modellerinde performans ölçütlerinin (M/M/1 ve M/M/s) karşılaştırmalı analizi.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri

Bu konudan daha fazla soru