Examkin

Soru

Zorluk: KolayDallanma Süreçleri

Bir kamu araştırma projesinde her bir çalışma birimi, bir sonraki dönemde kendisinden bağımsız olarak rastgele sayıda yeni alt çalışma birimi oluşturmaktadır. Bir birimin oluşturacağı yeni birim sayısı (ZZ) için olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

zzP(Z=z)P(Z=z)
00,4
10,3
20,3

Başlangıçta bir adet çalışma birimi (X0=1X_0=1) olduğu bilindiğine göre, ikinci nesildeki beklenen çalışma birimi sayısı (E[X2]E[X_2]) kaçtır?

  1. A
    0,60
  2. 0,81Cevap
  3. C
    0,90
  4. D
    1,80
  5. E
    0,729

Cevap

İkinci nesilde beklenen çalışma birimi sayısı 0,81'dir.
Dallanma süreçlerinde başlangıçta bir birim varsa, nn. nesilde beklenen birim sayısı E[Xn]=μnE[X_n] = \mu^n şeklinde hesaplanır. Burada μ\mu, bir birimin oluşturacağı yeni birimlerin ortalamasıdır. Hesaplama sonucunda μ=0,9\mu = 0,9 bulunmuştur. İkinci nesil sorulduğu için 0,92=0,810,9^2 = 0,81 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Yavru dağılımının beklenen değerini (μ=E[Z]\mu = E[Z]) hesaplayın.
μ=(0×0,4)+(1×0,3)+(2×0,3)=0+0,3+0,6=0,9\mu = (0 \times 0,4) + (1 \times 0,3) + (2 \times 0,3) = 0 + 0,3 + 0,6 = 0,9
Dallanma süreçlerinde her nesildeki değişim, tek bir birimin üreteceği ortalama birim sayısına bağlıdır.
2
Dallanma süreçleri için nesil beklenen değer formülünü uygulayın.
E[Xn]=μnE[X_n] = \mu^n formülünden E[X2]=0,92=0,81E[X_2] = 0,9^2 = 0,81
X0=1X_0 = 1 olduğunda, nn. nesildeki beklenen değer ana kütle ortalamasının nn. kuvvetidir.

Anahtar Kavram

Galton-Watson dallanma süreçlerinde beklenen değer hesabı ve μ<1\mu < 1 durumu (alt-kritik süreç).
Bu soruyu puanla

Konular

Dallanma Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru