Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDallanma Süreçleri

Bir hastalık modellemesinde, enfekte olan her bir bireyin belirli bir zaman diliminde bulaştırdığı yeni kişi sayısı bir Galton-Watson dallanma süreci ile modellenmektedir. Aşağıdaki tabloda her bir bireyin bir sonraki nesilde hastalığı bulaştırdığı kişi sayısına (YY) ait olasılık dağılımı verilmiştir:

YY (Bulaştırılan Kişi Sayısı)P(Y)P(Y) (Olasılık)
00,40,4
100
20,20,2
30,40,4

Salgın başlangıçta X0=2X_0 = 2 enfekte birey ile başlamıştır. XnX_n, nn. nesildeki (adımda) enfekte olan kişi sayısını göstermek üzere;

I. Bu salgının eninde sonunda tamamen sönümlenme (neslinin tükenme) olasılığı nedir?
II. İkinci nesilde beklenen enfekte kişi sayısı (E[X2]E[X_2]) kaçtır?

Yukarıdaki soruların cevapları sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

  1. 14\frac{1}{4} ve 5,125,12Cevap
  2. B
    12\frac{1}{2} ve 5,125,12
  3. C
    11 ve 5,125,12
  4. D
    14\frac{1}{4} ve 2,562,56
  5. E
    12\frac{1}{2} ve 3,203,20

Cevap

Sönüm olasılığının 14\frac{1}{4} ve ikinci nesildeki beklenen enfekte kişi sayısının 5,125,12 olarak verildiği seçenektir.
Ortalama yavru sayısı μ=1,6\mu = 1,6 olduğundan süreç süperkritiktir ve eninde sonunda neslin tükenme ihtimali kesin (1) değildir. Tek bir bireyin sönüm olasılığı G(s)=s  ⟹  0,4+0,2s2+0,4s3=sG(s) = s \implies 0,4 + 0,2s^2 + 0,4s^3 = s denkleminin çözümünden π=12\pi = \frac{1}{2} bulunur. Salgın 2 bağımsız bireyle başladığı için toplam sönümlenme olasılığı (12)2=14(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} olur. İkinci adımdaki beklenen sayı ise E[X2]=X0⋅μ2=2⋅(1,6)2=5,12E[X_2] = X_0 \cdot \mu^2 = 2 \cdot (1,6)^2 = 5,12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci nesil için beklenen bulaştırma sayısını (μ\mu) hesaplayın.
μ=E[Y]=0⋅0,4+1⋅0+2⋅0,2+3⋅0,4=0+0+0,4+1,2=1,6\mu = E[Y] = 0 \cdot 0,4 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,4 = 0 + 0 + 0,4 + 1,2 = 1,6
Sürecin kritik, altkritik veya süperkritik olduğunu belirlemek ve ilerleyen nesillerin beklenen değerini bulmak için μ\mu değerine ihtiyaç vardır. μ=1,6>1\mu = 1,6 > 1 olduğundan süreç süperkritiktir.
2
İkinci nesilde beklenen enfekte kişi sayısını (E[X2]E[X_2]) hesaplayın.
E[Xn]=X0⋅μn  ⟹  E[X2]=2⋅(1,6)2=2⋅2,56=5,12E[X_n] = X_0 \cdot \mu^n \implies E[X_2] = 2 \cdot (1,6)^2 = 2 \cdot 2,56 = 5,12
Dallanma süreçlerinde başlangıçtaki bağımsız X0X_0 adet bireyin her birinin kendi soy çizgisi vardır. Toplam beklenen değer X0X_0 ile nesil bazlı büyüme oranının (μn\mu^n) çarpımına eşittir.
3
Yavru dağılımı için olasılık üreten fonksiyonu (Probability Generating Function - PGF) oluşturun.
G(s)=∑y=03P(Y=y)sy=0,4⋅s0+0⋅s1+0,2⋅s2+0,4⋅s3=0,4+0,2s2+0,4s3G(s) = \sum_{y=0}^{3} P(Y=y)s^y = 0,4 \cdot s^0 + 0 \cdot s^1 + 0,2 \cdot s^2 + 0,4 \cdot s^3 = 0,4 + 0,2s^2 + 0,4s^3
Bir bireyin soyunun tamamen tükenme olasılığını (π\pi) bulabilmek için PGF denklemini kurmak gereklidir.
4
G(s)=sG(s) = s denkleminin [0,1)[0, 1) aralığındaki kökünü (π\pi) bularak tek bir bireyin sönüm olasılığını hesaplayın.
0,4s3+0,2s2−s+0,4=00,4s^3 + 0,2s^2 - s + 0,4 = 0 (her tarafı 5 ile çarpalım)   ⟹  2s3+s2−5s+2=0\implies 2s^3 + s^2 - 5s + 2 = 0. s=1s=1 bariz bir köktür. Polinom bölmesi (s−1)(2s2+3s−2)=0(s-1)(2s^2 + 3s - 2) = 0 sonucunu verir. Kökler: 1,0,5,−21, 0,5, -2. En küçük negatif olmayan kök π=0,5\pi = 0,5 (yani 12\frac{1}{2}) olarak bulunur.
Teoriye göre μ>1\mu > 1 (süperkritik) olduğunda, sönüm olasılığı G(s)=sG(s)=s eşitliğini sağlayan [0,1)[0, 1) aralığındaki eşsiz çözümdür.
5
Tüm sürecin (salgının) tamamen sönümlenme olasılığını hesaplayın.
P(So¨nu¨m)=πX0=(0,5)2=0,25=14P(\text{Sönüm}) = \pi^{X_0} = (0,5)^2 = 0,25 = \frac{1}{4}
Sürecin tamamen yok olması için başlangıçtaki tüm bağımsız kolların (burada 2 adet) sönümlenmesi gerekir. Olaylar bağımsız olduğundan olasılıklar çarpılır.

Anahtar Kavram

Dallanma Süreçlerinde Sönüm Olasılığı ve Olasılık Üreten Fonksiyonlar

Alternatif Yöntem

Beklenen değer hesabı iteratif koşullu beklenen değer teoremi üzerinden de doğrulanabilir: E[X2]=E[E[X2∣X1]]=E[X1⋅μ]=μ⋅E[X1]=μ⋅(X0⋅μ)=X0⋅μ2E[X_2] = E[E[X_2|X_1]] = E[X_1 \cdot \mu] = \mu \cdot E[X_1] = \mu \cdot (X_0 \cdot \mu) = X_0 \cdot \mu^2.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Dallanma Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru