Examkin

Soru

Zorluk: ZorDallanma Süreçleri

Bir kamu kurumunda yürütülen bir denetim sürecinde, incelenen her bir dosya, işlem sonucunda rastgele sayıda yeni alt dosya incelenmesini gerektirmektedir. Bu durum bir Galton-Watson dallanma süreci {Xn,n≥0}\{X_n, n \geq 0\} ile modellenmektedir.

Başlangıçta incelenen 11 adet dosya (X0=1X_0 = 1) bulunmaktadır. Bir dosyanın yarattığı yeni alt dosya sayısının (YY) olasılık dağılımı aşağıdaki gibidir:

\begin{itemize}
\item P(Y=0)=16P(Y = 0) = \frac{1}{6}
\item P(Y=1)=13P(Y = 1) = \frac{1}{3}
\item P(Y=2)=12P(Y = 2) = \frac{1}{2}
\end{itemize}

Buna göre, bu denetim sürecinin er ya da geç tamamen sonlanma olasılığı (π\pi) ile 2. adımda (nesilde) incelenmesi beklenen ortalama dosya sayısı (E[X2]E[X_2]) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 13\frac{1}{3} ve 169\frac{16}{9}Cevap
  2. B
    11 ve 169\frac{16}{9}
  3. C
    13\frac{1}{3} ve 43\frac{4}{3}
  4. D
    16\frac{1}{6} ve 169\frac{16}{9}
  5. E
    11 ve 43\frac{4}{3}

Cevap

Sürecin sonlanma olasılığı 13\frac{1}{3} ve 2. nesilde beklenen dosya sayısı 169\frac{16}{9}'dur.
Sürecin tek bir adımda üreteceği beklenen dosya sayısı μ=0(16)+1(13)+2(12)=43\mu = 0(\frac{1}{6}) + 1(\frac{1}{3}) + 2(\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} olarak bulunur. μ>1\mu > 1 olduğu için süreç süperkritiktir ve sonlanma olasılığı (π\pi), olasılık üreten fonksiyon G(s)=sG(s) = s denkleminin [0,1)[0,1) aralığındaki köküdür. Denklemi kurduğumuzda: 16+13s+12s2=s  ⟹  3s2−4s+1=0  ⟹  (3s−1)(s−1)=0\frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{2}s^2 = s \implies 3s^2 - 4s + 1 = 0 \implies (3s-1)(s-1)=0 olur. μ>1\mu > 1 şartından dolayı 1'den küçük olan kök alınmalıdır, yani π=13\pi = \frac{1}{3}'tür. İkinci adımda (nesilde) incelenmesi beklenen ortalama dosya sayısı ise E[Xn]=μnE[X_n] = \mu^n formülüyle E[X2]=(43)2=169E[X_2] = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bir dosyanın üreteceği beklenen yeni dosya sayısını (μ\mu) hesaplamak.
μ=E[Y]=0⋅16+1⋅13+2⋅12=0+13+1=43\mu = E[Y] = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}.
Sürecin dallanma karakteristiğini (süperkritik, kritik, kritikaltı) belirlemek ve beklenen değer formülünü kurabilmek için μ\mu hesaplanmalıdır.
2
Sürecin sonlanma olasılığını (π\pi) bulmak için G(s)=sG(s) = s denklemini çözmek.
G(s)=16+13s+12s2=s  ⟹  3s2−4s+1=0  ⟹  (3s−1)(s−1)=0G(s) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{2}s^2 = s \implies 3s^2 - 4s + 1 = 0 \implies (3s-1)(s-1)=0. Kökler s1=1s_1=1 ve s2=13s_2=\frac{1}{3} olarak bulunur.
Dallanma süreçlerinde sonlanma olasılığı her zaman G(s)=sG(s)=s denkleminin [0,1][0, 1] aralığındaki en küçük köküdür.
3
μ\mu'nün durumuna göre doğru kökü seçmek.
μ=43>1\mu = \frac{4}{3} > 1 (süperkritik süreç) olduğu için, sürecin kesin olarak sonlanmama ihtimali vardır ve sonlanma olasılığı π<1\pi < 1 olmak zorundadır. Dolayısıyla π=13\pi = \frac{1}{3}'tür.
Süperkritik süreçlerde sonlanma olasılığı 1'den kesinlikle küçüktür.
4
2. adımdaki beklenen dosya sayısını (E[X2]E[X_2]) hesaplamak.
E[Xn]=μnE[X_n] = \mu^n formülüne göre, E[X2]=(43)2=169E[X_2] = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9} elde edilir.
Her nesildeki ortalama birey sayısı, başlangıçtaki birey sayısının (X0=1X_0=1) μn\mu^n katı olarak büyür.

Anahtar Kavram

Süperkritik Dallanma Süreçlerinde Sonlanma Olasılığı ve Olasılık Üreten Fonksiyon
Bu soruyu puanla

Konular

Dallanma Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru