Bir nükleer reaktördeki nötron çoğalması, bir Galton-Watson dallanma süreci \{X_n, n \geq … — KPSS İstatistik

Bir nükleer reaktördeki nötron çoğalması, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. $X_0 = 1$ olmak üzere, bir nötronun bir mikrosaniye içinde parçalanarak yeni nötronlar üretme olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Üretilen Nötron Sayısı ( $k$ )	$0$	$1$	$2$	$3$
Olasılık ( $p_k$ )	$1/6$	$1/3$	$1/3$	$1/6$

Buna göre, bu nötron zincirleme reaksiyonunun nihai olarak sönümlenme (yok olma) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{\sqrt{13}-3}{2}$ Cevap
B
1
C
$\frac{2}{3}$
D
$\frac{1}{6}$
E
$\frac{\sqrt{13}+3}{2}$

Cevap

Reaksiyonun nihai sönümlenme olasılığı (\sqrt{13}-3)/2 değeridir.

Sönümlenme olasılığı (\pi), yavru dağılımının olasılık çıkaran fonksiyonu (PGF) olan

G(s) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}s^2 + \frac{1}{6}s^3

ile

s

'in eşitlendiği

G(s) = s

denkleminin

[0, 1)

aralığındaki köküdür. Denklemin düzenlenmesiyle elde edilen

s^3 + 2s^2 - 4s + 1 = 0

polinomu, bilinen

s=1

kökü yardımıyla

(s-1)(s^2 + 3s - 1) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. İkinci dereceden çarpanın köklerinden olasılık tanım aralığına

(0 \leq \pi < 1)

uyan tek değer

\frac{\sqrt{13}-3}{2}

'dir.

Adım Adım Çözüm

Sürecin beklenen değerini (\mu) hesapla.

\mu = E[X] = 0(1/6) + 1(1/3) + 2(1/3) + 3(1/6) = 0 + 1/3 + 2/3 + 3/6 = 1.5

Sürecin altkritik, kritik veya süperkritik olduğunu belirlemek için ortalama yavru sayısına ihtiyaç vardır. \mu > 1 olduğu için süreç süperkritiktir ve sönümlenme olasılığı \pi < 1 olmalıdır.

Olasılık Çıkaran Fonksiyonu (PGF) olan G(s) denklemini kur.

G(s) = p_0 + p_1 s + p_2 s^2 + p_3 s^3 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}s^2 + \frac{1}{6}s^3

Dallanma süreçlerinde sönümlenme olasılığı (\pi), G(s) = s denkleminin [0, 1] aralığındaki en küçük köküdür.

G(s) = s denklemini çözmek üzere düzenle.

\frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}s^2 + \frac{1}{6}s^3 = s \Rightarrow 1 + 2s + 2s^2 + s^3 = 6s \Rightarrow s^3 + 2s^2 - 4s + 1 = 0

Kökleri bulabilmek için denklemi standart polinom formuna getirmeliyiz.

Polinomu çarpanlarına ayır ve kökleri bul.

s=1 her zaman bir köktür. Polinomu (s-1)'e bölersek: (s-1)(s^2 + 3s - 1) = 0 elde edilir.

Üçüncü dereceden denklemi çözmek için bilinen s=1 kökünden faydalanarak denklemi ikinci dereceye indirgeriz.

İkinci dereceden denklemin [0, 1) aralığındaki geçerli kökünü (\pi) tespit et.

s^2 + 3s - 1 = 0 denkleminin kökleri: s = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}. Pozitif olan \pi = \frac{\sqrt{13}-3}{2} geçerli olasılıktır.

Sönümlenme olasılığı negatif olamaz ve süperkritik süreçte 1'den küçüktür (\sqrt{13} \approx 3.6 olduğundan kök \approx 0.3'tür).

Anahtar Kavram

Galton-Watson süreçlerinde sönümlenme olasılığı ve Olasılık Çıkaran Fonksiyon (PGF)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru