Examkin

Soru

Zorluk: ZorDallanma Süreçleri

Bir bilgisayar ağına sızan yeni bir zararlı yazılımın (virüsün) sistemdeki yayılımı, bir Galton-Watson dallanma süreci {Xn,n≥0}\{X_n, n \geq 0\} ile modellenmektedir. Sisteme başlangıçta 11 adet virüs bulaşmıştır (X0=1X_0 = 1).

Her bir virüsün bir zaman birimi (nesil) sonunda sistemde bırakacağı kopyalarının (yavru virüs) sayısına ilişkin olasılık dağılımı aşağıdaki gibidir:

* P(X=0)=19P(X=0) = \frac{1}{9} (Hiç kopya bırakmadan silinmesi)
* P(X=1)=49P(X=1) = \frac{4}{9} (Sadece 11 kopya bırakması)
* P(X=2)=49P(X=2) = \frac{4}{9} (22 kopya bırakarak çoğalması)

Buna göre, bu zararlı yazılımın 2. nesildeki beklenen kopya sayısı (E[X2]E[X_2]) ile er ya da geç sistemden tamamen yok olma olasılığı (π\pi) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 169\frac{16}{9} ve 14\frac{1}{4}Cevap
  2. B
    83\frac{8}{3} ve 14\frac{1}{4}
  3. C
    169\frac{16}{9} ve 11
  4. D
    83\frac{8}{3} ve 11
  5. E
    169\frac{16}{9} ve 19\frac{1}{9}

Cevap

169\frac{16}{9} ve 14\frac{1}{4} değerlerini içeren seçenektir.
Dallanma sürecinde ortalama yavru sayısı μ=43\mu = \frac{4}{3} olarak bulunur. n=2n=2 için beklenen birey sayısı μ2=(43)2=169\mu^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} olmalıdır. Yok olma olasılığı π\pi, olasılık üreten fonksiyon G(s)=19+49s+49s2=sG(s) = \frac{1}{9} + \frac{4}{9}s + \frac{4}{9}s^2 = s denkleminin köklerinden en küçüğüdür. Bu denklemin kökleri s=1s=1 ve s=14s=\frac{1}{4} olarak bulunur. μ>1\mu > 1 olduğundan yok olma ihtimali 1'den küçüktür, bu nedenle π=14\pi = \frac{1}{4} doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Bir virüsün üreteceği yavru sayısının beklenen değerini (μ\mu) hesaplayın.
μ=E[X]=0⋅P(X=0)+1⋅P(X=1)+2⋅P(X=2)=0⋅19+1⋅49+2⋅49=129=43\mu = E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot \frac{1}{9} + 1 \cdot \frac{4}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
Dallanma süreçlerinde n. nesildeki beklenen sayıyı ve sürecin kritiklik durumunu belirlemek için ilk neslin beklenen değeri (\mu) bulunmalıdır.
2
2. nesildeki beklenen kopya sayısını (E[X2]E[X_2]) formülü kullanarak bulun.
E[X2]=μ2=(43)2=169E[X_2] = \mu^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}
Galton-Watson süreçlerinde n. neslin beklenen değeri E[Xn]=X0⋅μnE[X_n] = X_0 \cdot \mu^n formülü ile hesaplanır. Burada X0=1X_0 = 1 ve n=2n = 2'dir.
3
Yok olma olasılığını (π\pi) bulmak için olasılık üreten fonksiyonu (G(s)G(s)) oluşturup G(s)=sG(s) = s denklemini çözün.
G(s)=19+49s+49s2=s  ⟹  4s2+4s+1=9s  ⟹  4s2−5s+1=0G(s) = \frac{1}{9} + \frac{4}{9}s + \frac{4}{9}s^2 = s \implies 4s^2 + 4s + 1 = 9s \implies 4s^2 - 5s + 1 = 0
Sistemin er ya da geç yok olma olasılığı, olasılık üreten fonksiyonun s=G(s)s=G(s) denklemini sağlayan köklerinden biridir.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerini bulun ve uygun olanı seçin.
(4s−1)(s−1)=0  ⟹  s=14(4s - 1)(s - 1) = 0 \implies s = \frac{1}{4} veya s=1s = 1. μ=43>1\mu = \frac{4}{3} > 1 olduğundan süreç süper kritiktir ve yok olma olasılığı π<1\pi < 1 olmalıdır. Bu nedenle π=14\pi = \frac{1}{4} olur.
Süper kritik (\mu > 1) süreçlerde yok olma olasılığı daima 1'den küçük olan en küçük pozitif köke eşittir.

Anahtar Kavram

Galton-Watson Dallanma Süreci ve Yok Olma Olasılığı
Bu soruyu puanla

Konular

Dallanma Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru