Dallanma Süreçleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir hastalık modellemesinde, enfekte olan her bir bireyin belirli bir zaman diliminde bulaştırdığı yeni kişi sayısı bir Galton-Watson dallanma süreci ile modellenmektedir. Aşağıdaki tabloda her bir bireyin bir sonraki nesilde hastalığı bulaştırdığı kişi sayısına ( $Y$ ) ait olasılık dağılımı verilmiştir:

$Y$ (Bulaştırılan Kişi Sayısı)	$P(Y)$ (Olasılık)
0	$0,4$
1	$0$
2	$0,2$
3	$0,4$

Salgın başlangıçta $X_0 = 2$ enfekte birey ile başlamıştır. $X_n$ , $n$ . nesildeki (adımda) enfekte olan kişi sayısını göstermek üzere;

I. Bu salgının eninde sonunda tamamen sönümlenme (neslinin tükenme) olasılığı nedir?
II. İkinci nesilde beklenen enfekte kişi sayısı ( $E[X_2]$ ) kaçtır?

Yukarıdaki soruların cevapları sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

\frac{1}{4}

ve

5,12

\frac{1}{2}

ve

5,12

1

ve

5,12

\frac{1}{4}

ve

2,56

\frac{1}{2}

ve

3,20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{4}$ ve $5,12$

Cevap

Sönüm olasılığının

\frac{1}{4}

ve ikinci nesildeki beklenen enfekte kişi sayısının

5,12

olarak verildiği seçenektir.

Ortalama yavru sayısı

\mu = 1,6

olduğundan süreç süperkritiktir ve eninde sonunda neslin tükenme ihtimali kesin (1) değildir. Tek bir bireyin sönüm olasılığı

G(s) = s \implies 0,4 + 0,2s^2 + 0,4s^3 = s

denkleminin çözümünden

\pi = \frac{1}{2}

bulunur. Salgın 2 bağımsız bireyle başladığı için toplam sönümlenme olasılığı

(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}

olur. İkinci adımdaki beklenen sayı ise

E[X_2] = X_0 \cdot \mu^2 = 2 \cdot (1,6)^2 = 5,12

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci nesil için beklenen bulaştırma sayısını (

\mu

) hesaplayın.

\mu = E[Y] = 0 \cdot 0,4 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,4 = 0 + 0 + 0,4 + 1,2 = 1,6

Sürecin kritik, altkritik veya süperkritik olduğunu belirlemek ve ilerleyen nesillerin beklenen değerini bulmak için

\mu

değerine ihtiyaç vardır.

\mu = 1,6 > 1

olduğundan süreç süperkritiktir.

2

İkinci nesilde beklenen enfekte kişi sayısını (

E[X_2]

) hesaplayın.

E[X_n] = X_0 \cdot \mu^n \implies E[X_2] = 2 \cdot (1,6)^2 = 2 \cdot 2,56 = 5,12

Dallanma süreçlerinde başlangıçtaki bağımsız

X_0

adet bireyin her birinin kendi soy çizgisi vardır. Toplam beklenen değer

X_0

ile nesil bazlı büyüme oranının (

\mu^n

) çarpımına eşittir.

3

Yavru dağılımı için olasılık üreten fonksiyonu (Probability Generating Function - PGF) oluşturun.

G(s) = \sum_{y=0}^{3} P(Y=y)s^y = 0,4 \cdot s^0 + 0 \cdot s^1 + 0,2 \cdot s^2 + 0,4 \cdot s^3 = 0,4 + 0,2s^2 + 0,4s^3

Bir bireyin soyunun tamamen tükenme olasılığını (

\pi

) bulabilmek için PGF denklemini kurmak gereklidir.

4

G(s) = s

denkleminin

[0, 1)

aralığındaki kökünü (

\pi

) bularak tek bir bireyin sönüm olasılığını hesaplayın.

0,4s^3 + 0,2s^2 - s + 0,4 = 0

(her tarafı 5 ile çarpalım)

\implies 2s^3 + s^2 - 5s + 2 = 0

.

s=1

bariz bir köktür. Polinom bölmesi

(s-1)(2s^2 + 3s - 2) = 0

sonucunu verir. Kökler:

1, 0,5, -2

. En küçük negatif olmayan kök

\pi = 0,5

(yani

\frac{1}{2}

) olarak bulunur.

Teoriye göre

\mu > 1

(süperkritik) olduğunda, sönüm olasılığı

G(s)=s

eşitliğini sağlayan

[0, 1)

aralığındaki eşsiz çözümdür.

5

Tüm sürecin (salgının) tamamen sönümlenme olasılığını hesaplayın.

P(\text{Sönüm}) = \pi^{X_0} = (0,5)^2 = 0,25 = \frac{1}{4}

Sürecin tamamen yok olması için başlangıçtaki tüm bağımsız kolların (burada 2 adet) sönümlenmesi gerekir. Olaylar bağımsız olduğundan olasılıklar çarpılır.

Anahtar Kavram

Dallanma Süreçlerinde Sönüm Olasılığı ve Olasılık Üreten Fonksiyonlar

Alternatif Yöntem

Beklenen değer hesabı iteratif koşullu beklenen değer teoremi üzerinden de doğrulanabilir:

E[X_2] = E[E[X_2|X_1]] = E[X_1 \cdot \mu] = \mu \cdot E[X_1] = \mu \cdot (X_0 \cdot \mu) = X_0 \cdot \mu^2

.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 2Soru →

Bir bilgisayar ağına sızan yeni bir zararlı yazılımın (virüsün) sistemdeki yayılımı, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Sisteme başlangıçta $1$ adet virüs bulaşmıştır ( $X_0 = 1$ ).

Her bir virüsün bir zaman birimi (nesil) sonunda sistemde bırakacağı kopyalarının (yavru virüs) sayısına ilişkin olasılık dağılımı aşağıdaki gibidir:

* $P(X=0) = \frac{1}{9}$ (Hiç kopya bırakmadan silinmesi)
* $P(X=1) = \frac{4}{9}$ (Sadece $1$ kopya bırakması)
* $P(X=2) = \frac{4}{9}$ ( $2$ kopya bırakarak çoğalması)

Buna göre, bu zararlı yazılımın 2. nesildeki beklenen kopya sayısı ( $E[X_2]$ ) ile er ya da geç sistemden tamamen yok olma olasılığı ( $\pi$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{16}{9}

ve

\frac{1}{4}

\frac{8}{3}

ve

\frac{1}{4}

\frac{16}{9}

ve

1

\frac{8}{3}

ve

1

\frac{16}{9}

ve

\frac{1}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{16}{9}$ ve $\frac{1}{4}$

Cevap

\frac{16}{9}

ve

\frac{1}{4}

değerlerini içeren seçenektir.

Dallanma sürecinde ortalama yavru sayısı

\mu = \frac{4}{3}

olarak bulunur.

n=2

için beklenen birey sayısı

\mu^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}

olmalıdır. Yok olma olasılığı

\pi

, olasılık üreten fonksiyon

G(s) = \frac{1}{9} + \frac{4}{9}s + \frac{4}{9}s^2 = s

denkleminin köklerinden en küçüğüdür. Bu denklemin kökleri

s=1

ve

s=\frac{1}{4}

olarak bulunur.

\mu > 1

olduğundan yok olma ihtimali 1'den küçüktür, bu nedenle

\pi = \frac{1}{4}

doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Bir virüsün üreteceği yavru sayısının beklenen değerini (

\mu

) hesaplayın.

\mu = E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot \frac{1}{9} + 1 \cdot \frac{4}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

Dallanma süreçlerinde n. nesildeki beklenen sayıyı ve sürecin kritiklik durumunu belirlemek için ilk neslin beklenen değeri (\mu) bulunmalıdır.

2

2. nesildeki beklenen kopya sayısını (

E[X_2]

) formülü kullanarak bulun.

E[X_2] = \mu^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}

Galton-Watson süreçlerinde n. neslin beklenen değeri

E[X_n] = X_0 \cdot \mu^n

formülü ile hesaplanır. Burada

X_0 = 1

ve

n = 2

'dir.

3

Yok olma olasılığını (

\pi

) bulmak için olasılık üreten fonksiyonu (

G(s)

) oluşturup

G(s) = s

denklemini çözün.

G(s) = \frac{1}{9} + \frac{4}{9}s + \frac{4}{9}s^2 = s \implies 4s^2 + 4s + 1 = 9s \implies 4s^2 - 5s + 1 = 0

Sistemin er ya da geç yok olma olasılığı, olasılık üreten fonksiyonun

s=G(s)

denklemini sağlayan köklerinden biridir.

4

Elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerini bulun ve uygun olanı seçin.

(4s - 1)(s - 1) = 0 \implies s = \frac{1}{4}

veya

s = 1

.

\mu = \frac{4}{3} > 1

olduğundan süreç süper kritiktir ve yok olma olasılığı

\pi < 1

olmalıdır. Bu nedenle

\pi = \frac{1}{4}

olur.

Süper kritik (\mu > 1) süreçlerde yok olma olasılığı daima 1'den küçük olan en küçük pozitif köke eşittir.

Anahtar Kavram

Galton-Watson Dallanma Süreci ve Yok Olma Olasılığı

Soru 3Soru →

Bir nükleer reaktördeki nötron çoğalması, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. $X_0 = 1$ olmak üzere, bir nötronun bir mikrosaniye içinde parçalanarak yeni nötronlar üretme olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Üretilen Nötron Sayısı ( $k$ )	$0$	$1$	$2$	$3$
Olasılık ( $p_k$ )	$1/6$	$1/3$	$1/3$	$1/6$

Buna göre, bu nötron zincirleme reaksiyonunun nihai olarak sönümlenme (yok olma) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\sqrt{13}-3}{2}

1

\frac{2}{3}

\frac{1}{6}

\frac{\sqrt{13}+3}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\sqrt{13}-3}{2}$

Cevap

Reaksiyonun nihai sönümlenme olasılığı (\sqrt{13}-3)/2 değeridir.

Sönümlenme olasılığı (\pi), yavru dağılımının olasılık çıkaran fonksiyonu (PGF) olan

G(s) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}s^2 + \frac{1}{6}s^3

ile

s

'in eşitlendiği

G(s) = s

denkleminin

[0, 1)

aralığındaki köküdür. Denklemin düzenlenmesiyle elde edilen

s^3 + 2s^2 - 4s + 1 = 0

polinomu, bilinen

s=1

kökü yardımıyla

(s-1)(s^2 + 3s - 1) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. İkinci dereceden çarpanın köklerinden olasılık tanım aralığına

(0 \leq \pi < 1)

uyan tek değer

\frac{\sqrt{13}-3}{2}

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Sürecin beklenen değerini (\mu) hesapla.

\mu = E[X] = 0(1/6) + 1(1/3) + 2(1/3) + 3(1/6) = 0 + 1/3 + 2/3 + 3/6 = 1.5

Sürecin altkritik, kritik veya süperkritik olduğunu belirlemek için ortalama yavru sayısına ihtiyaç vardır. \mu > 1 olduğu için süreç süperkritiktir ve sönümlenme olasılığı \pi < 1 olmalıdır.

2

Olasılık Çıkaran Fonksiyonu (PGF) olan G(s) denklemini kur.

G(s) = p_0 + p_1 s + p_2 s^2 + p_3 s^3 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}s^2 + \frac{1}{6}s^3

Dallanma süreçlerinde sönümlenme olasılığı (\pi), G(s) = s denkleminin [0, 1] aralığındaki en küçük köküdür.

3

G(s) = s denklemini çözmek üzere düzenle.

\frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}s^2 + \frac{1}{6}s^3 = s \Rightarrow 1 + 2s + 2s^2 + s^3 = 6s \Rightarrow s^3 + 2s^2 - 4s + 1 = 0

Kökleri bulabilmek için denklemi standart polinom formuna getirmeliyiz.

4

Polinomu çarpanlarına ayır ve kökleri bul.

s=1 her zaman bir köktür. Polinomu (s-1)'e bölersek: (s-1)(s^2 + 3s - 1) = 0 elde edilir.

Üçüncü dereceden denklemi çözmek için bilinen s=1 kökünden faydalanarak denklemi ikinci dereceye indirgeriz.

5

İkinci dereceden denklemin [0, 1) aralığındaki geçerli kökünü (\pi) tespit et.

s^2 + 3s - 1 = 0 denkleminin kökleri: s = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}. Pozitif olan \pi = \frac{\sqrt{13}-3}{2} geçerli olasılıktır.

Sönümlenme olasılığı negatif olamaz ve süperkritik süreçte 1'den küçüktür (\sqrt{13} \approx 3.6 olduğundan kök \approx 0.3'tür).

Anahtar Kavram

Galton-Watson süreçlerinde sönümlenme olasılığı ve Olasılık Çıkaran Fonksiyon (PGF)

Soru 4Soru →

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde geliştirilen özel bir bitki türünün çoğalması, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Başlangıçta ekilen tek bir tohumdan ( $X_0 = 1$ ) yetişen her bir bitkinin, bir sonraki nesil için vereceği çimlenebilir tohum sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir.

$X$ 'in olasılık dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Üretilen Tohum Sayısı ( $x$ )	Olasılık $P(X=x)$
0	$\frac{1}{4}$
1	$\frac{1}{4}$
2	$\frac{1}{2}$

Buna göre, bu özel bitki türünün soyunun nihai olarak tükenme (yok olma) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

\frac{4}{5}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2}$

Cevap

Soyun nihai olarak tükenme olasılığı

\frac{1}{2}

'dir.

Dallanma süreçlerinde soyun nihai tükenme olasılığı (

\pi

), olasılık üreteç fonksiyonunun

G(s) = s

eşitliğini sağlayan

[0, 1]

aralığındaki en küçük köküdür. Üreteç fonksiyonu

G(s) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}s + \frac{1}{2}s^2

olarak yazılıp

s

'ye eşitlendiğinde,

2s^2 - 3s + 1 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri

1

ve

\frac{1}{2}

'dir. Sürecin beklenen değeri

\mu = 1.25 > 1

(süperkritik) olduğundan tükenme kesin değildir ve tükenme olasılığı küçük kök olan

\frac{1}{2}

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Bir nesilde üretilen tohum sayısının beklenen değerini (

\mu

) hesapla.

\mu = E[X] = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} = 1.25

Sürecin kritik altı mı (

\mu \leq 1

, tükenme olasılığı = 1) yoksa süperkritik mi (

\mu > 1

, tükenme olasılığı < 1) olduğunu belirlemek için.

2

Olasılık üreteç fonksiyonunu (PGF) oluştur.

G(s) = P(X=0) + P(X=1)s + P(X=2)s^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}s + \frac{1}{2}s^2

Dallanma süreçlerinde nihai tükenme olasılığı (

\pi

),

G(s) = s

denkleminin çözümünden elde edilir.

3

G(s) = s

denklemini çöz.

\frac{1}{2}s^2 + \frac{1}{4}s + \frac{1}{4} = s \implies 2s^2 + s + 1 = 4s \implies 2s^2 - 3s + 1 = 0

Nihai tükenme olasılığı, bu denklemin

[0, 1]

aralığındaki en küçük köküdür.

4

İkinci dereceden denklemin köklerini bul.

(2s - 1)(s - 1) = 0 \implies s_1 = \frac{1}{2}, \; s_2 = 1

Kökleri belirleyip,

\mu > 1

olduğu için

1

'den küçük olan kökü nihai tükenme olasılığı olarak seçmek için.

Anahtar Kavram

Dallanma Süreçlerinde Nihai Tükenme Olasılığı ve Üreteç Fonksiyonu

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden polinomda

G(s) = s

denkleminin iki kökü olduğu ve köklerden birinin her zaman

1

olduğu bilindiğine göre, polinom bölmesi veya kökler çarpımı özelliği ile diğer kök kolayca bulunabilir: Kökler çarpımı

c/a = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}

'dir. Birinci kök 1 olduğundan, diğer kök doğrudan

\frac{1}{2}

olarak hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen bir denetim sürecinde, incelenen her bir dosya, işlem sonucunda rastgele sayıda yeni alt dosya incelenmesini gerektirmektedir. Bu durum bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir.

Başlangıçta incelenen $1$ adet dosya ( $X_0 = 1$ ) bulunmaktadır. Bir dosyanın yarattığı yeni alt dosya sayısının ( $Y$ ) olasılık dağılımı aşağıdaki gibidir:

\begin{itemize}
\item $P(Y = 0) = \frac{1}{6}$
\item $P(Y = 1) = \frac{1}{3}$
\item $P(Y = 2) = \frac{1}{2}$
\end{itemize}

Buna göre, bu denetim sürecinin er ya da geç tamamen sonlanma olasılığı ( $\pi$ ) ile 2. adımda (nesilde) incelenmesi beklenen ortalama dosya sayısı ( $E[X_2]$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{3}

ve

\frac{16}{9}

1

ve

\frac{16}{9}

\frac{1}{3}

ve

\frac{4}{3}

\frac{1}{6}

ve

\frac{16}{9}

1

ve

\frac{4}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{3}$ ve $\frac{16}{9}$

Cevap

Sürecin sonlanma olasılığı

\frac{1}{3}

ve 2. nesilde beklenen dosya sayısı

\frac{16}{9}

'dur.

Sürecin tek bir adımda üreteceği beklenen dosya sayısı

\mu = 0(\frac{1}{6}) + 1(\frac{1}{3}) + 2(\frac{1}{2}) = \frac{4}{3}

olarak bulunur.

\mu > 1

olduğu için süreç süperkritiktir ve sonlanma olasılığı (

\pi

), olasılık üreten fonksiyon

G(s) = s

denkleminin

[0,1)

aralığındaki köküdür. Denklemi kurduğumuzda:

\frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{2}s^2 = s \implies 3s^2 - 4s + 1 = 0 \implies (3s-1)(s-1)=0

olur.

\mu > 1

şartından dolayı 1'den küçük olan kök alınmalıdır, yani

\pi = \frac{1}{3}

'tür. İkinci adımda (nesilde) incelenmesi beklenen ortalama dosya sayısı ise

E[X_n] = \mu^n

formülüyle

E[X_2] = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Bir dosyanın üreteceği beklenen yeni dosya sayısını (

\mu

) hesaplamak.

\mu = E[Y] = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}

.

Sürecin dallanma karakteristiğini (süperkritik, kritik, kritikaltı) belirlemek ve beklenen değer formülünü kurabilmek için

\mu

hesaplanmalıdır.

2

Sürecin sonlanma olasılığını (

\pi

) bulmak için

G(s) = s

denklemini çözmek.

G(s) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{2}s^2 = s \implies 3s^2 - 4s + 1 = 0 \implies (3s-1)(s-1)=0

. Kökler

s_1=1

ve

s_2=\frac{1}{3}

olarak bulunur.

Dallanma süreçlerinde sonlanma olasılığı her zaman

G(s)=s

denkleminin

[0, 1]

aralığındaki en küçük köküdür.

3

\mu

'nün durumuna göre doğru kökü seçmek.

\mu = \frac{4}{3} > 1

(süperkritik süreç) olduğu için, sürecin kesin olarak sonlanmama ihtimali vardır ve sonlanma olasılığı

\pi < 1

olmak zorundadır. Dolayısıyla

\pi = \frac{1}{3}

'tür.

Süperkritik süreçlerde sonlanma olasılığı 1'den kesinlikle küçüktür.

4

2. adımdaki beklenen dosya sayısını (

E[X_2]

) hesaplamak.

E[X_n] = \mu^n

formülüne göre,

E[X_2] = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}

elde edilir.

Her nesildeki ortalama birey sayısı, başlangıçtaki birey sayısının (

X_0=1

)

\mu^n

katı olarak büyür.

Anahtar Kavram

Süperkritik Dallanma Süreçlerinde Sonlanma Olasılığı ve Olasılık Üreten Fonksiyon

Soru 6Soru →

Bir kamu araştırma projesinde her bir çalışma birimi, bir sonraki dönemde kendisinden bağımsız olarak rastgele sayıda yeni alt çalışma birimi oluşturmaktadır. Bir birimin oluşturacağı yeni birim sayısı ( $Z$ ) için olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

$z$	$P(Z=z)$
0	0,4
1	0,3
2	0,3

Başlangıçta bir adet çalışma birimi ( $X_0=1$ ) olduğu bilindiğine göre, ikinci nesildeki beklenen çalışma birimi sayısı ( $E[X_2]$ ) kaçtır?

0,60

0,81

0,90

1,80

0,729

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,81

Cevap

İkinci nesilde beklenen çalışma birimi sayısı 0,81'dir.

Dallanma süreçlerinde başlangıçta bir birim varsa,

n

. nesilde beklenen birim sayısı

E[X_n] = \mu^n

şeklinde hesaplanır. Burada

\mu

, bir birimin oluşturacağı yeni birimlerin ortalamasıdır. Hesaplama sonucunda

\mu = 0,9

bulunmuştur. İkinci nesil sorulduğu için

0,9^2 = 0,81

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yavru dağılımının beklenen değerini (

\mu = E[Z]

) hesaplayın.

\mu = (0 \times 0,4) + (1 \times 0,3) + (2 \times 0,3) = 0 + 0,3 + 0,6 = 0,9

Dallanma süreçlerinde her nesildeki değişim, tek bir birimin üreteceği ortalama birim sayısına bağlıdır.

2

Dallanma süreçleri için nesil beklenen değer formülünü uygulayın.

E[X_n] = \mu^n

formülünden

E[X_2] = 0,9^2 = 0,81

X_0 = 1

olduğunda,

n

. nesildeki beklenen değer ana kütle ortalamasının

n

. kuvvetidir.

Anahtar Kavram

Galton-Watson dallanma süreçlerinde beklenen değer hesabı ve

\mu < 1

durumu (alt-kritik süreç).

Soru 7Soru →

Bir kamu kurumunda personelin mesleki gelişimi için düzenlenen bir eğitim programında, eğitim alan her bir personelin bir sonraki dönemde gönüllü olarak eğiteceği yeni personel sayısı $Z$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. $Z$ değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

$z$	$P(Z=z)$
$0$	$0,4$
$1$	$0,3$
$2$	$0,3$

Başlangıçta bu eğitimi almış bir kişi ( $X_0=1$ ) olduğu ve dallanma sürecinin bağımsız olduğu varsayıldığında, 2. nesildeki (2. dönemdeki) beklenen personel sayısı ( $E[X_2]$ ) kaçtır?

0,81

0,90

1,80

1,00

0,40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,81$

Cevap

Başlangıçta bir kişi ile başlayan bu dallanma sürecinde 2. nesil için beklenen personel sayısı

0,81

olarak hesaplanır.

Dallanma süreçlerinde her nesil bir öncekinden bağımsız ve aynı dağılımla türediği için beklenen değer

\mu^n

formülüyle bulunur. Bu soruda

\mu = 0,9

olduğundan, ikinci nesil için

0,9^2 = 0,81

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Eğitici başına düşen ortalama yeni personel sayısı (

\mu

) hesaplanır.

\mu = E[Z] = (0 \times 0,4) + (1 \times 0,3) + (2 \times 0,3) = 0 + 0,3 + 0,6 = 0,9

Dallanma süreçlerinde temel büyüme oranı, her bir birimin ürettiği ortalama nesil sayısına bağlıdır.

2

n

. nesildeki beklenen değer formülü (

E[X_n] = \mu^n

) uygulanır.

E[X_2] = \mu^2

Galton-Watson dallanma süreçlerinde

X_0=1

ise

n

. neslin beklenen değeri, tek bir birimin beklenen değerinin

n

. kuvvetine eşittir.

3

n=2

için sayısal hesaplama yapılır.

E[X_2] = (0,9)^2 = 0,81

0,9 \times 0,9

işleminin sonucudur.

Anahtar Kavram

Dallanma süreçlerinde beklenen değerin nesiller boyunca üssel değişimi (

E[X_n] = \mu^n

)

Soru 8Soru →

Bir kamu kütüphanesinin dijital arşiv sisteminde paylaşılan bir belgenin, kullanıcılar arasındaki yayılımı bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. $X_0 = 1$ (başlangıçtaki belge sayısı) olmak üzere, her bir belgenin bir sonraki nesilde oluşturacağı yeni kopya sayısı ( $Z$ ) için olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

$z$	$P(Z=z)$
0	0,2
1	0,5
2	0,3

Buna göre, sistemdeki ikinci nesil belge sayısının beklenen değeri ( $E[X_2]$ ) kaçtır?

1,00

1,10

1,21

1,32

2,20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,21

Cevap

İkinci nesilde beklenen belge sayısı 1,21'dir.

Dallanma sürecinde her bir birimin ortalama üreme sayısı

\mu = E[Z] = 1,1

olarak hesaplanır.

n

. nesildeki beklenen değer

E[X_n] = \mu^n

formülü ile bulunduğundan, ikinci nesil için

1,1^2 = 1,21

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tek bir bireyin (belgenin) üreteceği kopya sayısının beklenen değerini (\mu) hesaplayın.

\mu = E[Z] = 0(0,2) + 1(0,5) + 2(0,3) = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1

Dallanma süreçlerinde temel büyüme oranı, her bir birimin ortalama çocuk sayısına eşittir.

2

n. nesildeki beklenen değeri veren formülü uygulayın.

E[X_n] = \mu^n

Dallanma sürecinin özelliğine göre beklenen değer, başlangıç birim sayısının ortalama çocuk sayısının n. kuvveti ile çarpılmasına eşittir (

X_0 = 1

için).

3

İkinci nesil (

n=2

) için değeri hesaplayın.

E[X_2] = (1,1)^2 = 1,21

Soruda ikinci nesil sorulduğu için birinci nesil beklenen değerinin karesi alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Galton-Watson Dallanma Sürecinde Beklenen Değer

Soru 9Soru →

Bir biyoteknoloji laboratuvarında gözlemlenen bir mikroorganizma türünün çoğalması $\{X_n, n \geq 0\}$ Galton-Watson dallanma süreci ile modellenmektedir. Süreç başlangıçta bir adet mikroorganizma ( $X_0 = 1$ ) ile başlamakta ve her bir mikroorganizma, bir sonraki nesilde kendisinden bağımsız olarak aşağıdaki olasılık kütle fonksiyonuna göre yeni yavrular üretmektedir:

Yavru Sayısı ( $k$ )	$0$	$1$	$2$
$P(X=k)$	$0,3$	$0,2$	$0,5$

Buna göre, bu dallanma sürecinde ikinci nesildeki beklenen mikroorganizma sayısı ( $E[X_2]$ ) kaçtır?

1,00

1,20

1,44

1,60

2,40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,44

Cevap

İkinci nesildeki beklenen mikroorganizma sayısı 1,44'tür.

Verilen olasılık dağılımına göre bir mikroorganizmanın bir sonraki nesle bırakacağı ortalama yavru sayısı

\mu = 1,2

olarak hesaplanır. Dallanma süreçlerinin temel özelliği gereği,

n

. nesildeki beklenen birey sayısı

E[X_n] = \mu^n

formülü ile bulunur. İkinci nesil için

n=2

olduğundan,

(1,2)^2 = 1,44

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tek bir bireyin üreteceği ortalama yavru sayısını (birinci nesil beklenen değeri) hesaplayınız.

\mu = E[X_1] = (0 \times 0,3) + (1 \times 0,2) + (2 \times 0,5) = 0 + 0,2 + 1,0 = 1,2

Dallanma süreçlerinde n. neslin beklenen değeri

\mu^n

formülüyle hesaplanır.

2

İkinci nesil beklenen değeri (

E[X_2]

) için bulunan ortalamanın karesini alınız.

E[X_2] = \mu^2 = (1,2)^2 = 1,44

X_0 = 1

olduğu durumda

E[X_n] = \mu^n

eşitliği geçerlidir.

Anahtar Kavram

Galton-Watson süreçlerinde n. neslin beklenen değeri, tek bir bireyin beklenen yavru sayısının n. kuvvetine eşittir (

E[X_n] = \mu^n

).

Daha Fazla Pratik

Aynı dağılım için sürecin yok olma olasılığını (extinction probability) bulmak üzere G(s) = s denklemini çözmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Bir Galton-Watson dallanma sürecinde, her bir bireyin bir sonraki nesilde oluşturacağı yavru sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. Başlangıçta bir birey ( $X_0 = 1$ ) ile başlayan bu sürecin bir nesil sonrasındaki yavru dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$0$	$1$	$2$
$P(X=x)$	$0,5$	$0,3$	$0,2$

Buna göre, bu dallanma sürecinin nihai olarak yok olma (soyunun tükenmesi) olasılığı kaçtır?

1

0,7

0,5

0,3

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

Dallanma sürecinin nihai yok olma olasılığı 1'dir.

Dallanma süreçlerinde, bir bireyin ortalama yavru sayısı

\mu

olarak tanımlanır. Eğer

\mu < 1

ise süreç 'alt-kritik' olarak adlandırılır ve bu durumda popülasyonun eninde sonunda yok olması kesin bir olaydır (olasılığı 1'dir). Verilen olasılık dağılımına göre

\mu = 0,7

olarak hesaplanmıştır.

0,7 < 1

olduğu için yok olma olasılığı 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Yavru dağılımının beklenen değerini (

\mu

) hesaplayınız.

\mu = E[X] = (0 \times 0,5) + (1 \times 0,3) + (2 \times 0,2) = 0 + 0,3 + 0,4 = 0,7

Bir dallanma sürecinin karakteristiğini (alt-kritik, kritik, üst-kritik) belirlemek için ortalama yavru sayısı hesaplanmalıdır.

2

Hesaplanan beklenen değeri

1

ile kıyaslayınız.

\mu = 0,7 < 1

Beklenen değerin 1'den küçük olması sürecin alt-kritik (subcritical) olduğunu gösterir.

3

Sürecin türüne göre yok olma olasılığını (

\pi

) belirleyiniz.

\pi = 1

Alt-kritik (

\mu < 1

) ve kritik (

\mu = 1

, varyans

> 0

) dallanma süreçlerinde nihai yok olma olasılığı her zaman 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Dallanma süreçlerinde yok olma olasılığı, ortalama yavru sayısına (beklenen değer) bağlıdır; eğer

\mu \leq 1

ise yok olma olasılığı 1'dir.

Daha Fazla Pratik

Eğer

\mu > 1

(üst-kritik) olsaydı, yok olma olasılığını bulmak için

G(s) = s

denkleminin

[0,1]

aralığındaki en küçük köküne bakmanız gerekecekti.

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Bir bitki koruma programında yetiştirilen nadir bir türün çoğalması bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Her bir bireyin bir sonraki nesle bırakacağı tohum (yavru) sayısının olasılık dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Yavru Sayısı ( $k$ )	$P(X=k)$
0	0,4
1	0,3
2	0,3

Sürecin bir adet birey ile başladığı ( $X_0 = 1$ ) bilindiğine göre, bu sürecin 3. neslindeki beklenen birey sayısı ( $E[X_3]$ ) kaçtır?

0,729

0,810

0,900

1,000

2,700

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,729

Cevap

Dallanma sürecinin 3. neslindeki beklenen birey sayısı

0,729

olarak hesaplanır.

Dallanma sürecinde başlangıçta tek bir birey varsa,

n

. nesildeki beklenen birey sayısı

E[X_n] = \mu^n

formülü ile bulunur. Burada

\mu

, bir bireyin ortalama yavru sayısıdır. Tabloya göre

\mu = 0(0,4) + 1(0,3) + 2(0,3) = 0,9

bulunur. 3. nesil sorulduğu için

0,9^3 = 0,729

doğru sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1

Yavru dağılımının beklenen değerini (

\mu

) hesaplayın.

\mu = (0 \times 0,4) + (1 \times 0,3) + (2 \times 0,3) = 0,9

Dallanma süreçlerinde nesiller arası büyüme oranı her bir bireyin ortalama yavru sayısına bağlıdır.

2

n

. nesil için beklenen değer formülünü (

E[X_n] = \mu^n

) uygulayın.

E[X_3] = (0,9)^3

X_0 = 1

olduğunda, nesiller bağımsız ve aynı dağılımlı olduğundan beklenti geometrik olarak artar veya azalır.

3

Üslü ifadeyi hesaplayın.

0,9 \times 0,9 \times 0,9 = 0,729

İstenen 3. nesil değerine ulaşmak için çarpma işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Galton-Watson dallanma süreçlerinde beklenen değerin geometrik ilerleyişi.

Tahmini Süre:45s

Soru 12Soru →

Bir kamu kurumunun yürüttüğü sosyal yardım projesinde, sisteme dahil olan her bir gönüllünün bir sonraki dönemde projeye kazandırdığı yeni gönüllü sayısı bir Galton-Watson dallanma süreci ile modellenmektedir. Her bir gönüllünün kazandıracağı yeni kişi sayısına ( $X$ ) ilişkin olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

$x$	$P(X=x)$
0	0,2
1	0,5
2	0,3

Başlangıçta ( $n=0$ ) sisteme dahil olan 1 gönüllü olduğu bilindiğine göre, 2. nesildeki ( $n=2$ ) beklenen gönüllü sayısı kaçtır?

1,00

1,10

1,21

1,33

2,20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,21

Cevap

İkinci nesilde beklenen gönüllü sayısı 1,21'dir.

Verilen olasılık dağılımına göre bir gönüllünün kazandıracağı ortalama kişi sayısı 1,1 olarak hesaplanır (

0 \times 0,2 + 1 \times 0,5 + 2 \times 0,3 = 1,1

). Dallanma süreçlerinde n. nesildeki beklenen birey sayısı

\mu^n

formülüyle bulunduğundan, 2. nesil için

1,1^2 = 1,21

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tek bir bireyin (gönüllünün) beklenen yavru sayısını (mu) hesaplayın.

\mu = E[X] = 0(0,2) + 1(0,5) + 2(0,3) = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1

Dallanma süreçlerinde temel büyüme katsayısı, bir bireyin oluşturacağı yeni birey sayısının beklenen değeridir.

2

n-inci nesil için beklenen değer formülünü uygulayın.

E[X_n] = \mu^n

olduğundan,

n=2

için

E[X_2] = 1,1^2 = 1,21

Galton-Watson süreçlerinde, başlangıçta 1 birey varsa, n-inci nesildeki birey sayısı başlangıç bireyinin beklentisinin n-inci kuvvetine eşittir.

Anahtar Kavram

Galton-Watson dallanma süreçlerinde n-inci neslin beklenen değeri

E[X_n] = \mu^n

formülüyle hesaplanır.

Soru 13Soru →

Bir e-ticaret platformunda başlatılan bir davet kampanyasının yayılımı, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Kampanyaya katılan her bir kullanıcı, birbirinden bağımsız olarak;
- $\%20$ olasılıkla kimseye davetiye göndermemekte,
- $\%50$ olasılıkla $1$ kişiye davetiye göndermekte,
- $\%10$ olasılıkla $2$ kişiye davetiye göndermekte,
- $\%20$ olasılıkla $3$ kişiye davetiye göndermektedir.

Başlangıçta ( $n=0$ ) kampanyayı başlatan sadece $1$ kişi ( $X_0 = 1$ ) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu kampanyanın eninde sonunda tamamen sona erme (sönümlenme) olasılığı ( $\pi$ ) ile 2. adımda (nesilde) davetiye gönderilen beklenen kişi sayısı ( $E[X_2]$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,40

ve

2,60

0,20

ve

1,69

0,50

ve

1,69

1,00

ve

1,30

0,50

ve

1,30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,50$ ve $1,69$

Cevap

0,50

ve

1,69

değerlerini içeren seçenektir.

Süreç süperkritiktir (

\mu = 1,3 > 1

), bu nedenle sönümlenme olasılığı olan

\pi

,

G(s) = 0,2 + 0,5s + 0,1s^2 + 0,2s^3 = s

denkleminin

[0, 1)

aralığındaki köküdür. Denklemin kökleri

1

,

1/2

ve

-2

olup, geçerli sönümlenme olasılığı

\pi = 0,50

'dir. 2. nesildeki beklenen birey sayısı ise

E[X_2] = \mu^2 = 1,3^2 = 1,69

formülüyle hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın beklenen değerini (

\mu

) hesapla.

\mu = 0(0,2) + 1(0,5) + 2(0,1) + 3(0,2) = 0 + 0,5 + 0,2 + 0,6 = 1,3

Sürecin kritik, alt kritik veya süper kritik olduğunu belirlemek ve ileriki nesillerin beklenen değerini bulmak için

\mu

değerine ihtiyaç vardır.

2

2. nesildeki beklenen değeri (

E[X_2]

) hesapla.

E[X_2] = \mu^2 = (1,3)^2 = 1,69

Dallanma süreçlerinde başlangıçta

1

birey (

X_0=1

) varken

n

. neslin beklenen değeri

E[X_n] = \mu^n

formülü ile bulunur.

3

Olasılık üreteç fonksiyonunu (

G(s)

) oluştur ve

G(s) = s

denklemini yaz.

G(s) = 0,2 + 0,5s + 0,1s^2 + 0,2s^3 = s

Sönümlenme (yok olma) olasılığı

\pi

, süperkritik süreçlerde

G(s) = s

denkleminin

[0, 1)

aralığındaki en küçük köküdür.

4

Oluşan kübik denklemi düzenle ve köklerini bul.

0,2s^3 + 0,1s^2 - 0,5s + 0,2 = 0 \implies 2s^3 + s^2 - 5s + 2 = 0

. Denklemin çarpanlarına ayrılmış hali

(s-1)(2s^2 + 3s - 2) = 0

'dır. Buradan kökler

s=1

,

s=1/2

,

s=-2

bulunur.

Sönümlenme olasılığı negatif olamayacağı ve

\mu > 1

olduğu için

1

'den küçük pozitif kök alınmalıdır, bu da

1/2 = 0,50

'dir.

Anahtar Kavram

Dallanma süreçlerinde üreteç fonksiyonları ve nesil beklentisi

Dallanma Süreçleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar