Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDallanma Süreçleri

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde geliştirilen özel bir bitki türünün çoğalması, bir Galton-Watson dallanma süreci {Xn,n≥0}\{X_n, n \geq 0\} ile modellenmektedir. Başlangıçta ekilen tek bir tohumdan (X0=1X_0 = 1) yetişen her bir bitkinin, bir sonraki nesil için vereceği çimlenebilir tohum sayısı XX rastgele değişkeni ile gösterilmektedir.

XX'in olasılık dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Üretilen Tohum Sayısı (xx)Olasılık P(X=x)P(X=x)
014\frac{1}{4}
114\frac{1}{4}
212\frac{1}{2}

Buna göre, bu özel bitki türünün soyunun nihai olarak tükenme (yok olma) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    14\frac{1}{4}
  2. 12\frac{1}{2}Cevap
  3. C
    34\frac{3}{4}
  4. D
    45\frac{4}{5}
  5. E
    11

Cevap

Soyun nihai olarak tükenme olasılığı 12\frac{1}{2}'dir.
Dallanma süreçlerinde soyun nihai tükenme olasılığı (π\pi), olasılık üreteç fonksiyonunun G(s)=sG(s) = s eşitliğini sağlayan [0,1][0, 1] aralığındaki en küçük köküdür. Üreteç fonksiyonu G(s)=14+14s+12s2G(s) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}s + \frac{1}{2}s^2 olarak yazılıp ss'ye eşitlendiğinde, 2s2−3s+1=02s^2 - 3s + 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 11 ve 12\frac{1}{2}'dir. Sürecin beklenen değeri μ=1.25>1\mu = 1.25 > 1 (süperkritik) olduğundan tükenme kesin değildir ve tükenme olasılığı küçük kök olan 12\frac{1}{2} değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Bir nesilde üretilen tohum sayısının beklenen değerini (μ\mu) hesapla.
μ=E[X]=0⋅14+1⋅14+2⋅12=14+1=54=1.25\mu = E[X] = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} = 1.25
Sürecin kritik altı mı (μ≤1\mu \leq 1, tükenme olasılığı = 1) yoksa süperkritik mi (μ>1\mu > 1, tükenme olasılığı < 1) olduğunu belirlemek için.
2
Olasılık üreteç fonksiyonunu (PGF) oluştur.
G(s)=P(X=0)+P(X=1)s+P(X=2)s2=14+14s+12s2G(s) = P(X=0) + P(X=1)s + P(X=2)s^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}s + \frac{1}{2}s^2
Dallanma süreçlerinde nihai tükenme olasılığı (π\pi), G(s)=sG(s) = s denkleminin çözümünden elde edilir.
3
G(s)=sG(s) = s denklemini çöz.
12s2+14s+14=s  ⟹  2s2+s+1=4s  ⟹  2s2−3s+1=0\frac{1}{2}s^2 + \frac{1}{4}s + \frac{1}{4} = s \implies 2s^2 + s + 1 = 4s \implies 2s^2 - 3s + 1 = 0
Nihai tükenme olasılığı, bu denklemin [0,1][0, 1] aralığındaki en küçük köküdür.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bul.
(2s−1)(s−1)=0  ⟹  s1=12,  s2=1(2s - 1)(s - 1) = 0 \implies s_1 = \frac{1}{2}, \; s_2 = 1
Kökleri belirleyip, μ>1\mu > 1 olduğu için 11'den küçük olan kökü nihai tükenme olasılığı olarak seçmek için.

Anahtar Kavram

Dallanma Süreçlerinde Nihai Tükenme Olasılığı ve Üreteç Fonksiyonu

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden polinomda G(s)=sG(s) = s denkleminin iki kökü olduğu ve köklerden birinin her zaman 11 olduğu bilindiğine göre, polinom bölmesi veya kökler çarpımı özelliği ile diğer kök kolayca bulunabilir: Kökler çarpımı c/a=1/41/2=12c/a = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}'dir. Birinci kök 1 olduğundan, diğer kök doğrudan 12\frac{1}{2} olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dallanma Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru