Examkin

Soru

Zorluk: ZorDallanma Süreçleri

Bir e-ticaret platformunda başlatılan bir davet kampanyasının yayılımı, bir Galton-Watson dallanma süreci {Xn,n≥0}\{X_n, n \geq 0\} ile modellenmektedir. Kampanyaya katılan her bir kullanıcı, birbirinden bağımsız olarak;
- %20\%20 olasılıkla kimseye davetiye göndermemekte,
- %50\%50 olasılıkla 11 kişiye davetiye göndermekte,
- %10\%10 olasılıkla 22 kişiye davetiye göndermekte,
- %20\%20 olasılıkla 33 kişiye davetiye göndermektedir.

Başlangıçta (n=0n=0) kampanyayı başlatan sadece 11 kişi (X0=1X_0 = 1) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu kampanyanın eninde sonunda tamamen sona erme (sönümlenme) olasılığı (π\pi) ile 2. adımda (nesilde) davetiye gönderilen beklenen kişi sayısı (E[X2]E[X_2]) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,400,40 ve 2,602,60
  2. B
    0,200,20 ve 1,691,69
  3. 0,500,50 ve 1,691,69Cevap
  4. D
    1,001,00 ve 1,301,30
  5. E
    0,500,50 ve 1,301,30

Cevap

0,500,50 ve 1,691,69 değerlerini içeren seçenektir.
Süreç süperkritiktir (μ=1,3>1\mu = 1,3 > 1), bu nedenle sönümlenme olasılığı olan π\pi, G(s)=0,2+0,5s+0,1s2+0,2s3=sG(s) = 0,2 + 0,5s + 0,1s^2 + 0,2s^3 = s denkleminin [0,1)[0, 1) aralığındaki köküdür. Denklemin kökleri 11, 1/21/2 ve −2-2 olup, geçerli sönümlenme olasılığı π=0,50\pi = 0,50'dir. 2. nesildeki beklenen birey sayısı ise E[X2]=μ2=1,32=1,69E[X_2] = \mu^2 = 1,3^2 = 1,69 formülüyle hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımın beklenen değerini (μ\mu) hesapla.
μ=0(0,2)+1(0,5)+2(0,1)+3(0,2)=0+0,5+0,2+0,6=1,3\mu = 0(0,2) + 1(0,5) + 2(0,1) + 3(0,2) = 0 + 0,5 + 0,2 + 0,6 = 1,3
Sürecin kritik, alt kritik veya süper kritik olduğunu belirlemek ve ileriki nesillerin beklenen değerini bulmak için μ\mu değerine ihtiyaç vardır.
2
2. nesildeki beklenen değeri (E[X2]E[X_2]) hesapla.
E[X2]=μ2=(1,3)2=1,69E[X_2] = \mu^2 = (1,3)^2 = 1,69
Dallanma süreçlerinde başlangıçta 11 birey (X0=1X_0=1) varken nn. neslin beklenen değeri E[Xn]=μnE[X_n] = \mu^n formülü ile bulunur.
3
Olasılık üreteç fonksiyonunu (G(s)G(s)) oluştur ve G(s)=sG(s) = s denklemini yaz.
G(s)=0,2+0,5s+0,1s2+0,2s3=sG(s) = 0,2 + 0,5s + 0,1s^2 + 0,2s^3 = s
Sönümlenme (yok olma) olasılığı π\pi, süperkritik süreçlerde G(s)=sG(s) = s denkleminin [0,1)[0, 1) aralığındaki en küçük köküdür.
4
Oluşan kübik denklemi düzenle ve köklerini bul.
0,2s3+0,1s2−0,5s+0,2=0  ⟹  2s3+s2−5s+2=00,2s^3 + 0,1s^2 - 0,5s + 0,2 = 0 \implies 2s^3 + s^2 - 5s + 2 = 0. Denklemin çarpanlarına ayrılmış hali (s−1)(2s2+3s−2)=0(s-1)(2s^2 + 3s - 2) = 0'dır. Buradan kökler s=1s=1, s=1/2s=1/2, s=−2s=-2 bulunur.
Sönümlenme olasılığı negatif olamayacağı ve μ>1\mu > 1 olduğu için 11'den küçük pozitif kök alınmalıdır, bu da 1/2=0,501/2 = 0,50'dir.

Anahtar Kavram

Dallanma süreçlerinde üreteç fonksiyonları ve nesil beklentisi
Bu soruyu puanla

Konular

Dallanma Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru