Examkin

Soru

Zorluk: KolayDallanma Süreçleri

Bir biyoteknoloji laboratuvarında gözlemlenen bir mikroorganizma türünün çoğalması {Xn,n≥0}\{X_n, n \geq 0\} Galton-Watson dallanma süreci ile modellenmektedir. Süreç başlangıçta bir adet mikroorganizma (X0=1X_0 = 1) ile başlamakta ve her bir mikroorganizma, bir sonraki nesilde kendisinden bağımsız olarak aşağıdaki olasılık kütle fonksiyonuna göre yeni yavrular üretmektedir:

Yavru Sayısı (kk)001122
P(X=k)P(X=k)0,30,30,20,20,50,5

Buna göre, bu dallanma sürecinde ikinci nesildeki beklenen mikroorganizma sayısı (E[X2]E[X_2]) kaçtır?

  1. A
    1,00
  2. B
    1,20
  3. 1,44Cevap
  4. D
    1,60
  5. E
    2,40

Cevap

İkinci nesildeki beklenen mikroorganizma sayısı 1,44'tür.
Verilen olasılık dağılımına göre bir mikroorganizmanın bir sonraki nesle bırakacağı ortalama yavru sayısı μ=1,2\mu = 1,2 olarak hesaplanır. Dallanma süreçlerinin temel özelliği gereği, nn. nesildeki beklenen birey sayısı E[Xn]=μnE[X_n] = \mu^n formülü ile bulunur. İkinci nesil için n=2n=2 olduğundan, (1,2)2=1,44(1,2)^2 = 1,44 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir bireyin üreteceği ortalama yavru sayısını (birinci nesil beklenen değeri) hesaplayınız.
μ=E[X1]=(0×0,3)+(1×0,2)+(2×0,5)=0+0,2+1,0=1,2\mu = E[X_1] = (0 \times 0,3) + (1 \times 0,2) + (2 \times 0,5) = 0 + 0,2 + 1,0 = 1,2
Dallanma süreçlerinde n. neslin beklenen değeri μn\mu^n formülüyle hesaplanır.
2
İkinci nesil beklenen değeri (E[X2]E[X_2]) için bulunan ortalamanın karesini alınız.
E[X2]=μ2=(1,2)2=1,44E[X_2] = \mu^2 = (1,2)^2 = 1,44
X0=1X_0 = 1 olduğu durumda E[Xn]=μnE[X_n] = \mu^n eşitliği geçerlidir.

Anahtar Kavram

Galton-Watson süreçlerinde n. neslin beklenen değeri, tek bir bireyin beklenen yavru sayısının n. kuvvetine eşittir (E[Xn]=μnE[X_n] = \mu^n).

Daha Fazla Pratik

Aynı dağılım için sürecin yok olma olasılığını (extinction probability) bulmak üzere G(s) = s denklemini çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Dallanma Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru