Examkin

Soru

Zorluk: KolayDallanma Süreçleri

Bir kamu kütüphanesinin dijital arşiv sisteminde paylaşılan bir belgenin, kullanıcılar arasındaki yayılımı bir Galton-Watson dallanma süreci {Xn,n≥0}\{X_n, n \geq 0\} ile modellenmektedir. X0=1X_0 = 1 (başlangıçtaki belge sayısı) olmak üzere, her bir belgenin bir sonraki nesilde oluşturacağı yeni kopya sayısı (ZZ) için olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

zzP(Z=z)P(Z=z)
00,2
10,5
20,3

Buna göre, sistemdeki ikinci nesil belge sayısının beklenen değeri (E[X2]E[X_2]) kaçtır?

  1. A
    1,00
  2. B
    1,10
  3. 1,21Cevap
  4. D
    1,32
  5. E
    2,20

Cevap

İkinci nesilde beklenen belge sayısı 1,21'dir.
Dallanma sürecinde her bir birimin ortalama üreme sayısı μ=E[Z]=1,1\mu = E[Z] = 1,1 olarak hesaplanır. nn. nesildeki beklenen değer E[Xn]=μnE[X_n] = \mu^n formülü ile bulunduğundan, ikinci nesil için 1,12=1,211,1^2 = 1,21 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir bireyin (belgenin) üreteceği kopya sayısının beklenen değerini (\mu) hesaplayın.
μ=E[Z]=0(0,2)+1(0,5)+2(0,3)=0+0,5+0,6=1,1\mu = E[Z] = 0(0,2) + 1(0,5) + 2(0,3) = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1
Dallanma süreçlerinde temel büyüme oranı, her bir birimin ortalama çocuk sayısına eşittir.
2
n. nesildeki beklenen değeri veren formülü uygulayın.
E[Xn]=μnE[X_n] = \mu^n
Dallanma sürecinin özelliğine göre beklenen değer, başlangıç birim sayısının ortalama çocuk sayısının n. kuvveti ile çarpılmasına eşittir (X0=1X_0 = 1 için).
3
İkinci nesil (n=2n=2) için değeri hesaplayın.
E[X2]=(1,1)2=1,21E[X_2] = (1,1)^2 = 1,21
Soruda ikinci nesil sorulduğu için birinci nesil beklenen değerinin karesi alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Galton-Watson Dallanma Sürecinde Beklenen Değer
Bu soruyu puanla

Konular

Dallanma Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru