Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri

Bir kamu kurumunun evrak kayıt bölümünde tek bir vezne (M/M/1 modeli) bulunmaktadır. Bu vezneye başvurular Poisson dağılımına uygun olarak 15 dakikada ortalama 3 kişi olacak şekilde gelmektedir. Veznedeki memurun bir kişiye hizmet verme süresi üstel dağılıma sahip olup ortalama 4 dakikadır.

Buna göre, sistemde kararlı durum (steady-state) sağlandığında, kuyrukta bekleyen beklenen (ortalama) kişi sayısı (LqL_q) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,05
  2. B
    0,80
  3. 3,20Cevap
  4. D
    4,00
  5. E
    16,0

Cevap

Sistem saatlik bazda değerlendirildiğinde λ=12\lambda=12 ve μ=15\mu=15 olur. Buradan kuyrukta bekleyen kişi sayısı 3,20 olarak bulunur.
Doğru sonuca ulaşmak için öncelikle verilen oranların aynı zaman dilimine (örneğin 1 saat) çekilmesi gerekir. 15 dakikada 3 kişi geliyorsa saatte λ=12\lambda = 12 kişi gelir. Hizmet süresi 4 dakika ise saatte μ=60/4=15\mu = 60/4 = 15 kişiye hizmet verilir. Trafik yoğunluğu ρ=λ/μ=12/15=0,80\rho = \lambda/\mu = 12/15 = 0,80 olarak bulunur. M/M/1 modelinde kuyrukta bekleyen kişi sayısı formülü Lq=ρ2/(1−ρ)L_q = \rho^2 / (1-\rho) olduğundan, 0,82/(1−0,8)=0,64/0,2=3,200,8^2 / (1-0,8) = 0,64 / 0,2 = 3,20 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geliş hızını (λ\lambda) ve hizmet hızını (μ\mu) aynı zaman birimine (saat) dönüştürün.
λ=3×4=12\lambda = 3 \times 4 = 12 kişi/saat. μ=60/4=15\mu = 60 / 4 = 15 kişi/saat.
Kuyruk teorisi formüllerinin doğru sonuç vermesi için oranların (oran parametrelerinin) aynı zaman ölçüsünde ifade edilmesi zorunludur.
2
Sistemin kullanım oranını (trafik yoğunluğu, ρ\rho) hesaplayın.
ρ=λμ=1215=0,80\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{12}{15} = 0,80.
Kararlı durumda sistemin doluluk oranı, beklenen değer formüllerinin temel bileşenidir.
3
M/M/1 modeli için kuyrukta bekleyen ortalama kişi sayısı (LqL_q) formülünü uygulayın.
Lq=λ2μ(μ−λ)=ρ21−ρ=0,821−0,8=0,640,20=3,20L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} = \frac{\rho^2}{1 - \rho} = \frac{0,8^2}{1 - 0,8} = \frac{0,64}{0,20} = 3,20.
Sistemdeki toplam kişiden (LL) hizmet alan kişiyi çıkardığımızda (L−ρL - \rho) veya doğrudan LqL_q formülünü kullandığımızda kuyruktaki kişi sayısını buluruz.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modelinde Temel Performans Ölçütleri

Alternatif Yöntem

Problemi Little Teoremi adımlarını takip ederek de çözebiliriz: Önce sistemde geçirilen toplam süreyi bulalım: W=1/(μ−λ)=1/(15−12)=1/3W = 1 / (\mu - \lambda) = 1 / (15 - 12) = 1/3 saat. Kuyrukta bekleme süresi, toplam süreden hizmet süresinin çıkarılmasıyla bulunur: Wq=W−1/μ=1/3−1/15=4/15W_q = W - 1/\mu = 1/3 - 1/15 = 4/15 saat. Little Teoremi'ne göre kuyruk uzunluğu Lq=λ×WqL_q = \lambda \times W_q olduğundan, 12×(4/15)=48/15=3,2012 \times (4/15) = 48 / 15 = 3,20 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kuyruk (Bekleme Hattı) Modelleri

Bu konudan daha fazla soru