Stokastik Süreçler Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 8

Soru 141Soru →

Bir Gümrük ve Dış Ticaret Bölge Müdürlüğünün ithalat beyannamesi onay veznesinde tek bir memur görev yapmaktadır (M/M/1 modeli). Bu vezneye gelen onay talepleri Poisson sürecine uygun olup, vezneye saatte ortalama $8$ beyanname gelmektedir. Vezne memurunun bir beyannameyi inceleyip onaylama süresi üstel dağılıma uymakta olup, memur saatte ortalama $10$ beyannameye hizmet verebilmektedir.

Buna göre, onay için vezneye gelmiş ancak henüz memur tarafından işlemi başlatılmamış (kuyrukta bekleyen) ortalama beyanname sayısı kaçtır?

0,4

0,5

0,8

3,2

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3,2$

Cevap

Kuyrukta bekleyen ortalama beyanname sayısı

3,2

'dir.

Soruda, vezneye gelmiş ancak henüz işlemi başlamamış ortalama beyanname sayısı sorulmaktadır. Bu tanım, kuyruk teorisinde '

L_q

' (kuyrukta bekleyen ortalama birim sayısı) metriğine karşılık gelir. Verilenlere göre varış hızı

\lambda = 8

ve hizmet hızı

\mu = 10

'dur. M/M/1 modelinde bu metrik

L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)}

formülü ile hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda,

L_q = \frac{8^2}{10(10 - 8)} = \frac{64}{10 \times 2} = \frac{64}{20} = 3,2

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sistem parametrelerini (varış hızı ve hizmet hızı) belirle.

Varış hızı

\lambda = 8

beyanname/saat, hizmet hızı

\mu = 10

beyanname/saat.

Kuyruk modellerinde tüm performans ölçütleri bu iki temel parametre üzerinden hesaplanır.

2

Soruda istenen performans ölçütünün notasyonunu tespit et.

Soruda 'kuyrukta bekleyen ortalama birim sayısı' sorulduğu için hesaplanması gereken değer

L_q

'dur.

Farklı metrikleri (sistemdeki sayı

L

, kuyruk süresi

W_q

vb.) birbirine karıştırmamak için doğru formülü seçmek gerekir.

3

L_q

formülünü kullanarak matematiksel işlemi gerçekleştir.

L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} = \frac{8^2}{10(10 - 8)} = \frac{64}{20} = 3,2

Tek kanallı (M/M/1) kuyruk modelinde bekleyen ortalama müşteri sayısını veren bağıntı uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modelinde Performans Ölçütleri

Alternatif Yöntem

Little Kanunu ve sistem uzunluğu kullanılarak pratik bir doğrulama yapılabilir. Sistemin meşguliyet oranı

\rho = \frac{8}{10} = 0,8

bulunur. Sistemdeki ortalama birim sayısı

L = \frac{\rho}{1 - \rho} = \frac{0,8}{0,2} = 4

tür. Kuyrukta bekleyen birim sayısı ise doğrudan

L_q = L - \rho = 4 - 0,8 = 3,2

işlemiyle kolayca bulunabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 142Soru →

\{W(t), t \geq 0\}

standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olmak üzere,

X = W(9) - W(4)

Y = W(7) - W(2)

rastgele değişkenleri tanımlanıyor.

Buna göre, $X$ ile $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans, $Cov(X, Y)$ değeri kaçtır?

0

2

3

5

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru değer 3'tür.

Kovaryans işlemi doğrusal bir işlemdir. İfade açıldığında

Cov(W(9), W(7)) - Cov(W(9), W(2)) - Cov(W(4), W(7)) + Cov(W(4), W(2))

elde edilir. Wiener süreci özelliği gereği

Cov(W(s), W(t)) = \min(s, t)

olduğundan, bu değer

7 - 2 - 4 + 2 = 3

olarak hesaplanır. Pratik ve sezgisel bir yaklaşımla; iki artışın zaman ekseninde örtüştüğü bölge

(4, 7)

aralığıdır. Ortak varyansı bu örtüşen kısmın uzunluğu belirler, bu da doğrudan

7 - 4 = 3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Standart Wiener süreci için genel kovaryans formülünü hatırlayın.

Cov(W(s), W(t)) = \min(s, t)

Wiener sürecinin temel özelliklerinden biri, beklenen değerin sıfır ve kovaryansın zamanların minimumu olmasıdır.

2

İstenen kovaryans ifadesini bilineer (doğrusal) dağılma özelliğini kullanarak açın.

Cov(W(9) - W(4), W(7) - W(2)) = Cov(W(9), W(7)) - Cov(W(9), W(2)) - Cov(W(4), W(7)) + Cov(W(4), W(2))

Kovaryans operatörü her iki argümanına göre de doğrusaldır.

3

Minimum formülünü kullanarak elde edilen her bir kovaryans teriminin değerini hesaplayın.

\min(9,7) - \min(9,2) - \min(4,7) + \min(4,2) = 7 - 2 - 4 + 2

Açılımdaki her bir

Cov(W(s),W(t))

ifadesi sayısal karşılığına dönüştürülür.

4

Aritmetik işlemi tamamlayıp nihai sonucu bulun.

7 - 2 - 4 + 2 = 3

Değerlerin cebirsel toplamı istenen kovaryans değerini verir.

Anahtar Kavram

Standart Wiener sürecinde artışların bağımsızlığı ve kovaryans hesabı

Soru 143Soru →

Finansal bir modellemede varlık fiyatlarının logaritmik getirileri standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) $\{W(t), t \geq 0\}$ ile modellenmektedir.

Farklı zaman noktalarındaki süreç değerlerinin karelerinin birlikte nasıl değiştiğini incelemek için, $t_1 = 2$ ve $t_2 = 5$ anları temel alınmıştır.

Buna göre,

E[W(2)^2 W(5)^2]

beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

6

10

14

18

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İki farklı zaman noktasındaki karelerin beklenen değeri 18'dir.

Standart Wiener sürecinde artışlar bağımsızdır ve her bir artış normal dağılıma sahiptir.

E[W(2)^2 W(5)^2]

değeri hesaplanırken

W(5)

rastgele değişkeni bağımsız artış formunda

W(2) + (W(5)-W(2))

olarak ifade edilir. Yerine konulup karesi açıldığında ifade

E[W(2)^2 (W(5)-W(2))^2] + E[W(2)^4]

şekline dönüşür (çapraz terim olan artışın beklenen değeri sıfır olduğu için sadeleşir).

W(2) \sim N(0, 2)

ve

W(5)-W(2) \sim N(0, 3)

olduğu bilindiğinden

E[W(2)^2] = 2

,

E[(W(5)-W(2))^2] = 3

ve dördüncü moment formülünden

E[W(2)^4] = 3(2^2) = 12

olarak bulunur. Tüm veriler toplandığında

2 \times 3 + 12 = 18

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

W(5)

sürecini bağımsız artışlar özelliğini kullanabilmek için

W(2)

ve

W(5)-W(2)

cinsinden yazın.

E[W(2)^2 W(5)^2] = E[W(2)^2 ( (W(5)-W(2)) + W(2) )^2]

Wiener sürecinde kesişmeyen zaman aralıklarındaki artışlar birbirinden bağımsızdır.

2

Parantez içindeki kare ifadesini açın ve beklenen değeri terimlere dağıtın.

E[W(2)^2 (W(5)-W(2))^2] + 2E[W(2)^3 (W(5)-W(2))] + E[W(2)^4]

Beklenen değerin doğrusallığı gereği toplamın beklenen değeri, beklenen değerlerin toplamına eşittir.

3

Bağımsızlık özelliğini kullanarak çarpımların beklenen değerlerini ayırın.

E[W(2)^2]E[(W(5)-W(2))^2] + 2E[W(2)^3]E[W(5)-W(2)] + E[W(2)^4]

W(2)

ile

W(5)-W(2)

bağımsız olduğundan, çarpımlarının beklenen değeri, beklenen değerlerinin çarpımına eşittir.

4

Standart normal dağılımın momentlerini kullanarak hesaplamayı tamamlayın.

(2 \times 3) + 0 + (3 \times 2^2) = 6 + 12 = 18

W(t) \sim N(0, t)

olduğundan

E[W(2)^2] = 2

,

E[W(2)^4] = 3(2^2) = 12

ve

W(5)-W(2) \sim N(0, 3)

olduğundan

E[(W(5)-W(2))^2] = 3

'tür.

Anahtar Kavram

Wiener Sürecinde Bağımsız Artışlar ve Ortak Momentler

Alternatif Yöntem

İki değişkenli ortak normal dağılıma sahip

X

ve

Y

rastgele değişkenleri için dördüncü moment formülü olan

E[X^2 Y^2] = \text{Var}(X)\text{Var}(Y) + 2[\text{Cov}(X,Y)]^2

eşitliği kullanılarak doğrudan

(2 \times 5) + 2 \times (2)^2 = 10 + 8 = 18

sonucuna pratik şekilde ulaşılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 144Soru →

Standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) $\{W(t), t \ge 0\}$ olarak verilmiştir. Bu sürecin $0$ ile $t$ zaman aralığındaki integralini temsil eden

Y(t) = \int_{0}^{t} W(s) ds

rastgele değişkeni tanımlanıyor.

Buna göre, $Y(t)$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı ve varyansı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Normal dağılım,

\frac{t^3}{3}

Normal dağılım,

\frac{t^2}{2}

Normal dağılım,

\frac{t^3}{6}

Lognormal dağılım,

\frac{t^3}{3}

Normal dağılım,

t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Normal dağılım, $\frac{t^3}{3}$

Cevap

Rastgele değişken Normal dağılıma sahiptir ve varyansı

\frac{t^3}{3}

olarak hesaplanır.

Wiener sürecinin integrali yine normal dağılımlı bir rastgele değişken oluşturur.

Y(t)

'nin beklenen değeri 0'dır. Varyans hesabı yapılırken

E[(\int W(u)du)(\int W(v)dv)]

açılımı kullanılır. Bu ifade

\int \int E[W(u)W(v)] du dv

şekline dönüşür.

E[W(u)W(v)] = \min(u,v)

olduğu için çift katlı integral alındığında sonuç

\frac{t^3}{3}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Y(t)'nin Dağılım Türünün Belirlenmesi

Normal Dağılım

Wiener sürecinin yörüngelerinin integrali, (Riemann toplamının limiti olarak) ardışık bağımsız ve normal dağılımlı artışların bir lineer kombinasyonudur. Normal rastgele değişkenlerin lineer kombinasyonu da daima normal dağıldığı için, Y(t) Normal dağılıma sahiptir.

2

Varyans Hesabı İçin Beklenen Değer Formülünün Kurulması

Var(Y(t)) = E[Y(t)^2] = \int_0^t \int_0^t E[W(u)W(v)] du dv

E[W(s)]=0

olduğu için

E[Y(t)]=0

'dır. Varyans doğrudan

Y(t)

'nin karesinin beklenen değerine eşittir. İntegralin karesi, iki ayrı değişkenle (u ve v) çift katlı integrale dönüştürülür.

3

Kovaryansın İntegrale Yerleştirilmesi ve Hesaplanması

2 \int_0^t \int_0^v u \, du \, dv = \frac{t^3}{3}

E[W(u)W(v)] = Cov(W(u), W(v)) = \min(u, v)

eşitliği kullanılır. Bölge simetrik olduğundan, integral

u < v

üçgensel bölgesi üzerinde hesaplanıp 2 ile çarpılır. İç integral

u

'ya göre

v^2/2

, dış integral

v

'ye göre hesaplandığında sonuç

t^3/3

çıkar.

Anahtar Kavram

Wiener Süreci İntegralinin Dağılımı ve Varyansı

Alternatif Yöntem

Varyans hesabı için stokastik analizde (Ito İzometrisi yaklaşımıyla) bilinen

\int_0^t W(s) ds = t W(t) - \int_0^t s dW(s)

kısmi integrasyon formülü kullanılarak da doğrudan varyans bulunabilir. Bu durumda deterministik integraller bağımsız artışlar şeklinde düşünülebilir:

Var(Y(t)) = Var(\int_0^t (t-s) dW(s)) = \int_0^t (t-s)^2 ds = \frac{t^3}{3}

çok daha pratik bir şekilde elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 145Soru →

Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı, önemli bir otoyol köprüsündeki günlük trafik akış durumunu bir Markov zinciri ile modellemektedir. Köprünün trafik durumu üç sınıfa ayrılmıştır: 1 (Akıcı), 2 (Yoğun) ve 3 (Tıkalı).

Günlük geçiş olasılık matrisi

P

aşağıdaki gibi belirlenmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.3 & 0.6 & 0.1 \\ 0.2 & 0.4 & 0.4 \end{bmatrix}

Buna göre, bu köprünün uzun dönemde (kararlı durumda) 'Tıkalı' (durum 3) olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{6}

\frac{1}{5}

\frac{1}{7}

\frac{8}{21}

\frac{10}{21}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{7}$

Cevap

Köprünün uzun dönemde 'Tıkalı' (durum 3) olma olasılığı

\frac{1}{7}

değeridir.

Kararlı durum (sınır) olasılıkları

\pi P = \pi

ve

\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1

denklemleri birlikte çözülerek bulunur. 3. duruma ait matris denklemi

\pi_3 = 0.1\pi_1 + 0.1\pi_2 + 0.4\pi_3

şeklindedir. Bu eşitlik düzenlendiğinde

0.6\pi_3 = 0.1(\pi_1 + \pi_2)

ve buradan da

6\pi_3 = \pi_1 + \pi_2

elde edilir. Toplam olasılık kuralı gereği

\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1

olmalıdır. Bulunan

6\pi_3

değeri bu denklemde yerine konulduğunda

7\pi_3 = 1

ve dolayısıyla

\pi_3 = \frac{1}{7}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kararlı durum olasılıkları için

\pi P = \pi

ve

\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1

denklem sistemini kurun.

Matris çarpımından

\pi_3 = 0.1\pi_1 + 0.1\pi_2 + 0.4\pi_3

eşitliği elde edilir.

Sınır olasılıkları, geçiş matrisi ile çarpıldığında değişmeyen kararlı durum vektörünü temsil eder.

2

Elde edilen 3. durum denklemini sadeleştirerek

\pi_1

ve

\pi_2

cinsinden ifade edin.

\pi_3 - 0.4\pi_3 = 0.1(\pi_1 + \pi_2) \Rightarrow 0.6\pi_3 = 0.1(\pi_1 + \pi_2) \Rightarrow 6\pi_3 = \pi_1 + \pi_2

bulunur.

Normalizasyon denklemini tek bilinmeyenli hale getirmek için değişkenler arasında oransal ilişki kurulmalıdır.

3

Bulunan eşitliği

\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1

normalizasyon kuralında yerine yazın.

6\pi_3 + \pi_3 = 1 \Rightarrow 7\pi_3 = 1 \Rightarrow \pi_3 = \frac{1}{7}

olarak hesaplanır.

Sistemin herhangi bir anda mutlaka bu üç durumdan birinde bulunması gerektiği için olasılıklar toplamı 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıklarının Hesaplanması

Soru 146Soru →

Bir kamu hizmet merkezindeki işlem bankosunun çalışma durumu, $S = \{0, 1\}$ durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi (infinitesimal generator matrix) $Q$ aşağıda verilmiştir:

Q = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}

Buna göre, bu sürecin kararlı durumunda (stationary distribution) bankonun boş (durum 0) olma olasılığı kaçtır?

0,20

0,40

0,50

0,60

0,75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,60

Cevap

Bankonun boş olma olasılığı 0,60 olarak hesaplanır.

Verilen üreteç matrisine göre denge denklemi

-2P_0 + 3P_1 = 0

şeklindedir. Bu denklemden

P_1 = \frac{2}{3}P_0

ilişkisi bulunur. Toplam olasılık kuralı olan

P_0 + P_1 = 1

denkleminde bu ilişki yerine yazıldığında

P_0 + \frac{2}{3}P_0 = 1

elde edilir. Buradan

\frac{5}{3}P_0 = 1

ve sonuç olarak

P_0 = 0,6

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kararlı durum denklemlerini (

P \cdot Q = 0

) ve normalizasyon şartını (

P_0 + P_1 = 1

) belirlemek.

-2P_0 + 3P_1 = 0

ve

P_0 + P_1 = 1

denklemleri elde edilir.

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde kararlı durum olasılıkları, üreteç matrisi ile olasılık vektörünün çarpımının sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.

2

Denge denkleminden bir değişkeni diğeri cinsinden yazmak.

3P_1 = 2P_0 \Rightarrow P_1 = \frac{2}{3}P_0

.

İki bilinmeyenli sistemi çözebilmek için değişkenler arası ilişki kurulur.

3

Değişkeni normalizasyon denkleminde yerine koyarak çözmek.

P_0 + \frac{2}{3}P_0 = 1 \Rightarrow \frac{5}{3}P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{3}{5} = 0,6

.

Toplam olasılığın 1 olması gerektiği kuralı ile kesin sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde kararlı durum olasılıkları, denge denklemleri (

P \cdot Q = 0

) ve toplam olasılık kuralı kullanılarak hesaplanır.

Tahmini Süre:45s

Soru 147Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt servisine gelen dilekçelerin varışları, saatte ortalama $\lambda = 4$ dilekçe olan bir Poisson süreci $\{N(t), t \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Buna göre, sisteme ulaşan ardışık iki dilekçe arasında geçen sürenin beklenen değeri kaç dakikadır?

4

15

1/4

16

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15$

Cevap

Ardışık iki dilekçe arasında geçen sürenin beklenen değeri

15

dakikadır.

Doğru cevap, Poisson sürecinin temel bir özelliği olan olaylar arası sürenin (interarrival time) Üstel dağılım göstermesine dayanır. Oranı

\lambda = 4

olan bu süreçte, ardışık iki dilekçe arasındaki sürenin beklenen değeri

1/\lambda = 1/4

saattir. Bu değer dakikaya çevrildiğinde

15

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson süreci ile gelişler arası süre arasındaki ilişkinin belirlenmesi

Gelişler arası süre

T \sim \text{Üstel}(\lambda)

Oranı

\lambda

olan bir Poisson sürecinde, ardışık iki olay arasındaki süre parametresi

\lambda

olan Üstel dağılıma sahiptir.

2

Beklenen değer formülünün uygulanması

E[T] = 1/\lambda = 1/4

saat

Üstel dağılımın beklenen değeri oran parametresinin tersine (

1/\lambda

) eşittir.

3

Zaman biriminin dönüştürülmesi

(1/4) \times 60 = 15

dakika

Soru kökünde sonucun dakika cinsinden ifade edilmesi istenmiştir;

1

saat

60

dakikadır.

Anahtar Kavram

Poisson sürecinde ardışık iki olay arasındaki sürenin (interarrival time) beklenen değeri

1/\lambda

formülü ile bulunur.

Stokastik Süreçler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar