Stokastik Süreçler Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 7

Soru 121Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt bölümünde tek bir vezne (M/M/1 modeli) bulunmaktadır. Bu vezneye başvurular Poisson dağılımına uygun olarak 15 dakikada ortalama 3 kişi olacak şekilde gelmektedir. Veznedeki memurun bir kişiye hizmet verme süresi üstel dağılıma sahip olup ortalama 4 dakikadır.

Buna göre, sistemde kararlı durum (steady-state) sağlandığında, kuyrukta bekleyen beklenen (ortalama) kişi sayısı ( $L_q$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,05

0,80

3,20

4,00

16,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,20

Cevap

Sistem saatlik bazda değerlendirildiğinde

\lambda=12

ve

\mu=15

olur. Buradan kuyrukta bekleyen kişi sayısı 3,20 olarak bulunur.

Doğru sonuca ulaşmak için öncelikle verilen oranların aynı zaman dilimine (örneğin 1 saat) çekilmesi gerekir. 15 dakikada 3 kişi geliyorsa saatte

\lambda = 12

kişi gelir. Hizmet süresi 4 dakika ise saatte

\mu = 60/4 = 15

kişiye hizmet verilir. Trafik yoğunluğu

\rho = \lambda/\mu = 12/15 = 0,80

olarak bulunur. M/M/1 modelinde kuyrukta bekleyen kişi sayısı formülü

L_q = \rho^2 / (1-\rho)

olduğundan,

0,8^2 / (1-0,8) = 0,64 / 0,2 = 3,20

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Geliş hızını (

\lambda

) ve hizmet hızını (

\mu

) aynı zaman birimine (saat) dönüştürün.

\lambda = 3 \times 4 = 12

kişi/saat.

\mu = 60 / 4 = 15

kişi/saat.

Kuyruk teorisi formüllerinin doğru sonuç vermesi için oranların (oran parametrelerinin) aynı zaman ölçüsünde ifade edilmesi zorunludur.

2

Sistemin kullanım oranını (trafik yoğunluğu,

\rho

) hesaplayın.

\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{12}{15} = 0,80

.

Kararlı durumda sistemin doluluk oranı, beklenen değer formüllerinin temel bileşenidir.

3

M/M/1 modeli için kuyrukta bekleyen ortalama kişi sayısı (

L_q

) formülünü uygulayın.

L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} = \frac{\rho^2}{1 - \rho} = \frac{0,8^2}{1 - 0,8} = \frac{0,64}{0,20} = 3,20

.

Sistemdeki toplam kişiden (

L

) hizmet alan kişiyi çıkardığımızda (

L - \rho

) veya doğrudan

L_q

formülünü kullandığımızda kuyruktaki kişi sayısını buluruz.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modelinde Temel Performans Ölçütleri

Alternatif Yöntem

Problemi Little Teoremi adımlarını takip ederek de çözebiliriz: Önce sistemde geçirilen toplam süreyi bulalım:

W = 1 / (\mu - \lambda) = 1 / (15 - 12) = 1/3

saat. Kuyrukta bekleme süresi, toplam süreden hizmet süresinin çıkarılmasıyla bulunur:

W_q = W - 1/\mu = 1/3 - 1/15 = 4/15

saat. Little Teoremi'ne göre kuyruk uzunluğu

L_q = \lambda \times W_q

olduğundan,

12 \times (4/15) = 48 / 15 = 3,20

sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 122Soru →

$\{W(t), t \geq 0\}$ standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olmak üzere, sürecin $t=2$ anındaki değeri $W(2) = 4$ ve $t=5$ anındaki değeri $W(5) = 1$ olarak gözlemlenmiştir.

Buna göre, verilen bu gözlemler altında sürecin $t=3$ anındaki değeri olan $W(3)$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

4

ve

1

3

ve

1

3

ve

\frac{2}{3}

2,5

ve

3

1

ve

\frac{2}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$ ve $\frac{2}{3}$

Cevap

Beklenen değer

3

, varyans

\frac{2}{3}

olmalıdır.

Bu soruda Wiener sürecinin (Kahverengi hareket) bilinen iki noktası arasında kalan bir noktanın koşullu dağılımı sorulmaktadır, bu yapı literatürde Brownian köprüsü olarak adlandırılır.

s < t < u

olmak üzere,

W(s)=a

ve

W(u)=b

verildiğinde,

W(t)

'nin beklenen değeri

a + \frac{t-s}{u-s}(b-a)

ve varyansı

\frac{(t-s)(u-t)}{u-s}

formülleriyle hesaplanır. Değerleri yerine koyduğumuzda beklenen değer

4 + \frac{1}{3}(1-4) = 3

, varyans ise

\frac{(1) \cdot (2)}{3} = \frac{2}{3}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin Brownian köprüsü (Brownian bridge) yapısında olduğunu belirleme.

İki bilinen durum (

W(s)=a

ve

W(u)=b

) arasında kalan

W(t)

'nin koşullu dağılımının bulunması gerektiği tespit edilir.

Wiener sürecinde geçmiş ve gelecek iki değer birden bilindiğinde, aradaki bir noktanın dağılımı her iki uç noktaya da aynı anda bağlıdır.

2

Koşullu beklenen değeri hesaplama.

E[W(t)|W(s)=a, W(u)=b] = a + \frac{t-s}{u-s}(b-a)

formülü kullanılarak

E[W(3)] = 4 + \frac{3-2}{5-2}(1-4) = 4 + \frac{1}{3}(-3) = 3

bulunur.

Sürecin beklenen değeri, iki bilinen nokta arasında zamanla orantılı olarak doğrusal bir şekilde değişir.

3

Koşullu varyansı hesaplama.

Var(W(t)|W(s)=a, W(u)=b) = \frac{(t-s)(u-t)}{u-s}

formülü kullanılarak

Var(W(3)) = \frac{(3-2)(5-3)}{5-2} = \frac{1 \cdot 2}{3} = \frac{2}{3}

bulunur.

Her iki uç noktanın bilinmesi, aradaki noktanın varyansını kısıtlar. En büyük varyans tam orta noktada görülür.

Anahtar Kavram

Wiener sürecinde Brownian köprüsü (iki nokta arası koşullu dağılım)

Soru 123Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğünde, emeklilik işlemleri için hizmet veren tek bir gişeye yapılan başvurular, Poisson dağılımına uygun olarak saatte ortalama 12 kişi hızında gerçekleşmektedir. Gişede görevli memurun bir vatandaşın işlemini tamamlama süresi üstel dağılıma uymakta olup, memur saatte ortalama 15 kişinin işlemini tamamlayabilmektedir.

Buna göre, bu gişeye başvuran bir vatandaşın işlemi başlayana kadar kuyrukta beklediği ortalama süre kaç dakikadır?

4

5

16

20

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16

Soruda tek bir gişe olduğu için M/M/1 bekleme hattı modeli geçerlidir. Varış oranı

\lambda = 12

ve hizmet oranı

\mu = 15

olarak verilmiştir. Bir birimin işlem görmeden önce kuyrukta beklediği ortalama süre

W_q

ile gösterilir ve

W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}

formülü ile bulunur. Değerler yerine konduğunda

W_q = \frac{12}{15(15-12)} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}

saat elde edilir. Sonuç dakika cinsinden istendiği için

\frac{4}{15} \times 60 = 16

dakika bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen oranları (

\lambda

ve

\mu

) belirleyin.

Varış oranı

\lambda = 12

kişi/saat, Hizmet oranı

\mu = 15

kişi/saat.

M/M/1 kuyruk modeli formüllerini uygulayabilmek için öncelikle parametrelerin tanımlanması gerekir.

2

Kuyrukta bekleme süresi (

W_q

) formülünü uygulayın.

W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)} = \frac{12}{15(15 - 12)} = \frac{12}{15 \times 3} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}

saat.

Soruda vatandaşın işlemi başlayana kadar, yani sadece kuyrukta geçirdiği ortalama süre sorulmaktadır.

3

Bulunan saat cinsinden değeri dakikaya çevirin.

\frac{4}{15} \text{ saat} \times 60 \text{ dakika/saat} = 4 \times 4 = 16 \text{ dakika}

.

Soru kökünde sonuç dakika cinsinden istenmektedir.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modelinde Sistem Performans Ölçütleri

Soru 124Soru →

Sürekli zamanlı bir Markov süreci (CTMC), $S = \{0, 1, 2, 3\}$ durum uzayına sahiptir ve durumlar arasındaki geçiş hızlarını gösteren sonsuz küçük üreteç matrisi ( $\mathbf{Q}$ matrisi) aşağıda verilmiştir:

\mathbf{Q} = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Süreç $t=0$ anında $0$ numaralı durumdan başlamaktadır. $3$ numaralı durum yutan (absorbing) durum olduğuna göre, sürecin $3$ numaralı duruma ulaşana kadar geçen beklenen süresi kaçtır?

\frac{5}{7}

\frac{13}{12}

\frac{7}{5}

\frac{16}{5}

\frac{21}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{5}$

Cevap

Sürecin yutulma durumuna (3 numaralı durum) ulaşana kadar geçen beklenen süresi

\frac{7}{5}

birim zamandır.

Doğru çözüm, sürecin geçici durumlarında geçirdiği ortalama sürelerin birinci adım analizi (first-step analysis) ile denklem sistemine dökülmesine dayanır. Durum

i

'den yutan duruma kadar geçen beklenen süre

m_i

olmak üzere;

m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}m_1 + \frac{2}{4}m_2

ve diğer durumlara ait denklemler ortak çözüldüğünde sonuç

m_0 = \frac{7}{5}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

CTMC için yutulma zamanı beklentisi (

m_i

) denklemlerinin genel yapısını belirleme

m_i = \frac{1}{-q_{ii}} + \sum_{j \neq i} \frac{q_{ij}}{-q_{ii}} m_j

Herhangi bir durumdan yutulmaya kadar geçen süre, o durumdaki ortalama bekleme süresi ile gidilecek bir sonraki durumdan yutulmaya kadar geçecek sürelerin ağırlıklı ortalamasının toplamıdır.

2

Verilen Q matrisinden yararlanarak

m_0

,

m_1

ve

m_2

için eşitlikleri oluşturma

m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}m_1 + \frac{2}{4}m_2

m_1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}m_0

m_2 = \frac{1}{2} + m_0

Matrisin köşegen elemanları (

-q_{ii}

) ilgili durumlardan ayrılma hızlarını (bekleme süresi paydası), diğer elemanlar (

q_{ij}

) ise hedef durumlara geçiş hızlarını verir. Yutan durum olan 3 için

m_3 = 0

'dır.

3

Oluşturulan 3 bilinmeyenli denklem sistemini

m_0

'a bağlı olacak şekilde çözme

m_1

ve

m_2

değerleri

m_0

denkleminde yerine yazılır:

m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}m_0) + \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + m_0)

Süreç

0

durumundan başladığı için hesaplanması gereken ve sorulan asıl değer

m_0

'dır.

4

Elde edilen tek bilinmeyenli denklemi basitleştirerek nihai

m_0

sonucunu bulma

m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}m_0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}m_0 \implies m_0 = \frac{7}{12} + \frac{7}{12}m_0 \implies \frac{5}{12}m_0 = \frac{7}{12} \implies m_0 = \frac{7}{5}

Matematiksel işlemler tamamlanarak başlangıç durumundan itibaren beklenen yutulma süresi elde edilir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde (CTMC) İlk Geçiş ve Yutulma Zamanları (Expected Time to Absorption)

Alternatif Yöntem

Matris yaklaşımı ile çözüm: Sistemin geçici durumlar matrisi

\mathbf{Q}_{TT}

kullanılarak

(-\mathbf{Q}_{TT}) \mathbf{m} = \mathbf{1}

denklemi kurulur. Buradan

\mathbf{m} = (-\mathbf{Q}_{TT})^{-1} \mathbf{1}

matris tersi işlemi yapılarak

m_0

için aynı sonuca (

\frac{7}{5}

) ulaşılabilir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 125Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) merkezinde, emeklilik başvuru dosyaları ardışık $4$ onay aşamasından geçmektedir. Sürecin durum uzayı $S = \{1, 2, 3, 4\}$ olarak tanımlanmıştır.

Sürecin işleyişine dair kurallar şöyledir:
- Bir memur, bulunduğu herhangi bir $i$ . aşamada ( $i \in \{1, 2, 3\}$ ) dosyayı incelerken $\frac{3}{4}$ olasılıkla işlemi hatasız bulup dosyayı $(i+1)$ . aşamaya sevk etmektedir.
- Memur, $\frac{1}{4}$ olasılıkla ise dosyada eksiklik veya hata tespit edip, dosyayı düzeltilmesi için sürecin en başına (1. Aşamaya) geri göndermektedir.
- 4. aşamaya ulaşan bir dosya incelendiğinde işlemi kesin olarak sonuçlandırılmakta (onaylanarak veya reddedilerek) ve sistemden çıkmaktadır. Bu durumda memur beklemeden hemen yeni bir dosyanın 1. aşamasındaki işlemlerine başlamaktadır (Yani süreç her halükarda 4. aşamadan tekrar 1. aşamaya dönmektedir).

Bu sürecin geçiş olasılıkları matrisi ile bir homojen Markov zinciri oluşturduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, sistem kararlı duruma (sınır olasılıklarına) ulaştığında, incelenmekte olan rastgele bir dosyanın '3. Aşamada' olma olasılığı kaçtır?

\frac{9}{64}

\frac{27}{175}

\frac{36}{175}

\frac{1}{4}

\frac{48}{175}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{36}{175}$

Cevap

Sistem kararlı duruma ulaştığında rastgele bir dosyanın 3. aşamada olma olasılığı

\frac{36}{175}

olarak hesaplanmıştır.

Sürecin geçiş matrisi doğru bir şekilde

4 \times 4

boyutunda kurulup

\pi P = \pi

eşitliği sağlandığında, tüm olasılıklar

\pi_1

cinsinden yazılır. Normalizasyon şartı olan

\sum \pi_i = 1

uygulandığında

\pi_1 = \frac{64}{175}

bulunur. Bizden istenen 3. durumun olasılığı ise

\pi_3 = \frac{9}{16}\pi_1

eşitliğinden

\frac{36}{175}

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kurallara göre sistemin geçiş olasılıkları matrisini (

P

) oluşturma.

P = \begin{bmatrix} 1/4 & 3/4 & 0 & 0 \\ 1/4 & 0 & 3/4 & 0 \\ 1/4 & 0 & 0 & 3/4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

matrisi elde edilir.

Kararlı durum olasılıklarını hesaplayabilmek için öncelikle durumlar arası geçişleri matematiksel olarak modellemek gerekir.

2

Kararlı durum denklemlerini (

\pi = \pi P

) kurma.

\pi_2 = \frac{3}{4}\pi_1

,

\pi_3 = \frac{3}{4}\pi_2

,

\pi_4 = \frac{3}{4}\pi_3

ve

\pi_1 = \frac{1}{4}\pi_1 + \frac{1}{4}\pi_2 + \frac{1}{4}\pi_3 + \pi_4

denklemleri yazılır.

Sınır olasılıkları, geçiş matrisinin sol özvektörüdür ve dengede durum olasılıkları değişmez.

3

Tüm durum olasılıklarını

\pi_1

cinsinden ifade etme.

Sırasıyla yerine konulduğunda:

\pi_2 = \frac{48}{64}\pi_1

,

\pi_3 = \frac{36}{64}\pi_1

ve

\pi_4 = \frac{27}{64}\pi_1

bulunur.

Bilinmeyen sayısını teke düşürmek, normalizasyon şartını kullanmadan önce gereklidir.

4

Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması (

\sum \pi_i = 1

) şartını uygulama.

\pi_1 \left(1 + \frac{48}{64} + \frac{36}{64} + \frac{27}{64}\right) = 1 \implies \pi_1 \left(\frac{175}{64}\right) = 1 \implies \pi_1 = \frac{64}{175}

bulunur.

Tüm olası durumların kararlı durum olasılıklarının toplamı her zaman 1 olmalıdır.

5

İstenen 3. aşama olasılığını (

\pi_3

) hesaplama.

\pi_3 = \frac{36}{64} \times \frac{64}{175} = \frac{36}{175}

olarak hesaplanır.

Soru bizden spesifik olarak 3. durumun sınır olasılığını istemektedir.

Anahtar Kavram

Homojen Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Sınır) Olasılıkları

Soru 126Soru →

Bir $\{X(t), t \in T\}$ stokastik süreci, $\Omega$ örnek uzayı üzerindeki rastgele sonuçları zamanın bir fonksiyonu olarak modelleyen rastgele değişkenler ailesidir. Stokastik süreçler genel olarak durum uzayının ( $S$ ) ve zaman parametresi kümesinin ( $T$ ) sürekli veya kesikli olmasına göre sınıflandırılır.

Buna göre, stokastik süreçlerin temel kavramları ve örneklem fonksiyonları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir sürecin ardışık zaman aralıklarındaki artışlarının tanımladığı olaylar birbirinden ayrık (kesişimleri boş küme) ise, bu artışlar olasılık teorisi gereği bağımsızdır ve süreç kesinlikle 'bağımsız artışlı süreç' olarak sınıflandırılır.

Durum uzayı

S

sürekli olan bir stokastik süreçte, farklı zaman aralıklarındaki artışların kovaryansının sıfır bulunması (

Cov(X(t_2)-X(t_1), X(t_3)-X(t_2)) = 0

), sürecin daima bağımsız artışlı olduğunu garanti eder.

Sürekli zaman parametresi kümesine (

T

) ve kesikli durum uzayına (

S

) sahip bir stokastik sürecin, belirli bir

\omega

deney sonucu için elde edilen

x(t, \omega)

örneklem fonksiyonu (örneklem yolu)

t

'ye göre basamaklı bir yapıda çizilir.

Kesikli zaman parametresi kümesine sahip (

T=\{0, 1, 2, \dots\}

) ve durum uzayı

S

sürekli olan bir süreçte, herhangi bir

t

anında

P(X(t)=c)

olasılığı,

X(t)

rastgele değişkeninin o noktadaki olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f(c)

değerine eşittir.

Standart Wiener süreci gibi sürekli zamanlı ve sürekli durumlu süreçlerde,

[0, t]

ve

[t, t+s]

aralıklarındaki artışlar üst üste binen (ortak) bir

t

noktasını içerdiği için, bu artışlar birbirine bağımlı rastgele değişkenlerdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sürekli zaman parametresi kümesine ( $T$ ) ve kesikli durum uzayına ( $S$ ) sahip bir stokastik sürecin, belirli bir $\omega$ deney sonucu için elde edilen $x(t, \omega)$ örneklem fonksiyonu (örneklem yolu) $t$ 'ye göre basamaklı bir yapıda çizilir.

Cevap

Sürekli zaman parametresi kümesine ve kesikli durum uzayına sahip bir stokastik sürecin örneklem fonksiyonunun (örneklem yolunun) basamaklı bir yapıda çizildiğini belirten ifade doğrudur.

Sürekli zamanlı ancak kesikli durumlu bir süreçte (örneğin Poisson süreci), zaman ekseni (

t

) kesintisiz bir şekilde ilerlerken, rastgele değişken olan

X(t)

yalnızca sayılabilir, ayrık değerler (0, 1, 2, vb.) alabilir. Bu matematiksel kısıt altında, sürecin tek bir gerçekleştirimini ifade eden örneklem yolu (sample path), iki nokta arasında sürekli bir eğri çizemez; bir durum değerinden diğerine geçişi anlık sıçramalarla yapmak zorundadır. Bu nedenle ortaya çıkan grafik yatay çizgiler ve dikey sıçramalardan oluşan 'basamaklı (step) fonksiyon' yapısındadır.

Adım Adım Çözüm

1

Seçeneklerde yer alan stokastik süreç sınıflandırmaları ile kavramsal tanımları eşleştirerek inceleyin.

Sürecin zaman (

T

) ve durum (

S

) özelliklerinin, örneklem yolunu nasıl şekillendirdiğini temel olasılık aksiyomlarıyla tespit ederiz.

Sürecin S ve T uzaylarına göre sınıflandırılması, fonksiyonun süreklilik davranışını belirler.

2

Yanlış seçeneklerdeki bağımsızlık, kovaryans, olasılık yoğunluğu ve Wiener süreci özelliklerini teorik kurallarla test edin.

İlgili ifadelerde sırasıyla; ayrıklık/bağımsızlık kavramlarının karıştırıldığı, kovaryansın bağımsızlık için yeterli sanıldığı, sürekli değişkende nokta olasılığının sıfır olmasının atlandığı ve Wiener sürecindeki bağımsız artış kuralının yanlış yorumlandığı kanıtlanır.

Çeldiricilerdeki mantıksal ve kavramsal hataları elemek için.

3

Sürekli zaman (

T

) ve kesikli durum (

S

) ilişkisini grafiksel davranış olarak değerlendirin.

Zaman (

t

) sürekli akarken, durum uzayı ayrık tam sayılardan (0, 1, 2...) oluştuğundan, fonksiyonun mecburen bir tam sayı değerinde sabit kalıp aniden diğerine sıçraması (basamaklı yapı) gerektiği onaylanır.

Matematiksel tanımın örneklem fonksiyonu (sample path) üzerindeki yansımasını doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Stokastik süreçlerde Durum (S) ve Zaman (T) uzaylarının özellikleri, bağımsız artış varsayımı ve örneklem fonksiyonu davranışları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 127Soru →

Bir fabrikada üretim hattında görev yapan 2 adet birbirinin aynısı özel endüstriyel robot bulunmaktadır. Herhangi bir anda arızalı robot sayısı $X(t) \in \{0, 1, 2\}$ olmak üzere, sistem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci (CTMC) olarak modellenmektedir.

Sisteme ait arıza (doğum) ve onarım (ölüm) hızları aşağıdaki gibidir:
- İki robot da çalışırken arıza meydana gelme hızı haftada 3'tür ( $\lambda_0 = 3$ ).
- Bir robot arızalıyken diğerinin arızalanma hızı haftada 2'dir ( $\lambda_1 = 2$ ).
- Bir robot arızalıyken bakım ekibinin onarım hızı haftada 4'tür ( $\mu_1 = 4$ ).
- İki robot birden arızalandığında dışarıdan acil destek ekibi gelmekte ve sistemden çıkan (onarılan) robot hızı haftada 5'e yükselmektedir ( $\mu_2 = 5$ ).
- Tam kapasite durumunda (2 arızalı robot) yeni arıza oluşamaz ( $\lambda_2 = 0$ ).

Buna göre, bu fabrikada uzun dönemde (kararlı durumda) her iki robotun da aynı anda arızalı olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{6}

\frac{9}{37}

\frac{6}{41}

\frac{10}{17}

\frac{12}{47}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{6}{41}$

Cevap

Uzun dönemde (kararlı durumda) her iki robotun da aynı anda arızalı olma olasılığı

\frac{6}{41}

'dir.

Bu problem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellendiğinden, uzun dönem (kararlı durum) olasılıkları

\pi_n

ardışık durumların denge denklemleri olan

\lambda_{n-1}\pi_{n-1} = \mu_n\pi_n

eşitliğinden bulunur. Oranlar yerine konulduğunda

\pi_1 = \frac{3}{4}\pi_0

ve

\pi_2 = \frac{3}{10}\pi_0

eşitlikleri elde edilir. Tüm olasılıkların toplamının 1 olması gerektiğinden yola çıkarak

\pi_0(1 + 0.75 + 0.3) = 1

denklemi çözülür. Buradan

\pi_0 = \frac{20}{41}

ve hedeflenen olasılık olan

\pi_2 = \frac{6}{41}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini (balance equations) kurma

\lambda_0 \pi_0 = \mu_1 \pi_1

ve

\lambda_1 \pi_1 = \mu_2 \pi_2

Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreçlerinde ardışık durumlar arası akış dengede olmalıdır.

2

Verilen geçiş hızlarını denklemlere yerleştirme

3\pi_0 = 4\pi_1 \implies \pi_1 = \frac{3}{4}\pi_0

ve

2\pi_1 = 5\pi_2 \implies 2(\frac{3}{4}\pi_0) = 5\pi_2 \implies \pi_2 = \frac{3}{10}\pi_0

Durum olasılıklarını birbirleri cinsinden yazarak ortak bir bilinmeyene (

\pi_0

) bağlamak için.

3

Tüm olasılıkların toplamını 1'e eşitleme

\pi_0 + \frac{3}{4}\pi_0 + \frac{3}{10}\pi_0 = 1

Sistemin herhangi bir anda mutlaka

\{0, 1, 2\}

durumlarından birinde bulunma zorunluluğundan.

4

Denklemi çözerek

\pi_2

olasılığını hesaplama

\pi_0(1 + \frac{15}{20} + \frac{6}{20}) = 1 \implies \frac{41}{20}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{20}{41}

. Buradan

\pi_2 = \frac{3}{10} \times \frac{20}{41} = \frac{6}{41}

İstenen değer sistemin tam kapasite (2 arıza) durumunda olma olasılığıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Analizi

Soru 128Soru →

Bir yapay zeka uygulamasındaki genetik algoritma optimizasyon sürecinde, bir modelin uygunluk (fitness) skoru başlangıçta $2$ birim olarak belirlenmiştir. Her bir jenerasyon (adım) sonucunda bu skor, birbirinden bağımsız olarak $p = \frac{1}{3}$ olasılıkla $1$ birim artmakta, $q = \frac{2}{3}$ olasılıkla ise $1$ birim azalmaktadır.

Algoritmanın kurallarına göre; modelin uygunluk skoru $0$ 'a düştüğünde süreç 'başarısız' kabul edilerek iptal edilmekte, skor $5$ 'e ulaştığında ise 'başarılı' kabul edilerek optimizasyon sonlandırılmaktadır.

Buna göre, bu optimizasyon sürecinin başarılı bir şekilde sonlanma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{27}

\frac{3}{31}

\frac{2}{5}

\frac{24}{31}

\frac{28}{31}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{31}$

Cevap

Optimizasyon sürecinin başarılı sonlanma olasılığı

\frac{3}{31}

'dir.

Bu problem, klasik bir 'Kumarbazın İflası' (Gambler's Ruin) problemidir. İstenen durum, asimetrik bir rassal yürüyüşte sürecin alt yutucu sınır olan 0'a ulaşmadan önce üst sınır olan 5'e ulaşma olasılığıdır. İleri gitme olasılığı

p \neq q

olduğunda hedef

N

noktasına ulaşma olasılığı

P = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^N}

formülüyle bulunur. Soru verilerinde başlangıç noktası

i=2

, hedef

N=5

, yukarı adım

p=1/3

ve aşağı adım

q=2/3

'tür. Değerler yerine konulduğunda

\frac{1 - 2^2}{1 - 2^5} = \frac{-3}{-31} = \frac{3}{31}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin tipini ve parametrelerini belirle.

Problem asimetrik bir 'Kumarbazın İflası' (Gambler's Ruin) problemidir. Başlangıç durumu

i=2

, üst sınır (başarı)

N=5

, alt sınır (başarısızlık)

0

'dır. Olasılıklar

p=1/3

ve

q=2/3

'tür.

Rassal yürüyüşte sınır olasılıklarını hesaplamak için doğru formülü seçmek gerekir.

2

Artma ve azalma olasılıklarının oranını (

q/p

) hesapla.

\frac{q}{p} = \frac{2/3}{1/3} = 2

bulunur.

Asimetrik rassal yürüyüş absorpsiyon formülü bu oran üzerine kuruludur.

3

Asimetrik rassal yürüyüş formülünü uygula.

Üst sınıra ulaşma olasılığı formülü:

P_i = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^N}

p \neq q

olduğundan dolayı yutucu sınırlara ulaşma olasılığı bu karakteristik denklem çözümüyle bulunur.

4

Değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesapla.

P_2 = \frac{1 - 2^2}{1 - 2^5} = \frac{1 - 4}{1 - 32} = \frac{-3}{-31} = \frac{3}{31}

Başlangıç durumundan hedefe ulaşma olasılığının matematiksel olarak elde edilmesidir.

Anahtar Kavram

Asimetrik Rassal Yürüyüşte Absorpsiyon (Yutulma) Olasılıkları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 129Soru →

Bir sunucu sistemi, 'Çalışır (0)', 'Kısmen Arızalı (1)' ve 'Tamamen Arızalı (2)' olmak üzere üç farklı durumda bulunabilen sürekli zamanlı bir Markov süreci (CTMC) ile modellenmektedir. Sistemin durumlar arası geçiş hızları (oranları) şu şekildedir:

- Çalışır durumdaki bir sunucunun kısmen arızalı duruma geçiş hızı saatte 3, tamamen arızalı duruma geçiş hızı ise saatte 2'dir.
- Kısmen arızalı durumdaki bir sunucu saatte 2 hızla onarılarak çalışır duruma dönerken, saatte 4 hızla tamamen arızalı duruma bozularak geçmektedir.
- Tamamen arızalı durumdaki bir sunucu, saatte 5 hızla doğrudan çalışır duruma onarılmaktadır. (Tamamen arızalı durumdan kısmen arızalı duruma geçiş yoktur).

Bu bilgilere göre, uzun dönemde (kararlı durumda) sunucunun 'Tamamen Arızalı' durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3}{8}

\frac{2}{5}

\frac{10}{23}

\frac{4}{19}

\frac{8}{23}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{8}{23}$

Cevap

Sunucunun tamamen arızalı durumunda bulunma olasılığı

\frac{8}{23}

olmalıdır.

Kararlı durumda sisteme giren ve çıkan akış oranları eşit olmalıdır (

\pi Q = 0

). Elde edilen denge denklemleri çözülüp

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1

kuralı uygulandığında, Tamamen Arızalı durumun olasılığı

\frac{8}{23}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Sonsuz küçük üreteç (generator) matrisi

Q

'yu oluşturun.

Q = \begin{bmatrix} -5 & 3 & 2 \\ 2 & -6 & 4 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix}

Durumlar arası geçiş oranları matrisin köşegen dışı elemanlarını, satır toplamının sıfır olması kuralı ise köşegen elemanlarını (

q_{ii} = -\sum_{j \neq i} q_{ij}

) verir.

2

Kararlı durum olasılıkları için

\pi Q = 0

denge denklemlerini yazın.

1)

-5\pi_0 + 2\pi_1 + 5\pi_2 = 0

2)

3\pi_0 - 6\pi_1 = 0 \Rightarrow \pi_1 = 0.5\pi_0

3)

2\pi_0 + 4\pi_1 - 5\pi_2 = 0

Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde uzun dönem olasılıkları sisteme giriş ve çıkış oranlarının dengelenmesiyle bulunur.

3

Denklemleri çözerek

\pi_2

'yi

\pi_0

cinsinden ifade edin.

3. denkleme

\pi_1 = 0.5\pi_0

yazılırsa:

2\pi_0 + 4(0.5\pi_0) - 5\pi_2 = 0 \Rightarrow 4\pi_0 = 5\pi_2 \Rightarrow \pi_2 = 0.8\pi_0

Bütün değişkenleri tek bir bilinmeyen (

\pi_0

) cinsinden yazmak normalizasyon adımına hazırlıktır.

4

Normalizasyon kuralı

\sum \pi_i = 1

eşitliğini uygulayarak

\pi_0

'ı bulun ve sorulan

\pi_2

'yi hesaplayın.

\pi_0 + 0.5\pi_0 + 0.8\pi_0 = 1 \Rightarrow 2.3\pi_0 = 1 \Rightarrow \pi_0 = \frac{10}{23}

. Buradan

\pi_2 = 0.8 \times \frac{10}{23} = \frac{8}{23}

.

Tüm durumların olasılıklarının toplamı daima 1'e eşit olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum Olasılıkları

Soru 130Soru →

Bir e-ticaret platformunda başlatılan bir davet kampanyasının yayılımı, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Kampanyaya katılan her bir kullanıcı, birbirinden bağımsız olarak;
- $\%20$ olasılıkla kimseye davetiye göndermemekte,
- $\%50$ olasılıkla $1$ kişiye davetiye göndermekte,
- $\%10$ olasılıkla $2$ kişiye davetiye göndermekte,
- $\%20$ olasılıkla $3$ kişiye davetiye göndermektedir.

Başlangıçta ( $n=0$ ) kampanyayı başlatan sadece $1$ kişi ( $X_0 = 1$ ) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu kampanyanın eninde sonunda tamamen sona erme (sönümlenme) olasılığı ( $\pi$ ) ile 2. adımda (nesilde) davetiye gönderilen beklenen kişi sayısı ( $E[X_2]$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,40

ve

2,60

0,20

ve

1,69

0,50

ve

1,69

1,00

ve

1,30

0,50

ve

1,30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,50$ ve $1,69$

Cevap

0,50

ve

1,69

değerlerini içeren seçenektir.

Süreç süperkritiktir (

\mu = 1,3 > 1

), bu nedenle sönümlenme olasılığı olan

\pi

,

G(s) = 0,2 + 0,5s + 0,1s^2 + 0,2s^3 = s

denkleminin

[0, 1)

aralığındaki köküdür. Denklemin kökleri

1

,

1/2

ve

-2

olup, geçerli sönümlenme olasılığı

\pi = 0,50

'dir. 2. nesildeki beklenen birey sayısı ise

E[X_2] = \mu^2 = 1,3^2 = 1,69

formülüyle hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın beklenen değerini (

\mu

) hesapla.

\mu = 0(0,2) + 1(0,5) + 2(0,1) + 3(0,2) = 0 + 0,5 + 0,2 + 0,6 = 1,3

Sürecin kritik, alt kritik veya süper kritik olduğunu belirlemek ve ileriki nesillerin beklenen değerini bulmak için

\mu

değerine ihtiyaç vardır.

2

2. nesildeki beklenen değeri (

E[X_2]

) hesapla.

E[X_2] = \mu^2 = (1,3)^2 = 1,69

Dallanma süreçlerinde başlangıçta

1

birey (

X_0=1

) varken

n

. neslin beklenen değeri

E[X_n] = \mu^n

formülü ile bulunur.

3

Olasılık üreteç fonksiyonunu (

G(s)

) oluştur ve

G(s) = s

denklemini yaz.

G(s) = 0,2 + 0,5s + 0,1s^2 + 0,2s^3 = s

Sönümlenme (yok olma) olasılığı

\pi

, süperkritik süreçlerde

G(s) = s

denkleminin

[0, 1)

aralığındaki en küçük köküdür.

4

Oluşan kübik denklemi düzenle ve köklerini bul.

0,2s^3 + 0,1s^2 - 0,5s + 0,2 = 0 \implies 2s^3 + s^2 - 5s + 2 = 0

. Denklemin çarpanlarına ayrılmış hali

(s-1)(2s^2 + 3s - 2) = 0

'dır. Buradan kökler

s=1

,

s=1/2

,

s=-2

bulunur.

Sönümlenme olasılığı negatif olamayacağı ve

\mu > 1

olduğu için

1

'den küçük pozitif kök alınmalıdır, bu da

1/2 = 0,50

'dir.

Anahtar Kavram

Dallanma süreçlerinde üreteç fonksiyonları ve nesil beklentisi

Soru 131Soru →

Bir hastanenin acil servisine $t$ anına kadar giriş yapmış toplam hasta sayısını modelleyen $\{N(t), t \geq 0\}$ stokastik süreci tanımlanmıştır. Bu süreçte $N(0) = 0$ kabul edilmekte ve kesişmeyen zaman aralıklarındaki hasta giriş sayılarının birbirinden bağımsız olduğu bilinmektedir.

Bu stokastik sürecin durum uzayı ( $S$ ), zaman parametresi kümesi ( $T$ ) ve örneklem fonksiyonu (örneklem yolu) yapısı dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Sürecin zaman parametresi kümesi (

T

) sürekli, durum uzayı (

S

) kesikli yapıda olup; sürecin örneklem yolu zaman ekseni boyunca sıçramalar gösteren bir basamak fonksiyonudur.

Sürecin bağımsız artışlı olması, kesişmeyen zaman aralıklarında gerçekleşen hasta giriş olaylarının örnek uzayda birbiriyle ayrık (kesişimleri boş küme olan) olaylar olduğunu gösterir.

Bu süreç bir Poisson süreci olarak modellenirse, ardışık iki hastanın servise gelişi arasında geçen bekleme süreleri de Poisson dağılımına sahip kesikli rastgele değişkenlerdir.

Herhangi

t_1 < t_2

anlarındaki durumların çarpımının beklenen değeri, değişkenler aynı sürecin parçası olduğundan

E[N(t_1) \cdot N(t_2)] = E[N(t_1)] \cdot E[N(t_2)]

biçiminde ayrıştırılarak hesaplanır.

Sürece ait rastgele iki kesitin aralarındaki kovaryansın sıfır çıkması, bu durumların olasılıksal olarak tamamen bağımsız olduğunu kesin olarak kanıtlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sürecin zaman parametresi kümesi ( $T$ ) sürekli, durum uzayı ( $S$ ) kesikli yapıda olup; sürecin örneklem yolu zaman ekseni boyunca sıçramalar gösteren bir basamak fonksiyonudur.

Cevap

Zaman parametresi kümesi (

T

) sürekli, durum uzayı (

S

) kesikli yapıda olup; sürecin örneklem yolu zaman ekseni boyunca sıçramalar gösteren bir basamak fonksiyonudur.

Doğru olan seçenekte stokastik sürecin üç temel kavramı da (T, S ve örneklem yolu) doğru tanımlanmıştır. Hasta sayma sürecinde zaman kesintisiz aktığı için

T

sürekli, sayılan hastalar tam sayı olduğu için

S

kesiklidir. Bir olayın sürekli zamanda gerçekleşip kesikli duruma geçmesi, grafikte süreçlerin belirli bir süre yatay gidip ardından aniden yukarı yönlü bir sıçrama yapmasına yol açar; bu da matematiksel olarak basamak fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1

Zaman parametresi kümesini (

T

) belirle.

t \geq 0

aralığı herhangi bir reel sayı olabileceği için zaman uzayı (

T

) süreklidir.

Zaman ekseninde hastaların geliş anları sadece belirli tam sayılarla sınırlandırılmamıştır, sürekli bir akış vardır.

2

Durum uzayını (

S

) tanımla.

Giriş yapan toplam hasta sayısı

N(t) \in \{0, 1, 2, \dots\}

olacağından durum uzayı kesiklidir.

Hasta sayıları küsuratlı (örneğin 1.5 hasta) olamayacağı için süreç sayılabilir (kesikli) değerler alır.

3

Örneklem fonksiyonunun (yolunun) yapısını analiz et.

Süreç zaman ekseni boyunca belirli değerlerde sabit kalıp, yeni bir hasta geldiğinde 1 birim yukarı sıçrar.

Sürekli zaman üzerinde kesikli değerler alan her süreç, görsel olarak bir basamak fonksiyonu (step function) formu oluşturur.

Anahtar Kavram

Stokastik Süreçlerin Sınıflandırılması ve Örneklem Fonksiyonları

Soru 132Soru →

Bir hava trafik kontrol merkezine giren uçakların sayısı, saatte ortalama $\lambda = 4$ uçak oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir.

Sürecin durağan ve bağımsız artışlara (independent and stationary increments) sahip olduğu varsayımı altında;
I. İlk saatte tam olarak 5 uçak girdiği bilindiğinde, ikinci ve üçüncü saatler arasındaki 2 saatlik zaman diliminde (yani $t=1$ ile $t=3$ saatleri arasında) merkeze tam olarak 6 uçak girme olasılığı ( $P$ ),
II. Art arda gelen iki uçağın merkeze girişi arasında geçen sürenin beklenen değeri ( $E[T]$ , dakika cinsinden)

aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

ve

E[T] = 15

P = \frac{4^6 e^{-4}}{6!}

ve

E[T] = 15

P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

ve

E[T] = 4

P = \frac{4^6 e^{-4}}{6!}

ve

E[T] = 0,25

P = \frac{12^6 e^{-12}}{6!}

ve

E[T] = 15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}$ ve $E[T] = 15$

Cevap

İki saatlik dilim için 6 uçak gelme olasılığı

P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

ve gelişler arası beklenen süre

E[T] = 15

dakikadır.

Soru, Poisson sürecinin bağımsız ve durağan artışlar özellikleri ile Üstel dağılımla olan ilişkisini sınamaktadır. Bağımsız artışlar özelliği gereği, ilk saatteki uçak sayısı (5), sonraki zaman dilimlerini etkilemez. Durağan artışlar kuralına göre,

t=1

ile

t=3

saatleri arasındaki 2 saatlik periyotta gerçekleşen uçak giriş sayısı

N(3) - N(1)

,

\lambda \cdot t = 4 \cdot 2 = 8

parametreli Poisson dağılımına sahiptir. Dolayısıyla tam olarak 6 uçak girme olasılığı

P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

olur. Ek olarak, Poisson sürecinde ardışık iki geliş arasındaki süre Üstel dağılıma uyar ve beklenen değeri

E[T] = 1/\lambda

saattir.

1/4

saat, 15 dakikaya eşittir. Olasılığı ölçeklenmiş parametreyle hesaplayan ve beklenen süreyi 15 dakika olarak veren seçenek doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsız ve durağan artışlar özelliğini kullanarak incelenecek zaman aralığını ve yeni oran parametresini belirle.

N(3) - N(1)

rassal değişkeni, ilk saatteki gelişlerden tamamen bağımsızdır. Aradaki süre

t = 3 - 1 = 2

saattir. Yeni oran parametresi

\lambda \cdot t = 4 \cdot 2 = 8

olur.

Poisson sürecinde kesişmeyen zaman aralıklarındaki olay sayıları birbirinden bağımsızdır (bağımsız artışlar) ve sadece aralığın uzunluğuna bağlıdır (durağan artışlar).

2

Belirlenen parametre ile Poisson olasılık fonksiyonunu hesapla.

P(N(3) - N(1) = 6) = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

elde edilir.

Poisson olasılık kütle fonksiyonu

P(X=k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}

formülüyle hesaplanır.

3

Ardışık iki olay arasındaki sürenin beklenen değerini hesapla ve dakika cinsine çevir.

Gelişler arası süre Üstel dağılıma sahiptir.

E[T] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{4}

saat. Dakikaya çevrildiğinde

\frac{1}{4} \cdot 60 = 15

dakika bulunur.

Poisson sürecinde ardışık olaylar arası geçen süre

\lambda

parametreli Üstel dağılıma uyar ve beklenen değeri

1/\lambda

'dır.

Anahtar Kavram

Poisson Süreci, Bağımsız ve Durağan Artışlar, Üstel Dağılım İlişkisi

Soru 133Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğündeki evrak kayıt masasında bekleyen ve işlem gören toplam dosya sayısı, durum uzayı $S = \{0, 1, 2\}$ olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellenmektedir.

Bu masadaki işleyişe ait geçiş hızları (saat başına) aşağıda verilmiştir:
- Masa boşken yeni dosya gelme hızı: $\lambda_0 = 3$
- Masada 1 dosya varken yeni dosya gelme hızı: $\lambda_1 = 2$
- Masada 2 dosya varken kapasite dolduğundan yeni dosya kabul edilmemektedir ( $\lambda_2 = 0$ ).
- Masada 1 dosya varken işlemin tamamlanma hızı: $\mu_1 = 1$
- Masada 2 dosya varken memurun artan iş yüküyle hızlanması sonucu işlemin tamamlanma hızı: $\mu_2 = 4$

Buna göre, uzun dönemde (kararlı durumda) bu masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0

\frac{2}{11}

\frac{3}{7}

\frac{3}{4}

\frac{6}{11}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{6}{11}$

Cevap

Uzun dönemde sistemde tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı

\frac{6}{11}

olarak hesaplanır.

Kararlı durumda (steady-state) doğum-ölüm süreçleri için denge denklemleri kullanılarak her durumun olasılığı

P_0

cinsinden bulunur. Verilen hızlar kullanıldığında

P_1 = 3 P_0

ve

P_2 = 1.5 P_0

elde edilir. Tüm olasılıkların toplamının 1 olması kuralından hareketle

P_0 (1 + 3 + 1.5) = 1

denklemi kurularak

P_0 = \frac{2}{11}

bulunur. Soruda masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı istendiğinden

P_1 = 3 \times \frac{2}{11} = \frac{6}{11}

olarak hesaplanıp doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreci için kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini oluşturun.

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1}

genel formülünden faydalanarak

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0

ve

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1

denklemleri yazılır.

Kararlı durumda her bir durum için giriş hızları toplamı, çıkış hızları toplamına eşit olmalıdır.

2

Soruda verilen geçiş hızlarını denklemlere yerleştirerek

P_1

ve

P_2

'yi

P_0

cinsinden ifade edin.

P_1 = \frac{3}{1} P_0 = 3 P_0

P_2 = \frac{2}{4} P_1 = \frac{1}{2} (3 P_0) = 1.5 P_0

Tüm durumların olasılıklarını tek bir bilinmeyen (

P_0

) cinsinden yazarak ortak denkleme hazırlık yapmak için.

3

Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması kuralını uygulayarak

P_0

'ı bulun.

P_0 + P_1 + P_2 = 1 \implies P_0 + 3 P_0 + 1.5 P_0 = 1 \implies 5.5 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{5.5} = \frac{2}{11}

Olasılık aksiyomları gereği, sistemin tüm olası durumlarının olasılıkları toplamı daima 1 olmalıdır.

4

P_0

değerini kullanarak soruda istenen

P_1

(sistemde 1 dosya olma) olasılığını hesaplayın.

P_1 = 3 P_0 = 3 \times \frac{2}{11} = \frac{6}{11}

Soruda kararlı durumda masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları

Soru 134Soru →

Afet ve Acil Durum Yönetimi Başkanlığı (AFAD) tarafından yönetilen bölgesel bir kriz koordinasyon merkezinin günlük teyakkuz durumu, $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ durum uzayında tanımlı homojen bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu durum uzayında 1 ve 2 düşük riskli durumları, 3 değerlendirme durumunu, 4 ve 5 ise yüksek riskli durumları temsil etmektedir.

Sistemin günlük geçiş olasılıkları matrisi $P$ aşağıdaki gibi verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0{}4 & 0{}6 & 0 & 0 & 0 \\ 0{}5 & 0{}5 & 0 & 0 & 0 \\ 0{}2 & 0 & 0{}3 & 0 & 0{}5 \\ 0 & 0 & 0 & 0{}8 & 0{}2 \\ 0 & 0 & 0 & 0{}7 & 0{}3 \end{bmatrix}

Sistem başlangıçta 3 numaralı teyakkuz durumunda ( $X_0 = 3$ ) olduğuna göre, uzun dönemde sistemin 4 numaralı teyakkuz durumunda bulunma olasılığı, yani $\lim_{n \to \infty} P(X_n = 4 \mid X_0 = 3)$ limiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{5}{9}

\frac{7}{9}

\frac{7}{18}

\frac{5}{14}

\frac{2}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{9}$

Cevap

\frac{5}{9}

Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle Markov zincirindeki durumlar sınıflandırılmalıdır. Matris incelendiğinde {1, 2} durumlarının kendi içinde kapalı

C_1

sınıfını, {4, 5} durumlarının ise kendi içinde kapalı

C_2

sınıfını oluşturduğu, 3 numaralı durumun ise her iki sınıfa da geçiş verebilen bir geçici (transient) durum olduğu görülür. 3 numaralı durumdan başlayan sürecin uzun dönemde 4 numaralı durumda olma olasılığı, sistemin

C_2

sınıfına yutulma olasılığı ile

C_2

sınıfının kendi içindeki kararlı durum olasılığının çarpımına eşittir.

Geçici 3 durumundan

C_2

sınıfına yutulma olasılığı:

a_{3,C_2} = P_{3,4} + P_{3,5} + P_{3,3} \cdot a_{3,C_2} \Rightarrow a_{3,C_2} = 0 + 0{}5 + 0{}3 \cdot a_{3,C_2} \Rightarrow a_{3,C_2} = \frac{5}{7}

olarak bulunur.

C_2

sınıfı ({4, 5}) için kendi alt matrisi üzerinden kararlı durum olasılıkları hesaplandığında:

\pi_4 = 0{}8\pi_4 + 0{}7\pi_5

ve

\pi_4 + \pi_5 = 1

denklem sisteminden

\pi_4 = \frac{7}{9}

bulunur.

Sonuç olarak, istenen limit olasılığı:

\frac{5}{7} \times \frac{7}{9} = \frac{5}{9}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Markov zincirinin durumlarını sınıflandırın.

C_1 = \{1, 2\}

öz yineli (kapalı) sınıf,

C_2 = \{4, 5\}

öz yineli (kapalı) sınıf,

T = \{3\}

ise geçici (transient) durumdur.

Sınır olasılığını hesaplayabilmek için sistemin hangi alt zincirlere ayrıştığını ve yutucu yapıları belirlemek gerekir.

2

3 numaralı geçici durumdan

C_2

sınıfına (hedef sınıfa) yutulma olasılığını (

a_{3,C_2}

) hesaplayın.

a_{3,C_2} = P_{3,4} + P_{3,5} + P_{3,3} \cdot a_{3,C_2} \Rightarrow a_{3,C_2} = 0 + 0{}5 + 0{}3 \cdot a_{3,C_2} \Rightarrow 0{}7 \cdot a_{3,C_2} = 0{}5 \Rightarrow a_{3,C_2} = \frac{5}{7}

Sistem

X_0 = 3

'ten başladığı için, 4 numaralı durumun bulunduğu kapalı sınıfa nihai olarak girme ihtimalini bulmalıyız.

3

C_2

sınıfının kendi içindeki geçiş matrisini kullanarak 4 numaralı durumun kararlı (sınır) olasılığını (

\pi_4

) hesaplayın.

\pi_4 = 0{}8\pi_4 + 0{}7\pi_5

ve

\pi_4 + \pi_5 = 1

denklemlerinden

0{}2\pi_4 = 0{}7(1 - \pi_4) \Rightarrow 0{}9\pi_4 = 0{}7 \Rightarrow \pi_4 = \frac{7}{9}

elde edilir.

Sistem

C_2

sınıfına yutulduktan sonra sonsuz adımda o sınıfın kendi kararlı durum dengesine ulaşacaktır.

4

Koşullu sınır olasılığını, yutulma olasılığı ile sınıf içi kararlı durum olasılığını çarparak elde edin.

\lim_{n \to \infty} P(X_n = 4 \mid X_0 = 3) = a_{3,C_2} \times \pi_4 = \frac{5}{7} \times \frac{7}{9} = \frac{5}{9}

Toplam Olasılık Teoremi gereğince, uzun dönemde 4 numaralı durumda olma olasılığı, o duruma ev sahipliği yapan sınıfa girme olasılığı ile sınıf içindeki nihai dengenin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Geçici durumlardan yutucu (kapalı) sınıflara ulaşma (yutulma) olasılıkları ve çoklu öz yineli sınıflarda koşullu kararlı durum olasılıklarının hesaplanması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 135Soru →

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı, bir sanayi bölgesindeki günlük hava kalitesi seviyelerini izlemektedir. Modelin durum uzayı $S = \{1, 2, 3\}$ olup, bu durumlar sırasıyla 'Temiz', 'Orta' ve 'Riskli' seviyeleri ifade etmektedir. Sistemin günlük geçiş olasılıkları matrisi aşağıdaki gibidir:

P = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.2 & 0.4 & 0.4 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \end{bmatrix}

Bu Markov zincirinde tüm durumlar birbirine erişilebilir olduğundan zincir indirgenemezdir (irreducible). Sistemde geçici (transient) veya yutucu (absorbing) durum bulunmamakta olup, tüm durumlar pozitif öz yinelidir (positive recurrent). Zincir aynı zamanda aperiodik (periyodik olmayan) yapıdadır.

Buna göre, uzun dönemde (kararlı durumda) bu sanayi bölgesinde hava kalitesinin 'Riskli' ( $3$ numaralı durum) olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2}{11}

\frac{5}{11}

\frac{2}{3}

\frac{4}{11}

\frac{1}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{11}$

Cevap

Uzun dönemde hava kalitesinin 'Riskli' olma olasılığı

\frac{4}{11}

'dir.

Markov zincirlerinde uzun dönem kararlı durum olasılıkları,

\pi P = \pi

(sol özvektör) matris denklemi ve normalizasyon (

\sum \pi_i = 1

) kuralı birlikte çözülerek elde edilir. Verilen geçiş matrisinden

\pi_2 = 2.5\pi_1

ve

\pi_3 = 2\pi_1

oranları bulunur. Tüm olasılıkların toplamının

1

olması gerektiğinden

5.5\pi_1 = 1

denklemi çözülerek

\pi_1 = \frac{2}{11}

bulunur. Soru bizden 'Riskli' olan

3

numaralı durumun olasılığını (

\pi_3

) istediğinden, sonuç

\pi_3 = 2 \times \frac{2}{11} = \frac{4}{11}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kararlı durum olasılık vektörünü

\pi = [\pi_1, \pi_2, \pi_3]

olarak tanımla ve

\pi P = \pi

denklem sistemini kur.

\pi_1 = 0.5\pi_1 + 0.2\pi_2

\pi_2 = 0.5\pi_1 + 0.4\pi_2 + 0.5\pi_3

\pi_3 = 0.4\pi_2 + 0.5\pi_3

Kararlı (sınır) durum olasılıklarını bulmak için matrisin sol özvektör denklemini sağlaması gerekir.

2

Denklem sistemini çözerek değişkenleri birbirleri cinsinden (örneğin

\pi_1

cinsinden) ifade et.

Birinci denklemden:

0.5\pi_1 = 0.2\pi_2 \implies \pi_2 = 2.5\pi_1

Üçüncü denklemden:

0.5\pi_3 = 0.4\pi_2 \implies \pi_3 = 0.8\pi_2 = 0.8(2.5\pi_1) = 2\pi_1

Değişken sayısını teke düşürmek, normalizasyon kuralını uygulamayı mümkün kılar.

3

Normalizasyon kuralını (olasılıklar toplamı

1

'dir) uygula ve

\pi_1

değerini bul.

\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 \implies \pi_1 + 2.5\pi_1 + 2\pi_1 = 1 \implies 5.5\pi_1 = 1 \implies \pi_1 = \frac{1}{5.5} = \frac{2}{11}

Bulunan oransal katsayıların geçerli bir olasılık dağılımı belirtmesi için toplamlarının mutlak surette

1

olması zorunludur.

4

Soruda istenen

3

numaralı durumun ('Riskli') olasılığını (

\pi_3

) hesapla.

\pi_3 = 2\pi_1 = 2 \times \frac{2}{11} = \frac{4}{11}

Bakanlığın izlediği riskli gün oranının uzun dönem tahmini bu değere eşittir.

Anahtar Kavram

Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Sınır) Olasılıkları ve Normalizasyon

Soru 136Soru →

Büyük ölçekli bir veri merkezindeki sunucu soğutma fanları, arızalandıkları anda bekletilmeksizin yenileriyle değiştirilmekte ve bu ardışık değiştirme zamanları bir yenileme süreci (renewal process) oluşturmaktadır. Fanların çalışma ömürleri birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerdir. Bir fanın çalışma ömrünün beklenen değeri $\mu = 20$ ay ve varyansı $\sigma^2 = 100 \text{ ay}^2$ 'dir.

Buna göre, sistem çok uzun süredir faaliyette iken ( $t \to \infty$ ), rastgele seçilen ileri bir $t$ anında sistemde çalışmakta olan fanın, sisteme takıldığı andan tamamen arızalanana kadar geçen toplam çalışma ömrünün beklenen değeri kaç aydır?

12,5

20

25

30

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Rastgele bir t anını içeren yenileme aralığının beklenen uzunluğu 25 aydır.

Denetleme paradoksuna (uzunluk-yanlı örnekleme) göre, çok uzun bir süre faaliyette olan sistemde rastgele bir

t

anında denk gelinen yenileme aralığının (çalışmakta olan fanın toplam ömrünün) beklenen değeri popülasyon ortalamasından daha büyüktür. Asimptotik aralık uzunluğu

E[L(t)] = \frac{E[X^2]}{\mu}

formülü ile ifade edilir. Dağılımın ikinci momenti

E[X^2] = \mu^2 + \sigma^2 = 20^2 + 100 = 500

olarak bulunur. Beklenen toplam ömür ise

\frac{500}{20} = 25

ay olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Çalışma ömrü dağılımının ikinci momentinin (

E[X^2]

) varyans formülünden yola çıkılarak hesaplanması.

E[X^2] = \mu^2 + \sigma^2 = 20^2 + 100 = 500

Yenileme teorisinde asimptotik beklenen değer (uzunluk-yanlı dağılım) hesaplamaları doğrudan dağılımın ikinci momentini gerektirir.

2

Çok ileri bir

t

anını içeren yenileme aralığının beklenen uzunluğu için Denetleme Paradoksu (Inspection Paradox) denkleminin kurulması.

\lim_{t \to \infty} E[L(t)] = \frac{E[X^2]}{\mu}

Zaman ekseni üzerinde rastgele seçilen bir

t

noktasının, uzun ömürlü bir fana denk gelme olasılığı daha yüksek olduğundan standart popülasyon ortalaması sapmaya uğrar.

3

Elde edilen değerlerin limit formülünde yerine konularak toplam çalışma ömrünün bulunması.

\frac{500}{20} = 25

ay.

Çalışmakta olan fanın sisteme takılmasından arızalanmasına kadar geçen asimptotik beklenen toplam ömrünü verir.

Anahtar Kavram

Denetleme Paradoksu (Inspection Paradox) ve Yenileme Aralığının Asimptotik Beklenen Değeri

Soru 137Soru →

Bir Orman Genel Müdürlüğü erken uyarı merkezinde, orman yangını risk seviyesi sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci olarak modellenmektedir. Sistem üç farklı risk durumunda bulunabilmektedir: $S = \{0, 1, 2\}$ .

- $0$ : Düşük Risk
- $1$ : Orta Risk
- $2$ : Yüksek Risk

Risk seviyesindeki değişimler sadece ardışık durumlar arasında gerçekleşmektedir. Sistemin durumları arasındaki günlük geçiş oranları şu şekildedir:
- Düşük riskten orta riske geçiş oranı: $\lambda_0 = 2$
- Orta riskten yüksek riske geçiş oranı: $\lambda_1 = 1$
- Orta riskten düşük riske dönme oranı: $\mu_1 = 3$
- Yüksek riskten orta riske dönme oranı: $\mu_2 = 4$

Buna göre, sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) "Düşük Risk" ( $0$ ) durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{11}

\frac{2}{17}

\frac{4}{11}

\frac{6}{11}

\frac{3}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{6}{11}$

Cevap

Sistemin Düşük Risk (0) durumunda bulunma olasılığı

\frac{6}{11}

'dir.

Sürekli zamanlı bir doğum-ölüm sürecinde yerel denge denklemleri

\lambda_{n-1} P_{n-1} = \mu_n P_n

şeklinde kurulur. 0 ve 1 durumları için

2P_0 = 3P_1

, 1 ve 2 durumları için

1P_1 = 4P_2

eşitlikleri geçerlidir. Buradan

P_1 = \frac{2}{3}P_0

ve

P_2 = \frac{1}{4}P_1 = \frac{1}{6}P_0

elde edilir. Tüm olasılıkların toplamı 1 olacağından;

P_0(1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{6}) = 1 \implies P_0(\frac{11}{6}) = 1

denklemi çözülerek Düşük Risk durumu olasılığı

\frac{6}{11}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum-ölüm süreci için her bir ardışık durum arasındaki yerel denge (balance) denklemlerini kurunuz.

Düğüm 0 ile 1 arası:

\lambda_0 P_0 = \mu_1 P_1 \implies 2P_0 = 3P_1

Düğüm 1 ile 2 arası:

\lambda_1 P_1 = \mu_2 P_2 \implies 1P_1 = 4P_2

Kararlı durumda (steady-state), bir durumdan diğerine geçiş hızı, o durumdan geriye dönüş hızına eşit olmalıdır.

2

Tüm kararlı durum olasılıklarını (

P_1

ve

P_2

)

P_0

cinsinden ifade ediniz.

P_1 = \frac{2}{3}P_0

P_2 = \frac{1}{4}P_1 = \frac{1}{4}(\frac{2}{3}P_0) = \frac{1}{6}P_0

Olasılıkların toplamını 1'e eşitleyerek tek bilinmeyenli bir denklem elde edebilmek için tüm terimlerin aynı değişken cinsinden yazılması gerekir.

3

Normalizasyon şartını (

P_0 + P_1 + P_2 = 1

) kullanarak

P_0

değerini hesaplayınız.

P_0 + \frac{2}{3}P_0 + \frac{1}{6}P_0 = 1 \implies P_0(1 + \frac{4}{6} + \frac{1}{6}) = 1 \implies P_0(\frac{11}{6}) = 1 \implies P_0 = \frac{6}{11}

Bir Markov sürecinde sistemin alabileceği tüm durumların olasılıklarının toplamı her zaman 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları ve Yerel Denge Denklemleri

Alternatif Yöntem

Sürecin geçiş oranları matrisi (Infinitesimal Generator Matrix - Q matrisi) kullanılarak genel çözüm yapılabilir. Matris:

Q = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 3 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & -4 \end{bmatrix}

şeklindedir.

\pi Q = 0

ve

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1

denklem sistemi çözüldüğünde

\pi_0

değeri doğrudan elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 138Soru →

Bir gümrük kapısına gelen tırların sayısı, saatte ortalama $\lambda = 2$ tır oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir.

Buna göre, bu stokastik süreçle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Ardışık iki tırın geliş zamanları arasındaki süre, beklenen değeri 30 dakika olan üstel dağılıma sahiptir.

Herhangi bir 3 saatlik periyotta gümrük kapısına tam olarak 4 tır gelme olasılığı

\frac{2^4 e^{-2}}{4!}

formülü ile hesaplanır.

Belirli bir tırın gelişinden sonra, bir sonraki tırın gelmesine kadar geçen sürenin dağılımı

\lambda = 2

parametreli Poisson dağılımıdır.

Sürecin

(0, 2]

saatleri arasındaki tır geliş sayısı ile

(1, 3]

saatleri arasındaki tır geliş sayısı birbirinden bağımsız rastgele değişkenlerdir.

Sürecin herhangi bir

t

saatlik zaman diliminde gelen tır sayısının varyansı

2t^2

değerine eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ardışık iki tırın geliş zamanları arasındaki süre, beklenen değeri 30 dakika olan üstel dağılıma sahiptir.

Cevap

Ardışık iki tırın geliş zamanları arasındaki süre, beklenen değeri 30 dakika olan üstel dağılıma sahiptir.

Poisson süreçlerinin doğası gereği, iki olay arasında geçen bekleme süresi Üstel (Exponential) dağılıma sahiptir. Parametresi saatlik

\lambda = 2

olan bir dağılımda, beklenen bekleme süresi

1/\lambda = 1/2

saattir. Bu da 30 dakikaya eşdeğerdir ve ifade tamamen doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Sürecin temel oran parametresini ve birimini belirlemek.

Geliş oranı

\lambda = 2

tır/saat olarak verilmiştir.

Olay sayısını ve zamanlar arası dağılımı hesaplayabilmek için referans oranın tespiti gereklidir.

2

Poisson sürecinin gelişler arası zaman (interarrival time) dağılımını ve beklenen değerini formüle etmek.

Gelişler arası süre

T \sim Exp(2)

dağılımına sahiptir. Beklenen değer

E[T] = 1/\lambda = 1/2

saat (30 dakika) olarak bulunur.

Zaman içinde homojen olan Poisson sürecinin temel özelliklerinden biri, bekleme sürelerinin üstel dağılım göstermesidir.

3

Diğer seçeneklerde yer alan iddiaları Poisson dağılımı kuralları ile test etmek.

Artışların bağımsızlığı için aralıkların kesişmemesi gerektiği,

t

aralığındaki olay sayısının oranının

\lambda t

olarak revize edilmesi gerektiği ve varyansın

\lambda t

olduğu doğrulanarak yanlış seçenekler elenir.

Poisson sürecinde yapılan yaygın konsept hatalarını filtrelemek.

Anahtar Kavram

Poisson sürecinde beklenen değer, bağımsız artışlar ve gelişler arası sürenin Üstel dağılım göstermesi

Soru 139Soru →

Devlet Su İşleri (DSİ) tarafından yönetilen bir hidroelektrik santralinin aylık ortalama baraj doluluk seviyesi üç farklı durumda sınıflandırılmaktadır:
1: Kritik Seviye
2: Uygun Seviye
3: Tam Kapasite

Sistemin aydan aya doluluk seviyeleri arasındaki geçiş olasılıkları aşağıdaki geçiş matrisi ( $P$ ) ile modellenmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0{}6 & 0{}4 & 0 \\ 0{}2 & 0{}5 & 0{}3 \\ 0 & 0{}6 & 0{}4 \end{bmatrix}

Bu stokastik modele göre, barajın uzun dönemde (kararlı durumda) "Kritik Seviye" (1 numaralı durum) durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0{}60

0{}50

0{}25

0{}40

0{}33

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0{}25$

Cevap

Sistemin uzun dönemde "Kritik Seviye" durumunda bulunma olasılığı

0{}25

'tir.

Kararlı durum (sınır) olasılıkları

\pi P = \pi

ve

\sum \pi_i = 1

denklemleri çözülerek bulunur.

\pi_1 = 0{}6\pi_1 + 0{}2\pi_2

eşitliğinden

\pi_2 = 2\pi_1

elde edilir. Aynı şekilde 3. sütun eşitliği olan

\pi_3 = 0{}3\pi_2 + 0{}4\pi_3

ifadesinden

\pi_3 = 0{}5\pi_2 = \pi_1

sonucuna ulaşılır. Toplam olasılık 1 olması gerektiğinden;

\pi_1 + 2\pi_1 + \pi_1 = 4\pi_1 = 1

denklemi kurulur ve buradan Kritik Seviye durumunun kararlı durum olasılığı

\pi_1 = 0{}25

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kararlı durum olasılık vektörünün (

\pi = [\pi_1, \pi_2, \pi_3]

) sağlaması gereken temel denklemleri kurmak.

\pi P = \pi

ve

\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1

denklemleri oluşturulur.

Ergodik bir Markov zincirinde sistemin uzun dönem olasılıkları, geçiş matrisinin toplamı 1 olan sol özvektörü bulunarak hesaplanır.

2

Matris çarpımını gerçekleştirerek

\pi_1, \pi_2, \pi_3

değişkenleri arasındaki eşitlikleri yazmak.

1. sütun için:

\pi_1 = 0{}6\pi_1 + 0{}2\pi_2 \implies 0{}4\pi_1 = 0{}2\pi_2 \implies \pi_2 = 2\pi_1

3. sütun için:

\pi_3 = 0{}3\pi_2 + 0{}4\pi_3 \implies 0{}6\pi_3 = 0{}3\pi_2 \implies \pi_3 = 0{}5\pi_2 = 0{}5(2\pi_1) = \pi_1

Denklem sistemini çözebilmek için tüm bilinmeyenleri tek bir değişken (

\pi_1

) cinsinden ifade etmek.

3

Elde edilen ifadeleri toplam olasılık denkleminde yerine koyarak

\pi_1

değerini hesaplamak.

\pi_1 + 2\pi_1 + \pi_1 = 1 \implies 4\pi_1 = 1 \implies \pi_1 = 0{}25

Soruda istenilen 1 numaralı durumun (Kritik Seviye) sınır olasılığını bulmak.

Anahtar Kavram

Kararlı Durum (Sınır) Olasılıkları

Soru 140Soru →

Bir devlet hastanesinin acil servisindeki hasta kabul biriminin yoğunluk seviyesi, durum uzayı $S = \{1, 2, 3\}$ olan sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmektedir (1: Düşük, 2: Orta, 3: Yüksek yoğunluk). Bu sürece ait birim saat cinsinden geçiş oranlarını gösteren infinitezimal üreteç (jeneratör) matrisi $Q$ aşağıda verilmiştir:

Q = \begin{pmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 5 & -7 & 2 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}

Buna göre, acil servisin uzun dönemde (kararlı durumda) "Orta" (Durum 2) yoğunluk seviyesinde bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{12}{23}

0

\frac{12}{35}

\frac{1}{2}

\frac{3}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{12}{35}$

Cevap

Uzun dönemde sistemin Durum 2'de bulunma olasılığı

\frac{12}{35}

'tir.

Sürekli zamanlı bir Markov zincirinde kararlı durum olasılık vektörü

\pi = [\pi_1, \pi_2, \pi_3]

,

\pi Q = 0

sistemini sağlar. Bu çarpımdan sırasıyla

-4\pi_1 + 5\pi_2 = 0

(bu da

\pi_1 = 1.25\pi_2

demektir) ve

2\pi_2 - 3\pi_3 = 0

(bu da

\pi_3 = (2/3)\pi_2

demektir) eşitlikleri bulunur. Sistemin tüm olasılıkları toplamı 1 olacağından;

\frac{5}{4}\pi_2 + 1\pi_2 + \frac{2}{3}\pi_2 = 1

denklemi yazılır. Ortak payda (12) kullanılarak toplandığında

\frac{35}{12}\pi_2 = 1

elde edilir. Buradan Durum 2'nin uzun dönem olasılığı olan

\pi_2

,

\frac{12}{35}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kararlı durum (steady-state) denklemlerini (

\pi Q = 0

) kurmak.

-4\pi_1 + 5\pi_2 = 0

ve

2\pi_2 - 3\pi_3 = 0

dengeleri elde edilir.

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde uzun dönem olasılıkları, olasılık vektörü ile üreteç matrisinin çarpımının sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.

2

Tüm durum olasılıklarını

\pi_2

cinsinden ifade etmek.

\pi_1 = \frac{5}{4}\pi_2

ve

\pi_3 = \frac{2}{3}\pi_2

olarak yazılır.

Olasılıkları tek bir bilinmeyene indirgeyerek toplam kuralını kolayca uygulayabilmek için bu işlem yapılır.

3

Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması kuralını (

\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1

) uygulamak.

\frac{5}{4}\pi_2 + \pi_2 + \frac{2}{3}\pi_2 = 1 \implies \left(\frac{15}{12} + \frac{12}{12} + \frac{8}{12}\right)\pi_2 = 1 \implies \frac{35}{12}\pi_2 = 1

.

Sistemin herhangi bir anda mutlaka durum uzayındaki konumlardan birinde bulunması gerektiğinden, olasılıklar toplamı daima 1'dir.

4

Denklemi çözerek

\pi_2

değerini yalnız bırakmak.

\pi_2 = \frac{12}{35}

sonucu elde edilir.

Kararlı durumda 'Orta' yoğunluk seviyesinin olasılığı doğrudan

\pi_2

değişkenine eşittir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları

Stokastik Süreçler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar