Farklı Büyüklüklü Kümelerde Ortalama ve Toplam Tahmini Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir bölgedeki $N = 200$ adet üretim kooperatifinden (küme) basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 4$ adet kooperatif seçilmiştir. Seçilen kooperatiflerdeki ortak sayıları ( $M_i$ ) ve yıllık toplam üretim miktarları ( $y_i$ , ton cinsinden) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kooperatif	Ortak Sayısı ( $M_i$ )	Toplam Üretim ( $y_i$ )
1	10	500
2	20	800
3	15	600
4	15	900

Buna göre, farklı büyüklüklü küme örneklemesi yöntemini kullanarak bölgedeki tüm kooperatiflerin yıllık toplam üretim miktarının ( $\hat{Y}$ ) tahmini kaç tondur?

140.000

2.800

47,50

46,67

560.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140.000

Cevap

Bölgedeki kooperatiflerin tahmini toplam yıllık üretim miktarı 140.000 tondur.

Küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini (

\hat{Y}

), örneklemdeki küme toplamlarının toplamının (

"\sum y_i"

) büyütme katsayısı olan

N/n

ile çarpılmasıyla hesaplanır. Verilen problemde örneklem toplamı

2800

ton, büyütme faktörü ise

200/4 = 50

olduğu için tahmin değeri

140.000

ton olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki tüm kümelerin üretim miktarlarını toplayarak örneklem toplamını (

"\sum y_i"

) bulun.

500 + 800 + 600 + 900 = 2800

ton

Kitle toplamını tahmin etmek için öncelikle seçilen birimlerdeki toplam değerin bilinmesi gerekir.

2

Kitledeki küme sayısının (

N

) örneklemdeki küme sayısına (

n

) oranını hesaplayarak büyütme faktörünü bulun.

200 / 4 = 50

Küme örneklemesinde örneklem sonuçlarını kitleye genelleyebilmek için her bir kümenin kitlede kaç kümeyi temsil ettiğini gösteren katsayıdır.

3

Örneklem toplamını büyütme faktörü ile çarparak kitle toplamı tahminini (

"\hat{Y}"

) elde edin.

\hat{Y} = 50 \times 2800 = 140.000

ton

Kitle toplamı tahmini, örneklem toplamının kitleyi temsil edecek şekilde genişletilmesi prensibine dayanır.

Anahtar Kavram

Farklı büyüklüklü küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini, örneklemdeki küme toplamlarının büyütme faktörü (

N/n

) ile çarpılması esasına dayanır; bu tahminleyici küme büyüklükleri (

M_i

) bilinmese dahi toplamın yansız bir tahminini verir.

Daha Fazla Pratik

Aynı veri setini kullanarak kitle ortalamasının (birim başına üretim) oran tahminleyicisi yöntemiyle nasıl hesaplandığını tekrar edebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir ildeki $N = 100$ hastanenin doluluk oranlarını inceleyen bir araştırmacı, basit rastgele örnekleme ile $n = 3$ hastane seçmiştir. Seçilen hastanelerdeki toplam yatak sayıları ( $M_i$ ) ve o günkü dolu yatak sayıları ( $y_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hastane	Yatak Sayısı ( $M_i$ )	Dolu Yatak Sayısı ( $y_i$ )
1	50	40
2	100	90
3	150	110

Buna göre, bu ildeki hastaneler için yatak başına düşen ortalama doluluk oranı tahmini kaçtır?

0,75

0,80

0,81

80,00

240,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,80

Cevap

Yatak başına düşen ortalama doluluk oranı tahmini 0,80'dir.

Küme örneklemesinde kümeler (hastaneler) farklı sayıda birim (yatak) içerdiğinde, kitle ortalaması 'oran tahminleyicisi' yöntemiyle hesaplanır. Örneklemdeki toplam olay sayısının (240 dolu yatak), örneklemdeki toplam birim sayısına (300 yatak) bölünmesiyle 0,80 sonucuna ulaşılır. Bu yöntem, büyük kümelerin tahmini daha fazla etkilemesini sağlayarak doğru ağırlıklandırma yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki toplam dolu yatak sayısını (

\sum y_i

) hesaplayınız.

40 + 90 + 110 = 240

Kitle ortalamasının pay kısmını oluşturacak toplam değeri bulmak için.

2

Örneklemdeki toplam yatak kapasitesini (

\sum M_i

) hesaplayınız.

50 + 100 + 150 = 300

Kümelerin farklı büyüklüklerini hesaba katmak amacıyla toplam birim sayısını belirlemek için.

3

Toplam dolu yatak sayısını toplam yatak sayısına oranlayarak tahmini bulunuz.

\hat{\bar{Y}} = \frac{240}{300} = 0,80

Farklı büyüklüklü kümelerde birim başına ortalama, oran tahminleyicisi mantığıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Farklı büyüklüklü kümelerde kitle ortalaması tahmini yapılırken, her kümenin ağırlığı içerdiği birim sayısı ile doğru orantılı olmalıdır. Bu nedenle basit ortalama yerine oran tahminleyicisi (

\sum y / \sum M

) kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Bu veriler kullanılarak kitle toplam doluluk miktarının (

\hat{Y}

) nasıl tahmin edileceğini düşününüz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir eğitim müfettişi, bir bölgedeki $N = 80$ ilköğretim okulunun kütüphanelerindeki toplam kitap envanterini belirlemek istemektedir. Okullar farklı büyüklükte (farklı kütüphane sayılarına sahip) olduğu için küme örneklemesi yöntemine başvurulmuştur. Basit rastgele örnekleme ile seçilen $n = 4$ okulun verileri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Okul No	Kütüphane Sayısı ( $M_i$ )	Toplam Kitap Sayısı ( $y_i$ )
1	5	15.000
2	8	22.000
3	4	13.000
4	3	10.000

Bu bilgilere göre, kitle toplamı ( $\hat{Y}$ ) tahmin edicisi kullanılarak bölgedeki tüm okulların kütüphanelerindeki toplam kitap sayısı tahmini kaçtır?

1.200.000

60.000

3.083

1.233.320

3.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.200.000

Cevap

Bölgedeki okulların tamamındaki toplam kitap sayısı tahmini 1.200.000'dir.

Küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini, seçilen kümelerdeki toplam değerlerin toplamının (

60.000

), kitle hacminin örneklem hacmine oranını ifade eden büyütme faktörü (

80/4 = 20

) ile çarpılmasıyla bulunur. Bu işlem sonucunda

1.200.000

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme dahil edilen kümelerin (okulların) toplam kitap sayılarını toplayın.

\sum_{i=1}^{4} y_i = 15.000 + 22.000 + 13.000 + 10.000 = 60.000

Kitle toplamı tahmini için öncelikle örneklemdeki toplam gözlem değerine ihtiyaç duyulur.

2

Kitledeki toplam küme sayısını örneklemdeki küme sayısına bölerek büyütme (genişletme) faktörünü hesaplayın.

N / n = 80 / 4 = 20

Bu faktör, örneklem değerinin kitle geneline ne oranda yansıtılacağını belirler.

3

Örneklem toplamını büyütme faktörü ile çarparak kitle toplamı tahminine ulaşın.

\hat{Y} = \frac{N}{n} \sum y_i = 20 \times 60.000 = 1.200.000

Küme örneklemesinde kitle toplamının yansız tahmin edicisi bu formülle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Küme Örneklemesinde Toplam Tahmini

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Bir ilçe tarım müdürlüğü, ilçedeki $N = 60$ köyde (küme) bulunan büyükbaş hayvan sayılarını incelemektedir. Köylerdeki hane sayıları ( $M_i$ ) birbirinden farklıdır. İlçedeki toplam hane sayısının $M = 3000$ olduğu bilinmektedir. Basit rastgele örnekleme ile seçilen $n = 3$ köydeki veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Köy No	Hane Sayısı ( $M_i$ )	Toplam Hayvan Sayısı ( $y_i$ )
1	40	200
2	50	150
3	10	100

Bu verilere göre, ilçedeki toplam büyükbaş hayvan sayısı için oran tahminleyicisi (ratio estimator) kullanılarak elde edilen tahmin değeri kaçtır?

13500

18000

9000

450

15000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13500

Cevap

İlçedeki toplam büyükbaş hayvan sayısı tahmini 13500 olarak hesaplanır.

Oran tahminleyicisi, örneklemden elde edilen birim başına düşen ortalama değerin (

\hat{R}

), kitledeki toplam birim sayısı (

M

) ile çarpılması esasına dayanır. Verilen örneklemde toplam 450 hayvan 100 hane üzerinde gözlenmiştir, bu da hane başına 4,5 hayvan düştüğünü gösterir. Kitledeki 3000 hane için bu değer 13500 hayvan sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki toplam hayvan sayısı (y) ve toplam hane sayısının (M) hesaplanması

\sum y_i = 200 + 150 + 100 = 450

ve

\sum M_i = 40 + 50 + 10 = 100

Oran tahminleyicisi için örneklem toplamlarının oranına ihtiyaç duyulur.

2

Örneklem oran katsayısının (R) hesaplanması

\hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum M_i} = \frac{450}{100} = 4,5

Hane başına düşen ortalama hayvan sayısını temsil eden ağırlıklı oran değerini bulmak için.

3

Kitle toplamı tahmininin (Y_r) hesaplanması

\hat{Y}_r = M \times \hat{R} = 3000 \times 4,5 = 13500

Kitledeki toplam hane sayısı bilindiği için oran tahminleyicisi bu değerle çarpılarak kitle toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Farklı büyüklüklü kümelerde oran tahminleyicisi, kümelerin toplam içindeki ağırlıklarını (birim sayılarını) dikkate alarak daha etkin bir tahmin sağlar.

Soru 5Soru →

Bir tekstil firmasının bünyesinde bulunan $N = 200$ adet atölyedeki (küme) günlük üretim miktarları incelenmektedir. Atölyelerdeki makine sayıları ( $M_i$ ) farklılık göstermektedir. Basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen $n = 4$ atölyeye ilişkin gözlem değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Atölye	Makine Sayısı ( $M_i$ )	Günlük Üretim ( $y_i$ , adet)
1	12	240
2	8	180
3	15	330
4	5	100

Buna göre, bu firmadaki toplam günlük üretim miktarının tahmini kaçtır?

42500

850

170000

212,5

21,25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42500

Cevap

Firmanın toplam günlük üretim tahmini 42500 adettir.

Küme örneklemesinde kitle toplamını (

\hat{Y}

) bulmak için örneklemdeki tüm kümelerin toplam değerleri toplanır ve bu değer kitledeki küme sayısının örneklemdeki küme sayısına oranıyla (

N/n

) çarpılır. Bu örnekte

850 \times (200/4) = 42500

sonucu doğru tahmindir.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme seçilen kümelerin (atölyelerin) toplam üretim miktarlarını toplayın.

\sum_{i=1}^{4} y_i = 240 + 180 + 330 + 100 = 850

adet.

Kitle toplamını tahmin etmek için önce örneklem toplamına ihtiyaç duyulur.

2

Kitle büyüklüğü (

N

) ve örneklem büyüklüğü (

n

) kullanılarak genişletme faktörünü belirleyin.

Genişletme Faktörü

= \frac{N}{n} = \frac{200}{4} = 50

.

Örneklem değerlerinin tüm kitleyi temsil edebilmesi için kitle/örneklem oranında büyütülmesi gerekir.

3

Örneklem toplamını genişletme faktörü ile çarparak kitle toplamını tahmin edin.

\hat{Y} = \frac{N}{n} \sum y_i = 50 \times 850 = 42500

.

Küme örneklemesinde kitle toplamının yansız tahminleyicisi bu formül ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Küme örneklemesinde kümeler basit rastgele örnekleme ile seçildiğinde, kitle toplamı tahmini örneklem toplamının genişletme faktörü (

N/n

) ile çarpılmasıyla elde edilir.

Daha Fazla Pratik

Aynı veri seti için 'makine başına düşen ortalama üretim' tahmini yaparak küme büyüklüklerinin (Mi) tahmine olan etkisini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumu, bünyesindeki $N = 150$ vergi dairesinde (küme) gerçekleştirilen yıllık işlem sayılarını araştırmaktadır. Tüm vergi dairelerindeki toplam personel sayısı $M = 15.000$ olarak bilinmektedir. Basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen $n = 3$ vergi dairesine ilişkin veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Vergi Dairesi	Personel Sayısı ( $M_i$ )	İşlem Sayısı ( $y_i$ )
1	50	1.000
2	150	4.500
3	100	2.500

Bu verilere göre, tüm vergi dairelerindeki toplam işlem sayısının (kitle toplamı) tahmini değeri kaçtır?

8.000

24.000

375.000

400.000

1.200.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 400.000

Cevap

Vergi dairelerindeki tahmini toplam işlem sayısı 400.000'dir.

Küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini

\hat{Y} = \frac{N}{n} \sum y_i

formülü ile hesaplanır. Burada

N=150

,

n=3

ve örneklemdeki işlem toplamı

\sum y_i = 8.000

'dir. Dolayısıyla

\hat{Y} = 50 \times 8.000 = 400.000

sonucu elde edilir. Alternatif olarak, kitle birim sayısı (

M

) bilindiği için oran tahminleyicisi (

\hat{Y} = M \frac{\sum y_i}{\sum M_i}

) kullanıldığında da

15.000 \times (8.000 / 300) = 400.000

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki toplam işlem sayısını (

∑ y_i

) hesaplayınız.

1.000 + 4.500 + 2.500 = 8.000

Kitle toplamını tahmin etmek için önce örneklemdeki toplam gözlem değerine ihtiyaç duyulur.

2

Kümeler için büyütme faktörünü (

N/n

) belirleyiniz.

150 / 3 = 50

Kitledeki toplam küme sayısının örneklemdeki küme sayısına oranı, örneklem sonuçlarını kitleye genelleyen çarpandır.

3

Kitle toplamı tahmin edicisini (

Ŵ

) hesaplayınız.

Ŵ = (N/n) × ∑ y_i = 50 × 8.000 = 400.000

Küme örneklemesinde kitle toplamı, örneklem toplamının genişletilmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Küme Örneklemesinde Toplam Tahmini

Daha Fazla Pratik

Varyans tahmini yapılırken sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) hangi durumlarda eklendiğini tekrar ediniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 7Soru →

Bir orman işletme şefliği, bölgesindeki toplam $N = 100$ orman parselinde (küme) bulunan toplam ağaç sayısını tahmin etmek istemektedir. Her parselin büyüklüğü (hektar, $M_i$ ) ve içindeki ağaç yoğunluğu farklılık göstermektedir. Basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen $n = 4$ parsele ait veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Parsel No	Alan ( $M_i$ - hektar)	Ağaç Sayısı ( $y_i$ )
1	4	480
2	6	900
3	10	1400
4	20	2220

Buna göre, orman işletme şefliğinin sorumluluk alanındaki toplam ağaç sayısı tahmini ( $\hat{Y}$ ) kaçtır?

125.000

130,25

5.000

1.250

125

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 125.000

Cevap

Toplam ağaç sayısı tahmini 125.000'dir.

Doğru tahmin için öncelikle örneklemdeki tüm parsellerin toplam ağaç sayıları toplanarak 5.000 değeri elde edilir. Kitlede toplam 100 parsel olduğu ve bunlardan 4 tanesi seçildiği için, örneklem toplamı 25 (

100/4

) katına çıkarılarak kitle geneli için 125.000 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki kümelerin (parsellerin) toplam değerlerini toplayın.

\sum_{i=1}^{4} y_i = 480 + 900 + 1400 + 2220 = 5000

ağaç.

Kitle toplamı tahmini için örneklemden elde edilen toplam veri hacmi gereklidir.

2

Kitle büyüklüğü (

N

) ve örneklem büyüklüğü (

n

) arasındaki büyütme faktörünü hesaplayın.

\frac{N}{n} = \frac{100}{4} = 25

.

Basit rastgele küme örneklemesinde örneklem sonuçlarını kitleye genelleyebilmek için bu çarpan kullanılır.

3

Kitle toplamı tahmin formülünü uygulayın.

\hat{Y} = \frac{N}{n} \sum y_i = 25 \times 5000 = 125.000

ağaç.

Küme örneklemesinde toplamın yansız tahmin edicisi bu formül ile elde edilir.

Anahtar Kavram

Farklı büyüklüklü kümelerde toplam tahmini için küme toplamlarının (

Σy_i

) kitledeki küme sayısına (

N

) oranlanarak genişletilmesi gerekir.

Daha Fazla Pratik

Aynı veri seti üzerinden oran tahminleyicisi kullanarak hektar başına düşen ortalama ağaç sayısının varyansını hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8Soru →

Bir yerel yönetim, bölgesindeki toplam $N = 50$ mahallede (küme) bulunan hanelerin aylık ortalama su tüketimini tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla basit rastgele örnekleme ile seçilen $n = 4$ mahalledeki hane sayıları ( $M_i$ ) ve mahalle bazındaki toplam su tüketim miktarları ( $y_i$ , $m^3$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Mahalle	Hane Sayısı ( $M_i$ )	Toplam Tüketim ( $y_i$ )
1	$20$	$400$
2	$30$	$540$
3	$50$	$800$
4	$100$	$1.460$

Buna göre, küme örneklemesi yöntemine göre hane başına düşen aylık ortalama su tüketimi tahmini kaç $m^3$ olarak hesaplanır?

15,0

16,0

800,0

64,0

14,6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15,0$

Cevap

Hane başına düşen aylık ortalama su tüketimi tahmini

15,0

m^3

olarak hesaplanır.

Farklı büyüklüklü kümelerin kullanıldığı küme örneklemesinde, kitle ortalamasının tahmini için oransal tahmin edici kullanılır. Örneklemdeki tüm kümelerin toplam tüketim miktarı olan

3.200

m^3

değeri, örneklemdeki toplam birim (hane) sayısı olan

200

'e bölündüğünde birim başına düşen ortalama tüketim

16,0

m^3

olarak bulunur. Not: İşlem adımında

1.460 + 800 + 540 + 400 = 3.200

ve

100+50+30+20 = 200

değerleri kullanılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki toplam gözlem birimi (hane) sayısını hesaplayın.

\sum_{i=1}^{4} M_i = 20 + 30 + 50 + 100 = 200

Oransal tahmin edicide payda kısmında yer alacak olan toplam birim sayısını belirlemek için gereklidir.

2

Örneklemdeki ilgilenilen değişkenin (su tüketimi) toplam değerini hesaplayın.

\sum_{i=1}^{4} y_i = 400 + 540 + 800 + 1.460 = 3.200

Tahmin edicinin pay kısmını oluşturacak toplam tüketim miktarını bulmak için gereklidir.

3

Kitle ortalaması için oransal tahmin edici formülünü uygulayın.

\hat{\bar{Y}}_{cl} = \frac{\sum y_i}{\sum M_i} = \frac{3.200}{200} = 16,0

(İşlem kontrolü:

32 / 2 = 16

. Hata düzeltme:

3.200 / 200 = 16,0

)

Farklı büyüklüklü kümelerde birim başına düşen ortalamanın en etkin tahmini toplamların birbirine oranlanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Küme örneklemesinde farklı büyüklüklü kümelerle çalışırken, kitle ortalaması tahmini için kümelerin büyüklüklerine (birim sayılarına) göre ağırlıklandırılmış bir yaklaşım olan oransal tahmin edici (

\hat{\bar{Y}}_{cl} = \frac{\sum y_i}{\sum M_i}

) kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Aynı veri setini kullanarak kitle toplamı tahmini yapmak için

\hat{Y} = \frac{N}{n} \sum y_i

formülünü uygulayarak genişletme katsayısının etkisini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Bir lojistik firması, bünyesindeki $N = 40$ farklı dağıtım merkezindeki paketlerin ortalama ağırlığını tahmin etmek amacıyla $n = 4$ dağıtım merkezini (küme) basit rastgele örnekleme ile seçmiştir. Seçilen merkezlerdeki paket sayıları ( $M_i$ ) ve bu merkezlerdeki paketlerin toplam ağırlıkları ( $y_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Merkez No	Paket Sayısı ( $M_i$ )	Toplam Ağırlık ( $y_i$ - kg)
1	10	50
2	20	120
3	15	60
4	5	40

Buna göre, lojistik firmasının tüm merkezlerindeki paketlerin birim başına düşen kitle ortalama ağırlık tahmini kaç kg'dır?

5,4

5,75

12,5

67,5

270

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5,4

Cevap

Paket başına kitle ortalama ağırlık tahmini 5,4 kg'dır.

Doğru tahmin, örneklemdeki tüm paketlerin toplam ağırlığının (270 kg) yine örneklemdeki toplam paket sayısına (50 adet) bölünmesiyle elde edilen 5,4 değeridir. Bu yöntem, her paketin tahmine eşit ağırlıkla katılmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki toplam paket sayısını (

\sum M_i

) ve toplam ağırlığı (

\sum y_i

) hesaplayın.

\sum M_i = 10 + 20 + 15 + 5 = 50

paket;

\sum y_i = 50 + 120 + 60 + 40 = 270

kg.

Farklı büyüklüklü kümelerde ortalama tahmini için örneklemdeki toplam gözlem değeri ve toplam birim sayısı gereklidir.

2

Kitle ortalaması tahmin edicisini (

\hat{\bar{Y}}

) uygulayın.

\hat{\bar{Y}} = \frac{\sum y_i}{\sum M_i} = \frac{270}{50} = 5,4

.

Farklı büyüklüklü kümelerde kitle ortalaması, kümelerin toplam değerlerinin kümelerin büyüklükleri toplamına oranı (oran tahminleyicisi yapısı) ile bulunur.

Anahtar Kavram

Farklı büyüklüklü kümelerde ortalama tahmini, birimlerin toplam değerinin toplam birim sayısına oranlanmasıyla (oran tipi tahminleyici) hesaplanır.

Soru 10Soru →

Sağlık Bakanlığı, bir bölgedeki $N = 50$ ilçede (küme) faaliyet gösteren Aile Sağlığı Merkezlerindeki (ASM) toplam uzman hekim sayısını tahmin etmek istemektedir. Bölgedeki toplam ASM sayısı biliniyor olup $M_0 = 400$ 'dür. Rastgele seçilen $n = 4$ ilçeye ait ASM sayıları ( $M_i$ ) ve bu ilçelerdeki toplam uzman hekim sayıları ( $y_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

İlçe ( $i$ )	ASM Sayısı ( $M_i$ )	Uzman Hekim Sayısı ( $y_i$ )
1	8	20
2	12	42
3	10	26
4	10	32

Bu verilere göre, oran tahminleyicisi (ratio estimator) kullanılarak hesaplanan bölgedeki **toplam uzman hekim sayısı tahmini ( $\hat{Y}_R$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y}_R)$ )** sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

1.500

ve

50.600

1.200

ve

15.000

1.200

ve

13.800

1.180

ve

8.464

120

ve

5,52

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1.200$ ve $13.800$

Cevap

Doğru cevap, sırasıyla

1.200

ve

13.800

değerlerini içeren seçenektir.

Oran tahminleyicisi formülleri sırasıyla uygulandığında, birim ortalaması

120/40=3

olarak bulunur. Toplam tahmini

400 \times 3 = 1.200

'dür. Varyans için hesaplanan artıkların (

e_i

) varyansı

s_r^2 = 24

'tür. Toplam varyans formülü

\hat{V}(\hat{Y}_R) = N^2 \frac{1-f}{n} s_r^2

işletildiğinde,

2500 \times 0,23 \times 24 = 13.800

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki birim başına düşen ortalama uzman hekim sayısını oran tahminleyicisi (

\hat{\bar{y}}

) ile hesaplayın.

\sum M_i = 8 + 12 + 10 + 10 = 40

\sum y_i = 20 + 42 + 26 + 32 = 120

\hat{\bar{y}} = \frac{\sum y_i}{\sum M_i} = \frac{120}{40} = 3

uzman hekim / ASM.

Farklı büyüklüklü kümelerde küme büyüklüklerini (ağırlıkları) dikkate alan en etkin tahminleyici oran tahminleyicisidir.

2

Evrendeki toplam uzman hekim sayısını (

\hat{Y}_R

) tahmin edin.

\hat{Y}_R = M_0 \times \hat{\bar{y}} = 400 \times 3 = 1.200

uzman hekim.

Birim başına düşen ortalama değeri, evrendeki toplam birim sayısı (

M_0

) ile çarparak evren toplamına ulaşılır.

3

Varyans hesabı için küme toplamları ile beklenen toplamlar arasındaki farkları (artıkları,

e_i

) ve artıkların örneklem varyansını (

s_r^2

) bulun.

e_i = y_i - \hat{\bar{y}} M_i = y_i - 3M_i

e_1 = 20 - 24 = -4

e_2 = 42 - 36 = 6

e_3 = 26 - 30 = -4

e_4 = 32 - 30 = 2

s_r^2 = \frac{\sum e_i^2}{n-1} = \frac{(-4)^2 + 6^2 + (-4)^2 + 2^2}{3} = \frac{16 + 36 + 16 + 4}{3} = \frac{72}{3} = 24

.

Oran tahminleyicisinin varyansı, gözlenen

y_i

değerleri ile oran üzerinden beklenen değerlerin (

3 M_i

) farkından oluşan artıklar (

e_i

) üzerinden hesaplanır.

4

Toplam tahmininin varyansını (

\hat{V}(\hat{Y}_R)

) formüle göre hesaplayın.

\hat{V}(\hat{Y}_R) = N^2 \frac{1-f}{n} s_r^2

f = \frac{n}{N} = \frac{4}{50} = 0,08

\hat{V}(\hat{Y}_R) = 50^2 \times \frac{1 - 0,08}{4} \times 24 = 2500 \times \frac{0,92}{4} \times 24 = 2500 \times 0,23 \times 24 = 575 \times 24 = 13.800

.

Toplam tahmininin varyans formülünde evrendeki küme sayısının karesi (

N^2

) ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (

1-f

) dikkate alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisi ile evren toplamı ve varyans hesabı

Farklı Büyüklüklü Kümelerde Ortalama ve Toplam Tahmini

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar