Examkin

Durağan Zaman Serisi Modelleri

87 soru

Soru 81Soru →

Durağanlaştırılmış bir makroekonomik zaman serisinin analizi kapsamında, tahmin edilen bir modeline ilişkin şu diagnostik bulgular elde edilmiştir:

I. Serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinde, ilk 3 gecikmeye ait otokorelasyon katsayıları istatistiksel olarak anlamlı bulunmuş; 4. gecikmeden itibaren katsayılar aniden güven sınırları içine düşerek kesilmiştir.
II. Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinde, katsayılar dalgalı bir yapı sergileyerek asimptotik olarak yavaşça sönümlenmektedir.
III. Modelin hareketli ortalama bileşenini temsil eden karakteristik denklemin (Θ(B)=0\Theta(B) = 0) köklerinden en az birinin mutlak değerce 1'den küçük (∣B∣<1|B| < 1) olduğu saptanmıştır.

Elde edilen bu bulgulara göre, modellenen zaman serisi süreci ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model, durağanlık koşulunu sağlayan ancak tersinir (invertible) olmayan bir MA(3) sürecidir.

Cevap

Model, durağanlık koşulunu sağlayan ancak tersinir (invertible) olmayan bir MA(3) sürecidir.
Verilen bulgular sistematik olarak incelendiğinde; ACF'nin 3. gecikmede kesilmesi ve PACF'nin sönümlenmesi Box-Jenkins metodolojisine göre sürecin doğrudan MA(3) olduğuna işaret eder. Hareketli ortalama süreçleri sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin doğrusal birleşimi olduğundan varyansları daima sonludur ve bu yüzden istisnasız olarak durağandırlar. Ancak modelin otoregresif bir formda ifade edilebilmesi için gerekli olan tersinirlik (invertibility) şartı, MA karakteristik denkleminin (Θ(B)=0\Theta(B) = 0) köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olmasını gerektirir. Soruda bir kökün mutlak değerinin 1'den küçük olduğu belirtildiğinden, model durağanlık şartını sağlayan fakat tersinir olmayan bir MA(3) sürecidir.

Adım Adım Çözüm

1
ACF ve PACF grafiklerinin davranışlarını analiz ederek sürecin derecesini belirlemek.
Sürecin 3. dereceden Hareketli Ortalama, yani MA(3) modeli olduğu tespit edilir.
Zaman serilerinde ACF grafiği qq gecikmesinden sonra aniden kesiliyor ve PACF grafiği yavaşça sönümleniyorsa, bu durum MA(q) süreçlerinin karakteristik özelliğidir.
2
Belirlenen MA(3) sürecinin durağanlık koşulunu değerlendirmek.
MA(3) süreci doğası gereği durağandır.
Sonlu dereceli tüm Hareketli Ortalama (MA) süreçleri, parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağanlık koşulunu (sonlu varyans ve zamandan bağımsız otokovaryans) sağlar.
3
Hareketli ortalama karakteristik denkleminin kök durumuna göre tersinirlik (invertibility) koşulunu incelemek.
Süreç tersinir (invertible) değildir.
Bir MA sürecinin tersinir olabilmesi için karakteristik denklemine (Θ(B)=0\Theta(B) = 0) ait tüm köklerin birim çemberin dışında, yani mutlak değerce 1'den büyük (∣B∣>1|B| > 1) olması gerekir. Verilen durumda kök 1'den küçüktür.

Anahtar Kavram

Otoregresif Hareketli Ortalama Modellerinde Kimliklendirme ve Tersinirlik
Soru 82Soru →

Bir finansal analist, iki farklı yatırım aracına ait getiri serilerini durağanlaştırdıktan sonra elde ettiği XtX_t ve YtY_t serilerinin stokastik süreçlerini aşağıdaki gibi modellemiştir:

Model I: Xt=0.8Xt−1−0.4Xt−2+εtX_t = 0.8 X_{t-1} - 0.4 X_{t-2} + \varepsilon_t
Model II: Yt=εt−0.5εt−1+0.2εt−2Y_t = \varepsilon_t - 0.5 \varepsilon_{t-1} + 0.2 \varepsilon_{t-2}

(Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve σ2\sigma^2 varyanslı beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

Buna göre, bu iki modelin teorik otokorelasyon (ACFACF) ve kısmi otokorelasyon (PACFPACF) fonksiyonlarının davranışları dikkate alındığında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: XtX_t serisinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACFPACF) 2. gecikmeden sonra sıfıra kesilirken, YtY_t serisinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu sönümlenerek uzanır.

Cevap

XtX_t serisi bir 2. dereceden otoregresif (AR(2)) süreci olduğu için PACF grafiği 2. gecikmeden sonra sıfıra kesilir. YtY_t serisi ise bir 2. dereceden hareketli ortalama (MA(2)) süreci olduğu için PACF grafiği sönümlenerek uzanır.
Verilen denklemler incelendiğinde XtX_t serisi 2. dereceden otoregresif bir süreç (AR(2)), YtY_t serisi ise 2. dereceden hareketli ortalama sürecidir (MA(2)). Zaman serileri teorisine göre, AR(p) süreçlerinde kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACFPACF) pp. gecikmeden sonra aniden sıfıra kesilir (cut-off). Bu nedenle XtX_t'nin PACFPACF'si 2. gecikmeden sonra teorik olarak sıfır olur. Diğer yandan MA(q) süreçlerinde PACFPACF sıfıra kesilmez, dalgalanarak veya üstel olarak sönümlenerek sonsuza uzanır (tail-off). YtY_t serisi bir MA(2) süreci olduğu için PACFPACF'si sönümlenerek uzanır. İfade edilen bu teorik özelliklerin tümünü barındıran seçenek doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci modelin (XtX_t) veri üretim sürecinin türünü belirleme.
XtX_t sürecinin sadece geçmiş iki gözlem değerine (Xt−1,Xt−2X_{t-1}, X_{t-2}) ve güncel hata terimine bağlı olduğu görülür. Bu yapı bir Otoregresif (AR(2)) modeldir.
Zaman serisi analizinde otokorelasyon yapılarını incelemeden önce sürecin formunu doğru sınıflandırmak şarttır.
2
İkinci modelin (YtY_t) veri üretim sürecinin türünü belirleme.
YtY_t sürecinin sadece güncel ve geçmiş iki hata terimine (εt,εt−1,εt−2\varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \varepsilon_{t-2}) bağlı olduğu görülür. Bu yapı bir Hareketli Ortalama (MA(2)) modelidir.
MA modellerinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon davranışları AR modellerinden teorik olarak tamamen farklıdır.
3
AR(2) modeli için PACF ve ACF'nin teorik davranışını değerlendirme.
AR(p) süreçlerinde Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) 'p.' gecikmeden sonra aniden sıfıra kesilirken (cut-off), Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) sönümlenerek uzanır (tail-off). Bu sebeple XtX_t'nin PACF'si 2. gecikmeden sonra sıfır olur.
PACF, aradaki gecikmelerin etkisi arındırıldıktan sonraki korelasyonu ölçtüğü için AR süreçlerinde model derecesini net olarak gösterir.
4
MA(2) modeli için PACF ve ACF'nin teorik davranışını değerlendirme.
MA(q) süreçlerinde ACF 'q.' gecikmeden sonra sıfıra kesilirken, PACF dalgalanarak veya üstel bir şekilde sönümlenerek uzanır. Bu sebeple YtY_t'nin PACF'si sönümlenme eğilimindedir.
MA süreçleri sonsuz dereceli bir AR sürecine dönüştürülebildiği (tersinirlik koşulu altında) için kısmi korelasyonları asla tam olarak sıfıra inmez.

Anahtar Kavram

AR ve MA Modellerinde PACF ve ACF Davranışlarının Karşılaştırmalı Analizi
Soru 83Soru →

Zaman serisi analizinde ϵt∼WN(0,σ2)\epsilon_t \sim WN(0, \sigma^2) beyaz gürültü sürecini temsil etmek üzere, ikinci dereceden bir hareketli ortalama modeli (MA(2)) aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

Xt=ϵt+2kϵt−1+kϵt−2X_t = \epsilon_t + 2k \epsilon_{t-1} + k \epsilon_{t-2}

Bu sürecin tersinir (invertible) bir süreç olabilmesi için kk parametresinin sağlaması gereken en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −13<k<1-\frac{1}{3} < k < 1

Cevap

Modelin tersinir olabilmesi için kk parametresinin −13<k<1-\frac{1}{3} < k < 1 aralığında olması gerekir.
Verilen ikinci dereceden hareketli ortalama modelinin (MA(2)) tersinir olabilmesi için, katsayıları olan θ1=2k\theta_1 = 2k ve θ2=k\theta_2 = k'nın tersinirlik üçgeni koşullarını eşanlı sağlaması gerekir. Bu koşullar θ1+θ2>−1\theta_1 + \theta_2 > -1, θ2−θ1>−1\theta_2 - \theta_1 > -1 ve −1<θ2<1-1 < \theta_2 < 1'dir. Katsayılar yerine konduğunda sırasıyla 3k>−13k > -1, −k>−1-k > -1 (k<1k < 1) ve −1<k<1-1 < k < 1 eşitsizlikleri elde edilir. Bu üç eşitsizliğin ortak sağlandığı tek aralık −13<k<1-\frac{1}{3} < k < 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen modelin standart MA(2) notasyonuyla ifade edilmesi ve katsayıların belirlenmesi.
Model Xt=ϵt+θ1ϵt−1+θ2ϵt−2X_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} formatındadır. Buradan katsayılar θ1=2k\theta_1 = 2k ve θ2=k\theta_2 = k olarak belirlenir.
Tersinirlik koşullarını uygulayabilmek için katsayıların doğru bir şekilde tanımlanması gerekir.
2
MA(2) süreçleri için karakteristik denkleme bağlı gerekli ve yeterli tersinirlik koşullarının yazılması.
Tersinirlik (invertibility) üçgenini tanımlayan koşullar şunlardır: 1) θ1+θ2>−1\theta_1 + \theta_2 > -1, 2) θ2−θ1>−1\theta_2 - \theta_1 > -1, 3) −1<θ2<1-1 < \theta_2 < 1.
Bir MA sürecinin geçmiş gözlemler cinsinden sonsuz bir AR sürecine dönüştürülebilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması matematiksel zorunluluktur.
3
Bulunan katsayıların birinci eşitsizlik koşuluna uygulanması.
θ1+θ2>−1⇒2k+k>−1⇒3k>−1⇒k>−13\theta_1 + \theta_2 > -1 \Rightarrow 2k + k > -1 \Rightarrow 3k > -1 \Rightarrow k > -\frac{1}{3}.
Tersinirlik bölgesinin ilk sınırını belirlemek.
4
Bulunan katsayıların ikinci ve üçüncü eşitsizlik koşullarına uygulanması.
İkinci koşul: θ2−θ1>−1⇒k−2k>−1⇒−k>−1⇒k<1\theta_2 - \theta_1 > -1 \Rightarrow k - 2k > -1 \Rightarrow -k > -1 \Rightarrow k < 1. Üçüncü koşul: −1<θ2<1⇒−1<k<1-1 < \theta_2 < 1 \Rightarrow -1 < k < 1.
Tersinirlik bölgesinin diğer sınırlarını belirlemek.
5
Tüm eşitsizliklerin kesişim kümesinin (ortak çözümünün) bulunması.
k>−13k > -\frac{1}{3}, k<1k < 1 ve −1<k<1-1 < k < 1 eşitsizliklerinin üçünü birden sağlayan en geniş aralık −13<k<1-\frac{1}{3} < k < 1 olarak bulunur.
Karakteristik denklemin tüm köklerinin birim çember dışında kalmasını garanti eden tek çözüm aralığı bu kesişim kümesidir.

Anahtar Kavram

MA(2) Modellerinde Tersinirlik (Invertibility) Koşulları
Soru 84Soru →

Bir demografi araştırmacısı, belirli bir bölgedeki yıllık net göç hızındaki dalgalanmaları incelemek için sıfır ortalamalı ve durağan bir ZtZ_t zaman serisi modellemesi yapmaktadır. Veri setine uygulanan otokorelasyon analizinde, serinin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı ρ1=0,6\rho_1 = 0,6 ve ikinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı ρ2=0,2\rho_2 = 0,2 olarak hesaplanmıştır.

Araştırmacı, bu serinin veri üretim sürecinin sadece bir önceki dönemin dinamiklerini yansıtan birinci dereceden otoregresif, AR(1) modeli ile mi temsil edilmesi gerektiğini Yule-Walker denklemleri bağlamında kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) yardımıyla test edecektir.

Buna göre, serinin ikinci gecikmeli kısmi otokorelasyon katsayısı (ϕ22\phi_{22}) kaçtır ve bu bulguya dayanılarak modelin AR(1) varsayımına uygunluğu hakkında hangi teorik çıkarım yapılmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ϕ22=−0,25\phi_{22} = -0,25; katsayı sıfırdan farklı olduğu için seri bir AR(1) süreci ile ifade edilemez.

Cevap

ϕ22=−0,25\phi_{22} = -0,25'tir ve bu değer sıfırdan farklı olduğundan süreç AR(1) olamaz.
Kısmi otokorelasyon katsayısı (ϕ22\phi_{22}), birinci gecikmenin doğrusal etkisi arındırıldıktan sonra ZtZ_t ile Zt−2Z_{t-2} arasındaki arı ilişkiyi ölçmektedir. Yule-Walker denklemleri kullanılarak veya Cramer kuralı ile elde edilen formül üzerinden hesaplama yapıldığında; ϕ22=(ρ2−ρ12)/(1−ρ12)\phi_{22} = (\rho_2 - \rho_1^2) / (1 - \rho_1^2) formülüne ulaşılır. Değerler yerine konduğunda (0,2−0,36)/(1−0,36)=−0,25(0,2 - 0,36) / (1 - 0,36) = -0,25 bulunur. Teorik çerçevede ele alındığında, eğer seri gerçekten saf bir AR(1) süreci olsaydı, birinci gecikmeden sonraki tüm kısmi otokorelasyon katsayılarının (ϕkk,k>1\phi_{kk}, k>1) tam olarak sıfır olması gerekirdi (buna kesilme veya cut-off özelliği denir). Elde edilen −0,25-0,25 değeri sıfırdan farklı olduğu için serinin bir AR(1) veri üretim sürecinden gelmediği kesinleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Yule-Walker denklemlerinden ϕ22\phi_{22} formülünü belirle.
ϕ22=ρ2−ρ121−ρ12\phi_{22} = \frac{\rho_2 - \rho_1^2}{1 - \rho_1^2}
İkinci gecikmedeki kısmi otokorelasyonu bulmak için birinci gecikmenin doğrusal etkisi sistemden arındırılmalıdır.
2
Verilen ampirik değerleri (ρ1=0,6\rho_1 = 0,6 ve ρ2=0,2\rho_2 = 0,2) formüle yerleştir.
ϕ22=0,2−(0,6)21−(0,6)2\phi_{22} = \frac{0,2 - (0,6)^2}{1 - (0,6)^2}
Teorik katsayıyı hesaplamak için sayısal işlem adımı.
3
Aritmetik işlemleri tamamla.
ϕ22=0,2−0,361−0,36=−0,160,64=−0,25\phi_{22} = \frac{0,2 - 0,36}{1 - 0,36} = \frac{-0,16}{0,64} = -0,25
Kısmi otokorelasyon katsayısının nihai sayısal değerine ulaşmak.
4
AR(1) modelinin teorik PACF özelliklerine göre sonucu yorumla.
ϕ22=−0,25≠0\phi_{22} = -0,25 \neq 0 olduğu için seri AR(1) sürecine uymamaktadır.
Bir AR(p) sürecinde PACF fonksiyonu p. gecikmeden sonra aniden sıfıra düşmelidir (kesilme). AR(1) için ϕ22\phi_{22}'nin 0 olması beklenirken, sıfırdan farklı bulunması bu varsayımı çürütür.

Anahtar Kavram

Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) ve AR(p) Modellerinde Kesilme (Cut-off) Özelliği

Alternatif Yöntem

Yule-Walker matris sisteminde ϕ22\phi_{22} katsayısı Cramer Kuralı kullanılarak determinatların oranıyla da hesaplanabilir. RkR_k otokorelasyon matrisi olmak üzere, ϕ22=∣P2∣/∣R2∣\phi_{22} = |P_2| / |R_2| formülünde P2P_2 matrisi R2R_2'nin son kolonunun ρ\rho vektörü ile değiştirilmiş halidir. ∣R2∣=1−ρ12|R_2| = 1 - \rho_1^2 ve ∣P2∣=ρ2−ρ12|P_2| = \rho_2 - \rho_1^2 işlemlerinden aynı orana ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 85Soru →
ϵt\epsilon_t süreci, E[ϵt]=0E[\epsilon_t] = 0 ve Var(ϵt)=σ2Var(\epsilon_t) = \sigma^2 olan bir beyaz gürültü (white noise) süreci olmak üzere;
Xt=5+ϵt−0,4ϵt−1X_t = 5 + \epsilon_t - 0,4\epsilon_{t-1}
şeklinde tanımlanan zaman serisi modeline ilişkin aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model durağandır ve tersinirdir; otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 1. gecikmeden sonra kesilir.

Cevap

Modelin durağan ve tersinir olduğu, ACF grafiğinin ise 1. gecikmeden itibaren sıfıra düştüğü (kesildiği) ifadesi doğrudur.
Verilen model bir MA(1) modelidir. Hareketli ortalama modelleri her zaman durağan olma özelliğine sahiptir. Tersinirlik koşulu olan ∣θ1∣<1|\theta_1| < 1 durumu ∣−0,4∣<1|-0,4| < 1 ile sağlandığı için süreç tersinirdir. MA(1) modellerinin en belirgin özelliği, otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) 1. gecikmeden sonra kesilerek sıfır değerini almasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Model tipini belirleme
Xt=μ+ϵt+θ1ϵt−1X_t = \mu + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} yapısında olduğu için bu bir MA(1) modelidir.
Model, mevcut hata terimi ve bir geçmiş hata teriminin doğrusal bileşimidir.
2
Durağanlık ve tersinirlik kontrolü
MA(1) modelleri her zaman durağandır. Tersinirlik için ∣θ1∣<1|\theta_1| < 1 şartına bakılır: ∣−0,4∣=0,4<1|-0,4| = 0,4 < 1 olduğundan model tersinirdir.
Durağanlık MA modellerinde parametre kısıtı gerektirmezken, tersinirlik modelin AR süreci olarak yazılabilmesi için katsayı kısıtı gerektirir.
3
ACF ve PACF davranışını analiz etme
MA(q) modellerinde ACF q gecikmesinden sonra (burada q=1) kesilir. PACF ise üstel olarak sönümlenir.
Hareketli ortalama modellerinin karakteristik özelliği, otokorelasyonun model derecesinden sonra sıfıra düşmesidir.

Anahtar Kavram

MA modellerinde durağanlık, tersinirlik ve ACF/PACF karakteristik davranışları

Daha Fazla Pratik

MA(2) süreci için ACF ve PACF davranışlarının nasıl değişeceğini ve tersinirlik kısıtlarını inceleyin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 86Soru →

Bir araştırmacı, tarımsal bir ürünün yıllık rekolte dalgalanmalarını incelerken serinin sıfır ortalamalı durağan bir ikinci dereceden otoregresif model (AR(2)) izlediğini tespit etmiştir. Araştırmacının tahmin ettiği modele göre;

Yt=13Yt−1+13Yt−2+ϵtY_t = \frac{1}{3}Y_{t-1} + \frac{1}{3}Y_{t-2} + \epsilon_t

ilişkisi geçerlidir ve burada ϵt\epsilon_t, varyansı 280280 olan bir beyaz gürültü sürecidir.

Buna göre, YtY_t serisinin varyansı (otokovaryans fonksiyonunun sıfırıncı gecikmedeki değeri, γ0\gamma_0) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 420

Cevap

Serinin varyansı (γ0\gamma_0) 420'dir.
Durağan bir AR(2) modeli için serinin varyansı (γ0\gamma_0), Yule-Walker denklemleri aracılığıyla çözülür. Model Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+ϵtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \epsilon_t formunda yazıldığında, γ0\gamma_0 hesaplaması için öncelikle ρ1=ϕ11−ϕ2\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2} ve ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 otokorelasyonları bulunmalıdır. Değerler yerine konulduğunda ρ1=1/2\rho_1 = 1/2 ve ρ2=1/2\rho_2 = 1/2 elde edilir. Varyans bağıntısı 1=ϕ1ρ1+ϕ2ρ2+σϵ2γ01 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 \rho_2 + \frac{\sigma_\epsilon^2}{\gamma_0} formülünde kullanıldığında, eşitlik 1=16+16+280γ01 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{280}{\gamma_0} halini alır. Bu denklem çözüldüğünde γ0=420\gamma_0 = 420 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AR(2) modeline ait parametreleri belirleyin.
ϕ1=1/3\phi_1 = 1/3, ϕ2=1/3\phi_2 = 1/3 ve beyaz gürültü varyansı σϵ2=280\sigma_\epsilon^2 = 280.
Model parametreleri, Yule-Walker denklemlerinde kullanılacak temel girdilerdir.
2
Birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısını (ρ1\rho_1) Yule-Walker denklemi ile hesaplayın.
ρ1=ϕ11−ϕ2=1/31−1/3=1/32/3=12\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}.
AR(2) sürecinde ρ1\rho_1, doğrudan ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2 parametrelerine bağlıdır.
3
İkinci gecikmeli otokorelasyon katsayısını (ρ2\rho_2) hesaplayın.
ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2=(13)(12)+13=16+26=12\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 = (\frac{1}{3})(\frac{1}{2}) + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{2}.
Genel varyans denkleminde kullanmak üzere ikinci gecikmeye ait otokorelasyona da ihtiyaç vardır.
4
AR(2) süreci için varyans (γ0\gamma_0) formülünü kurun ve hesaplayın.
1=ϕ1ρ1+ϕ2ρ2+σϵ2γ01 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 \rho_2 + \frac{\sigma_\epsilon^2}{\gamma_0} denkleminden σϵ2γ0=1−(13×12+13×12)=1−13=23\frac{\sigma_\epsilon^2}{\gamma_0} = 1 - (\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\times\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. Buradan γ0=280×32=420\gamma_0 = \frac{280 \times 3}{2} = 420 bulunur.
Serinin varyansı, gecikmelerin kendi otokorelasyonları ile ağırlıklandırıldığı Yule-Walker ana denklemi üzerinden çözülür.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Yule-Walker Denklemleri ve Varyans Hesabı

Alternatif Yöntem

AR(2) modelinde varyans, Yule-Walker otokorelasyon adımlarını atlayarak doğrudan AR(2) kapalı form varyans formülüyle de hesaplanabilir: γ0=(1−ϕ21+ϕ2)σϵ2(1−ϕ2)2−ϕ12\gamma_0 = \left( \frac{1 - \phi_2}{1 + \phi_2} \right) \frac{\sigma_\epsilon^2}{(1 - \phi_2)^2 - \phi_1^2}. Değerler yerine konulduğunda; (1−1/31+1/3)×280(2/3)2−(1/3)2=(2/34/3)×2803/9=12×2801/3=420( \frac{1 - 1/3}{1 + 1/3} ) \times \frac{280}{(2/3)^2 - (1/3)^2} = ( \frac{2/3}{4/3} ) \times \frac{280}{3/9} = \frac{1}{2} \times \frac{280}{1/3} = 420 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 87Soru →

Zaman serisi analizinde bir stokastik sürecin durağanlık (stationarity) özellikleri ve modellere ait parametre kısıtları değerlendirildiğinde, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Zayıf durağan bir sürecin temel koşulları; beklenen değerinin zaman boyunca sabit kalması, varyansının sonlu ve sabit olması ve iki gözlem arasındaki otokovaryansın yalnızca bu gözlemler arasındaki gecikme (lag) mesafesine bağlı olmasıdır.

Cevap

Zayıf durağan bir sürecin temel koşulları; beklenen değerinin zaman boyunca sabit kalması, varyansının sonlu ve sabit olması ve iki gözlem arasındaki otokovaryansın yalnızca bu gözlemler arasındaki gecikme (lag) mesafesine bağlı olmasıdır.
Doğru cevap, zayıf durağanlığın üç temel ve zorunlu koşulunu eksiksiz biçimde ifade etmektedir. Bir stokastik sürecin zayıf (kovaryans) durağan sayılabilmesi için; tüm tt anlarında beklenen değerin (E(Yt)E(Y_t)) sabit bir μ\mu değerine eşit olması, varyansının (Var(Yt)\text{Var}(Y_t)) zamandan bağımsız ve sonlu olması, ayrıca herhangi iki an arasındaki otokovaryansın (Cov(Yt,Yt−k)\text{Cov}(Y_t, Y_{t-k})) yalnızca aradaki kk gecikme mesafesine bağlı olması şarttır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesin ve zayıf durağanlık arasındaki teorik farkı analiz etmek.
Kesin durağanlık momentlerin sonlu olmasını garanti etmez (örneğin Cauchy dağılımlı seriler kesin durağandır ama varyansları sonsuzdur). Dolayısıyla her kesin durağan seri zayıf durağan değildir.
Zayıf durağanlık varsayımının kapsayıcılık sınırlarını belirlemek için gereklidir.
2
Zaman serisi modellerinin (AR ve MA) parametre kısıtlarının amaçlarını değerlendirmek.
AR modelleri için katsayı kısıtları durağanlık sağlarken, MA modelleri zaten sonlu sayıda durağan hata teriminin toplamı olduğundan her koşulda durağandır. MA'daki kısıtlar tersinirlik (invertibility) içindir.
Durağanlık ve tersinirlik kısıtlarının birbirine karıştırılmasını önlemek için ayırt edilmelidir.
3
Zayıf durağanlığın temel istatistiksel koşullarını tanımlamak.
Beklenen değerin (ortalamanın) sabit olması, varyansın sonlu/sabit olması ve otokovaryansın zaman ekseninden bağımsız olup sadece gecikme (lag) farkına bağlı olması zayıf durağanlığın 3 katı kuralıdır.
Kovaryans durağanlık tanımının doğruluğunu teyit etmek için gereklidir.
4
Trend türlerini (deterministik ve stokastik) sınıflandırmak.
t zaman indeksine bağlı doğrusal modeller deterministik trend içerir ve trendden arındırma ile durağanlaşır. Birim kök içeren seriler stokastik trend içerir ve fark alma ile durağanlaşır.
Serileri durağanlaştırma yöntemlerinin model formuna göre doğru eşleştirildiğinden emin olmak için yapılmalıdır.

Anahtar Kavram

Zayıf (Kovaryans) Durağanlık Koşulları ve Model Parametre Kısıtları
ÖncekiSayfa 5 / 5
Durağan Zaman Serisi Modelleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5 | Examkin