Dik koordinat düzleminde, f(x) = 3 - x^2 ve g(x) = x^2 - 2x - 1 parabolleri arasında kalan… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = 3 - x^2$ ve $g(x) = x^2 - 2x - 1$ parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A
$\frac{9}{2}$
B
$\frac{13}{3}$
9Cevap
D
$\frac{20}{3}$
E
6

Cevap

Paraboller arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 9 birimkaredir.

İki parabolün kesişim noktalarının apsisleri olan -1 ve 2 sınırları arasında, üstteki parabolün denkleminden alttaki parabolün denklemi çıkarılarak hesaplanan belirli integralin değeri 9'dur.

Adım Adım Çözüm

Parabollerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleriz.

3 - x^2 = x^2 - 2x - 1 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0

denkleminden kesişim noktalarının apsisleri

x = -1

x = 2

olarak bulunur.

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin sınırlarını (entegrasyon sınırlarını) belirlemek amacıyla bu işlem gerçekleştirilir.

[-1, 2]

aralığında hangi parabolün üstte olduğunu belirler ve alan integralini kurarız.

x = 0

için

f(0) = 3

g(0) = -1

olup bu aralıkta

f(x) \geq g(x)

sağlanır. Buradan alan ifadesi

A = \int_{-1}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx

olarak yazılır.

İki eğri arasındaki alan, üstte yer alan eğrinin denkleminden altta yer alan eğrinin denklemi çıkarılarak hesaplanır.

Belirli integrali hesaplarız.

F(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x

olmak üzere,

F(2) - F(-1) = \left(-\frac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9

birimkare elde edilir.

Belirli integralin temel teoremi uygulanarak sınırlı bölgenin alanının sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanı, kesişim noktaları arasındaki belirli integral yardımıyla hesaplanır.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru