Aşağıda dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde tanımlanan bazı sınırlı bölgelerin söz… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Aşağıda dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde tanımlanan bazı sınırlı bölgelerin sözel açıklamaları ile bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleri verilmiştir. Sol sütundaki alan tanımlarını, sağ sütundaki doğru integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde; $y = \sqrt{x}$ eğrisi ile $y = x^3$ eğrisi arasında kalan sınırlı bölgenin alanı $\int_0^1 (\sqrt{x} - x^3) \, dx$
Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde; $y = 6 - x^2$ parabolü, $y = x$ doğrusu ve $y$ ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı $\int_0^2 (6 - x - x^2) \, dx$
Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde; $y = x^2$ parabolü, $y = 2 - x$ doğrusu ve $x$ ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı $\int_0^1 (2 - y - \sqrt{y}) \, dy$

Cevap

Birinci alan tanımı birinci integral gösterimiyle, ikinci alan tanımı ikinci integral gösterimiyle, üçüncü alan tanımı ise üçüncü integral gösterimiyle eşleşir.

Tüm alan tanımları, kesişim noktaları ve sınır koşulları incelenerek doğru belirli integral ifadeleriyle birebir eşleşmektedir. Birinci bölge

x

eksenine göre, ikinci bölge

x

eksenine göre, üçüncü bölge ise

y

eksenine göre entegre edilerek alan ifadeleri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

y = \sqrt{x}

y = x^3

eğrilerinin kesişim noktalarını bulma.

x = 0

x = 1

sınır değerleri

\sqrt{x} = x^3 \implies x = x^6 \implies x(x^5 - 1) = 0

denkleminden

x = 0

x = 1

bulunur.

y = 6 - x^2

parabolü ve

y = x

doğrusunun kesişim noktasını bulma.

x = 2

sınır değeri (birinci bölgede)

6 - x^2 = x \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0

denkleminden birinci bölgedeki kesişim noktası

x = 2

olarak elde edilir.

y = x^2

parabolü ile

y = 2 - x

doğrusunun kesişim noktasını ve

y

sınırlarını belirleme.

y = 1

üst sınır değeri

x^2 = 2 - x \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0

denkleminden kesişim noktası

x = 1

ve bu noktadaki

y

değeri

y = 1^2 = 1

olarak bulunur. Eksenlerle sınırlı bölge

y = 0

ile

y = 1

arasındadır.

Üçüncü bölgeyi

y

değişkenine göre entegre etmek üzere

x

değişkenini yalnız bırakarak formüle etme.

Alan =

\int_0^1 (2 - y - \sqrt{y}) \, dy

Parabol denklemi

x = \sqrt{y}

ve doğru denklemi

x = 2 - y

şeklindedir. Sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak

y

eksenine göre integral alınır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru