Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, x=y2−4yx = y^2 - 4y parabolü ile x=−yx = -y doğrusu arasında kalan sınırlı bölge verilmiştir. Buna göre, bu sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. 92\frac{9}{2}Cevap
  2. B
    256\frac{25}{6}
  3. C
    76\frac{7}{6}
  4. D
    83\frac{8}{3}
  5. E
    452\frac{45}{2}

Cevap

Eğriler arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 92\frac{9}{2} birimkaredir.
Doğru cevap olan 92\frac{9}{2} değeri, x=−yx = -y doğrusu ile x=y2−4yx = y^2 - 4y parabolünün kesişim noktaları olan y=0y = 0 ve y=3y = 3 sınırları arasında, sağdaki eğriden soldaki eğrinin çıkarılmasıyla elde edilen belirli integralin hesaplanmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
y2−4y=−y  ⟹  y2−3y=0  ⟹  y(y−3)=0y^2 - 4y = -y \implies y^2 - 3y = 0 \implies y(y-3) = 0 denkleminden kesişim noktalarının ordinatları y=0y = 0 ve y=3y = 3 olarak bulunur.
İki eğri arasında kalan alanı hesaplamak için entegrasyon sınırlarının belirlenmesi gerekir.
2
Belirtilen aralıkta hangi eğrinin daha sağda (büyük x değerine sahip) olduğunu belirleyin.
y∈[0,3]y \in [0, 3] aralığı için bir test değeri seçildiğinde (örneğin y=1y = 1), doğrunun değeri x=−1x = -1, parabolün değeri ise x=−3x = -3 olur. −1>−3-1 > -3 olduğundan bu aralıkta x=−yx = -y doğrusu daha sağdadır.
y eksenine göre alan hesaplanırken integralin pozitif çıkması için sağdaki fonksiyondan soldaki fonksiyon çıkarılmalıdır.
3
Alan integralini kurun ve belirli integrali hesaplayın.
A=∫03(−y−(y2−4y))dy=∫03(3y−y2)dyA = \int_{0}^{3} \left( -y - (y^2 - 4y) \right) dy = \int_{0}^{3} (3y - y^2) dy integralinin sonucu [3y22−y33]03=(272−9)−0=92\left[ \frac{3y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left(\frac{27}{2} - 9\right) - 0 = \frac{9}{2} birimkare olarak bulunur.
Eğriler arasında kalan sınırlı bölgenin alanı, sağdaki fonksiyondan soldaki fonksiyonun çıkarılmasıyla elde edilen farkın belirli integralidir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın y ekseni boyunca entegre edilerek hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru