Examkin

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

44 soru

Tüm türler44Çoktan seçmeli20Sayısal12Eşleştirme12
Soru 1Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+5xf(x) = -x^2 + 5x ve g(x)=x2−xg(x) = x^2 - x parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İki parabolün sın��rladığı bölgenin alanı 9 birimkaredir.
Parabollerin kesişim noktaları x=0x = 0 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Bu sınırlar arasında f(x)−g(x)=−2x2+6xf(x) - g(x) = -2x^2 + 6x ifadesinin belirli integrali alındığında alan 9 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesişim noktalarının belirlenmesi
x=0x = 0 ve x=3x = 3
Entegrasyon sınırlarını belirlemek amacıyla iki parabol denklemi ortak çözülür.
2
İntegral ifadesinin kurulması ve hesaplanması
∫03(−2x2+6x) dx=9\int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) \, dx = 9
Belirlenen sınırlar arasında ��stteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması
Soru 2Soru →

Aşağıda dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde tanımlanan bazı sınırlı bölgelerin sözel açıklamaları ile bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleri verilmiştir. Sol sütundaki alan tanımlarını, sağ sütundaki doğru integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde; y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=x3y = x^3 eğrisi arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde; y=6−x2y = 6 - x^2 parabolü, y=xy = x doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde; y=x2y = x^2 parabolü, y=2−xy = 2 - x doğrusu ve xx ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci alan tanımı birinci integral gösterimiyle, ikinci alan tanımı ikinci integral gösterimiyle, üçüncü alan tanımı ise üçüncü integral gösterimiyle eşleşir.
Tüm alan tanımları, kesişim noktaları ve sınır koşulları incelenerek doğru belirli integral ifadeleriyle birebir eşleşmektedir. Birinci bölge xx eksenine göre, ikinci bölge xx eksenine göre, üçüncü bölge ise yy eksenine göre entegre edilerek alan ifadeleri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
y=xy = \sqrt{x} ve y=x3y = x^3 eğrilerinin kesişim noktalarını bulma.
x=0x = 0 ve x=1x = 1 sınır değerleri
x=x3  ⟹  x=x6  ⟹  x(x5−1)=0\sqrt{x} = x^3 \implies x = x^6 \implies x(x^5 - 1) = 0 denkleminden x=0x = 0 ve x=1x = 1 bulunur.
2
y=6−x2y = 6 - x^2 parabolü ve y=xy = x doğrusunun kesişim noktasını bulma.
x=2x = 2 sınır değeri (birinci bölgede)
6−x2=x  ⟹  x2+x−6=0  ⟹  (x+3)(x−2)=06 - x^2 = x \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0 denkleminden birinci bölgedeki kesişim noktası x=2x = 2 olarak elde edilir.
3
y=x2y = x^2 parabolü ile y=2−xy = 2 - x doğrusunun kesişim noktasını ve yy sınırlarını belirleme.
y=1y = 1 üst sınır değeri
x2=2−x  ⟹  x2+x−2=0  ⟹  (x+2)(x−1)=0x^2 = 2 - x \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0 denkleminden kesişim noktası x=1x = 1 ve bu noktadaki yy değeri y=12=1y = 1^2 = 1 olarak bulunur. Eksenlerle sınırlı bölge y=0y = 0 ile y=1y = 1 arasındadır.
4
Üçüncü bölgeyi yy değişkenine göre entegre etmek üzere xx değişkenini yalnız bırakarak formüle etme.
Alan = ∫01(2−y−y) dy\int_0^1 (2 - y - \sqrt{y}) \, dy
Parabol denklemi x=yx = \sqrt{y} ve doğru denklemi x=2−yx = 2 - y şeklindedir. Sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak yy eksenine göre integral alınır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →

Dik koordinat düzleminde sınırları verilen bazı kapalı bölgeler sol sütunda, bu bölgelerin alanların�� veren belirli integral ifadeleri ise sağ sütunda yer almaktadır.

Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki uygun integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
y=x2y = x^2 parabolü ile y=xy = \sqrt{x} eğrisi arasında kalan sınırlı bölge
y=x2y = x^2 ve y=8−x2y = 8 - x^2 parabolleri ile yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölge (x≥0x \ge 0)

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx integrali ile, ikinci bölge ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx integrali ile ve üçüncü bölge ∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx integrali ile eşleşir.
Verilen her bir bölge için kesişim noktaları bulunarak integral sınırları belirlenmiş, ardından üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak doğru integral ifadeleriyle eşleştirme yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bularak entegrasyon sınırlarını belirleyin.
Birinci bölge için x2=2x  ⟹  x=0x^2 = 2x \implies x = 0 ve x=2x = 2. İkinci bölge için x2=x  ⟹  x=0x^2 = \sqrt{x} \implies x = 0 ve x=1x = 1. Üçüncü bölge için x2=8−x2  ⟹  x=2x^2 = 8 - x^2 \implies x = 2 (x≥0x \ge 0 için) ve sol sınır yy-ekseni olduğundan x=0x = 0.
Belirli integral sınırları, iki eğri arasında kalan alanın sınırlandığı x değerlerini tanımlar.
2
Hangi eğrinin üstte hangisinin altta olduğunu belirleyin.
[0,2][0,2] aralığında 2x≥x22x \ge x^2, [0,1][0,1] aralığında x≥x2\sqrt{x} \ge x^2 ve [0,2][0,2] aralığında 8−x2≥x28 - x^2 \ge x^2 olur.
Alan her zaman pozitif olmalıdır, bu yüzden üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılır.
3
Her bölge için alan integralini yazın.
Sırasıyla ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx, ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx ve ∫02((8−x2)−x2) dx=∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} ((8-x^2)-x^2) \, dx = \int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx.
Alan formülü ∫ab(f(x)−g(x)) dx\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx şeklinde uygulanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla ifade etme
Soru 4Soru →

Aşağıda, dik koordinat düzleminde sınırları verilen bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleri verilmiştir. Bölgeleri, bu alanları doğru şekilde ifade eden integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x3y = x^3 eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında, birinci bölgede (x≥0x \ge 0) kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

y=x2y = x^2 ve y=xy = x eğrileri arasındaki alan ∫01(x−x2) dx\int_0^1 (x - x^2) \, dx integrali ile, y=xy = \sqrt{x} ve y=xy = x eğrileri arasındaki alan ∫01(x−x) dx\int_0^1 (\sqrt{x} - x) \, dx integrali ile ve birinci bölgedeki y=x3y = x^3 ve y=xy = x eğrileri arasındaki alan ise ∫01(x−x3) dx\int_0^1 (x - x^3) \, dx integrali ile eşleşir.
Verilen her bir eğri çifti için öncelikle kesişim noktaları bulunarak entegrasyon sınırları belirlenir. Ardından, ilgili aralıkta hangi fonksiyonun grafiğinin daha üstte olduğu belirlenerek üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılır. Bu doğrultuda, y=x2y=x^2 ve y=xy=x için [0,1][0,1] aralığında x≥x2x \ge x^2 olduğundan alan ∫01(x−x2)dx\int_0^1 (x-x^2)dx olur. y=xy=\sqrt{x} ve y=xy=x için [0,1][0,1] aralığında x≥x\sqrt{x} \ge x olduğundan alan ∫01(x−x)dx\int_0^1 (\sqrt{x}-x)dx olur. Birinci bölgede y=x3y=x^3 ve y=xy=x için ise [0,1][0,1] aralığında x≥x3x \ge x^3 olduğundan alan ∫01(x−x3)dx\int_0^1 (x-x^3)dx olarak ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulunuz.
x2=x  ⟹  x=0,1x^2 = x \implies x=0, 1; x=x  ⟹  x=0,1\sqrt{x} = x \implies x=0, 1; x3=x  ⟹  x=0,1x^3 = x \implies x=0, 1 (birinci bölgede). Tüm eğri çiftleri için entegrasyon sınırları [0,1][0,1] olarak belirlenir.
İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktaları bulunur.
2
Belirlenen [0,1][0,1] aralığında hangi eğrinin üstte olduğunu belirleyiniz.
[0,1][0,1] aralığında x≥x2x \ge x^2, x≥x\sqrt{x} \ge x ve x≥x3x \ge x^3 eşitsizlikleri geçerlidir.
Alan hesabında üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.
3
Alanları temsil eden integral ifadelerini yazıp eşleştiriniz.
Alan integralleri sırasıyla ∫01(x−x2) dx\int_0^1 (x - x^2) \, dx, ∫01(x−x) dx\int_0^1 (\sqrt{x} - x) \, dx ve ∫01(x−x3) dx\int_0^1 (x - x^3) \, dx olur.
Elde edilen sınırlar ve integraller kullanılarak doğru eşleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3−x2f(x) = 3 - x^2 ve g(x)=x2−2x−1g(x) = x^2 - 2x - 1 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Paraboller arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 9 birimkaredir.
İki parabolün kesişim noktalarının apsisleri olan -1 ve 2 sınırları arasında, üstteki parabolün denkleminden alttaki parabolün denklemi çıkarılarak hesaplanan belirli integralin değeri 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleriz.
3−x2=x2−2x−1  ⟹  2x2−2x−4=0  ⟹  x2−x−2=0  ⟹  (x−2)(x+1)=03 - x^2 = x^2 - 2x - 1 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x=−1x = -1 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin sınırlarını (entegrasyon sınırlarını) belirlemek amacıyla bu işlem gerçekleştirilir.
2
[−1,2][-1, 2] aralığında hangi parabolün üstte olduğunu belirler ve alan integralini kurarız.
x=0x = 0 için f(0)=3f(0) = 3 ve g(0)=−1g(0) = -1 olup bu aralıkta f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) sağlanır. Buradan alan ifadesi A=∫−12(f(x)−g(x)) dx=∫−12(−2x2+2x+4) dxA = \int_{-1}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx olarak yazılır.
İki eğri arasındaki alan, üstte yer alan eğrinin denkleminden altta yer alan eğrinin denklemi çıkarılarak hesaplanır.
3
Belirli integrali hesaplarız.
F(x)=−23x3+x2+4xF(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x olmak üzere, F(2)−F(−1)=(−163+4+8)−(23+1−4)=203−(−73)=273=9F(2) - F(-1) = \left(-\frac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9 birimkare elde edilir.
Belirli integralin temel teoremi uygulanarak sınırlı bölgenin alanının sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanı, kesişim noktaları arasındaki belirli integral yardımıyla hesaplanır.
Soru 6Soru →

Dik koordinat düzleminde, x=y2−4yx = y^2 - 4y parabolü ile x=−yx = -y doğrusu arasında kalan sınırlı bölge verilmiştir. Buna göre, bu sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

Eğriler arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 92\frac{9}{2} birimkaredir.
Doğru cevap olan 92\frac{9}{2} değeri, x=−yx = -y doğrusu ile x=y2−4yx = y^2 - 4y parabolünün kesişim noktaları olan y=0y = 0 ve y=3y = 3 sınırları arasında, sağdaki eğriden soldaki eğrinin çıkarılmasıyla elde edilen belirli integralin hesaplanmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
y2−4y=−y  ⟹  y2−3y=0  ⟹  y(y−3)=0y^2 - 4y = -y \implies y^2 - 3y = 0 \implies y(y-3) = 0 denkleminden kesişim noktalarının ordinatları y=0y = 0 ve y=3y = 3 olarak bulunur.
İki eğri arasında kalan alanı hesaplamak için entegrasyon sınırlarının belirlenmesi gerekir.
2
Belirtilen aralıkta hangi eğrinin daha sağda (büyük x değerine sahip) olduğunu belirleyin.
y∈[0,3]y \in [0, 3] aralığı için bir test değeri seçildiğinde (örneğin y=1y = 1), doğrunun değeri x=−1x = -1, parabolün değeri ise x=−3x = -3 olur. −1>−3-1 > -3 olduğundan bu aralıkta x=−yx = -y doğrusu daha sağdadır.
y eksenine göre alan hesaplanırken integralin pozitif çıkması için sağdaki fonksiyondan soldaki fonksiyon çıkarılmalıdır.
3
Alan integralini kurun ve belirli integrali hesaplayın.
A=∫03(−y−(y2−4y))dy=∫03(3y−y2)dyA = \int_{0}^{3} \left( -y - (y^2 - 4y) \right) dy = \int_{0}^{3} (3y - y^2) dy integralinin sonucu [3y22−y33]03=(272−9)−0=92\left[ \frac{3y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left(\frac{27}{2} - 9\right) - 0 = \frac{9}{2} birimkare olarak bulunur.
Eğriler arasında kalan sınırlı bölgenin alanı, sağdaki fonksiyondan soldaki fonksiyonun çıkarılmasıyla elde edilen farkın belirli integralidir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın y ekseni boyunca entegre edilerek hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 7Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=2xy = 2x doğrusu ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

Sın��rlı bölgenin alanı 43\frac{4}{3} birimkaredir.
Kesişim noktaları x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunan y=2xy = 2x doğrusu ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan alan, üstte yer alan doğrudan alttaki parabolün çıkarılmasıyla oluşturulan ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx belirli integrali ile hesaplanır ve bu integralin değeri 43\frac{4}{3} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru ile parabolün kesim noktalarını bulmak için fonksiyon denklemlerini birbirine eşitleriz.
x2=2x  ⟹  x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0x^2 = 2x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 denkleminden kesim noktalarının apsisleri x1=0x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2 olarak bulunur.
İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesiştiği noktaları bulmamız gerekir.
2
Belirlenen sınırlar arasında üstte kalan eğriden altta kalan eğriyi çıkararak alan integralini kurarız.
[0,2][0, 2] aralığında y=2xy = 2x doğrusu y=x2y = x^2 parabolünün üstünde yer aldığından, alan A=∫02(2x−x2) dxA = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx integrali ile ifade edilir.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen belirli integral ile hesaplanır.
3
Belirli integrali hesaplarız.
A=[x2−x33]02=(22−233)−0=4−83=43A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} birimkare bulunur.
İntegral alma kuralları ve belirli integral tanımı uygulanarak alan değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →

Tepe noktası yy ekseni üzerinde olan y=5−x2y = 5 - x^2 parabolü ile y=1y = 1 doğrusunun sınırlandırdığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 323\frac{32}{3}

Cevap

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanı 323\frac{32}{3} birimkaredir.
Doğru cevap olan 323\frac{32}{3} değeri, y=5−x2y = 5 - x^2 parabolünün y=1y = 1 doğrusunun üzerinde kalan kısmının [−2,2][-2, 2] aralığındaki integral farkı hesaplanarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
5−x2=1  ⟹  x2=4  ⟹  x=−25 - x^2 = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = -2 ve x=2x = 2 bulunur.
Eğriler arasında kalan bölgenin sınırlarını belirleyecek olan integral limitlerini bulmak amacıyla kesişim noktalarının apsisleri hesaplanır.
2
[−2,2][-2, 2] aralığında üstte kalan eğriden altta kalan doğruyu çıkararak alan integralini kurun.
A=∫−22((5−x2)−1) dx=∫−22(4−x2) dxA = \int_{-2}^{2} ((5 - x^2) - 1) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx elde edilir.
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen farkın belirli integralidir.
3
İntegrali simetriden yararlanarak veya doğrudan hesaplayın.
A=2∫02(4−x2) dx=2[4x−x33]02=2(8−83)=2(163)=323A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} birimkare bulunur.
Belirli integralin değerini sınırları yerine koyarak hesaplayıp sınırlandırılmış bölgenin alanını buluruz.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını belirli integral yardımıyla hesaplama.
Soru 9Soru →

Analitik düzlemde, f(x)=6x−x2f(x) = 6x - x^2 ve g(x)=x2g(x) = x^2 fonksiyonlarının grafikleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İki eğri arasında kalan sınırlı b��lgenin alanı 9 birimkaredir.
Kesişim sınırları olan x=0x = 0 ve x=3x = 3 noktaları arasında, üstteki f(x)=6x−x2f(x) = 6x - x^2 parabolünden alttaki g(x)=x2g(x) = x^2 parabolünün çıkarılmasıyla oluşturulan belirli integralin hesaplanması sonucu alan 9 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarını bulma
x=0x = 0 ve x=3x = 3
Sınırları belirlemek için parabollerin kesiştikleri noktaların apsisleri hesaplanır.
2
İntegrali kurma
A=∫03(6x−2x2) dxA = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx
Üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak alan integrali kurulur.
3
İntegrali hesaplama
9
Belirli integral sınır değerleri yerine yazılarak alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral ile hesabı

Alternatif Yöntem

İki parabolün sınırladığı bölgenin alanı için S=∣a1−a2∣6(x2−x1)3S = \frac{|a_1 - a_2|}{6} (x_2 - x_1)^3 pratik formülü kullanılabilir. Burada a1=−1a_1 = -1, a2=1a_2 = 1 ve kesişim noktaları x1=0x_1 = 0, x2=3x_2 = 3 olduğundan S=∣−1−1∣6(3−0)3=26⋅27=9S = \frac{|-1 - 1|}{6} (3 - 0)^3 = \frac{2}{6} \cdot 27 = 9 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 10Soru →

Aşağıdaki sol sütunda dik koordinat düzleminde sınırları belirtilen kapalı bölgelerin alanları, sağ sütunda ise bu alanları hesaplamak için kullanılabilecek belirli integral ifadeleri verilmiştir. Sol sütundaki her bir alanı sağ sütundaki uygun integral ifadesiyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminde y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=x−2y = x - 2 doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde y=x2y = x^2 parabolü, y=2xy = 2x doğrusu ve y=3−2xy = 3 - 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=x3−xy = x^3 - x eğrisi, y=3xy = 3x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=x2y = x^2 parabolü, y=6−xy = 6 - x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Her iki sütundaki sınır tanımları ve integral alma yönleri eşleştirilerek; birinci alan birinci integral ifadesiyle, ikinci alan ikinci integral ifadesiyle, üçüncü alan üçüncü integral ifadesiyle ve dördüncü alan dördüncü integral ifadesiyle eşleşmektedir.
Verilen her kapalı bölgenin sınırları geometrik olarak incelendiğinde ve kesişim noktaları cebirsel olarak çözüldüğünde; integral sınırlarının ve integrali alınan fonksiyonların farklarının eşleşen integral ifadeleri ile tam olarak örtüştüğü görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölgenin sınırlarını belirlemek ve kesişim noktalarını hesaplamak.
y=xy = \sqrt{x} ile y=x−2y = x - 2 eğrilerinin kesişim noktası x=4x = 4 (y=2y = 2) olarak bulunur. yy-ekseni ile olan sınırlar göz önüne alındığında, bölge yy-eksenine göre integre edilerek ∫−20(y+2) dy+∫02(y+2−y2) dy\int_{-2}^{0} (y + 2) \, dy + \int_{0}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olarak ifade edilir.
Bölgeyi xx-eksenine göre integre etmek yerine yy-eksenine göre integre etmek iki ayrı fonksiyonun sınırlarını daha kolay tanımlamayı sağlar.
2
İkinci bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=2xy = 2x ve y=3−2xy = 3 - 2x doğrularının kesişim noktası x=3/4x = 3/4 olarak bulunur. Parabol ile bu doğruların kesişimleri ise [0,1][0, 1] aralığındadır. Bölge [0,3/4][0, 3/4] ve [3/4,1][3/4, 1] aralıklarında ikiye bölünerek ∫03/4(2x−x2) dx+∫3/41(3−2x−x2) dx\int_{0}^{3/4} (2x - x^2) \, dx + \int_{3/4}^{1} (3 - 2x - x^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
Kesişim noktasında üstteki fonksiyon değiştiği için integralin sınırlarını iki parçaya ayırmak gerekir.
3
Üçüncü bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=x3−xy = x^3 - x eğrisi ile y=3xy = 3x doğrusunun kesişim noktaları x=0x = 0 ve x=2x = 2 (pozitif tarafta) olarak bulunur. Birinci bölgede xx-ekseni de sınır olduğundan [0,1][0, 1] aralığında y=3xy = 3x ile y=0y=0 arası, [1,2][1, 2] aralığında ise y=3xy=3x ile y=x3−xy=x^3-x arası taranır. Bu durum ∫013x dx+∫12(4x−x3) dx\int_{0}^{1} 3x \, dx + \int_{1}^{2} (4x - x^3) \, dx toplamı ile gösterilir.
Eğrinin negatif değer aldığı aralıkta alanın birinci bölgede kalması için alt sınır olarak xx-ekseni (y=0y=0) kullanılmalıdır.
4
Dördüncü bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=x2y = x^2 parabolü ile y=6−xy = 6 - x doğrusunun kesişim noktası x=2x = 2 olarak bulunur. Doğrunun xx-eksenini kestiği nokta ise x=6x = 6'dır. [0,2][0, 2] aralığında üst sınır y=x2y = x^2, [2,6][2, 6] aralığında ise üst sınır y=6−xy = 6-x olup alan ∫02x2 dx+∫26(6−x) dx\int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{2}^{6} (6 - x) \, dx integraline karşılık gelir.
Alan xx-eksenine göre iki ayrı geometrik/eğrisel bölgenin toplamı olarak yazılır.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 11Soru →

Aşağıda verilen sınırlı bölge tanımlarını, bu bölgelerin alanlarını ifade eden doğru değerlerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x3y = x^3 eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında birinci bölgede (x≥0x \geq 0) kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge tanımı 1/6 birimkare ile, ikinci bölge tanımı 1/4 birimkare ile, üçüncü bölge tanımı ise 4/3 birimkare ile eşleşir.
Verilen her üç bölgenin alan hesabı, eğrilerin kesişim noktaları sınır kabul edilerek yapılan integral hesaplamalarıyla tam olarak eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x2y = x^2 ve y=xy = x eğrileri için x2=x  ⟹  x(x−1)=0x^2 = x \implies x(x-1) = 0 denklemi kurulur. Kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=1x = 1 olarak belirlenir. Belirli integral ∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16\int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} birimkaredir.
İki eğrinin kesişim noktaları integralin sınırlarını tanımlar; üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak alan bulunur.
2
İkinci bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x3y = x^3 ve y=xy = x eğrileri için x3=x  ⟹  x(x−1)(x+1)=0x^3 = x \implies x(x-1)(x+1) = 0 denklemi kurulur. Birinci bölgede (x≥0x \geq 0) kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=1x = 1 olur. Belirli integral ∫01(x−x3) dx=[x22−x44]01=12−14=14\int_0^1 (x - x^3) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} birimkaredir.
Pozitif bölgedeki alan sınırları belirlendikten sonra integrasyon kuralları uygulanarak alan değeri hesaplanır.
3
Üçüncü bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x2y = x^2 ve y=2xy = 2x eğrileri için x2=2x  ⟹  x(x−2)=0x^2 = 2x \implies x(x-2) = 0 denklemi kurulur. Kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=2x = 2 olur. Belirli integral ∫02(2x−x2) dx=[x2−x33]02=4−83=43\int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} birimkaredir.
Doğru ve parabol sınırları belirlendikten sonra integral alma kuralları kullanılarak alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasındaki alan, kesişim noktaları sınır olmak üzere, üstteki fonksiyonun grafiğinden alttaki fonksiyonun grafiğinin farkının belirli integrali alınarak bulunur.
Soru 12Soru →

Aşağıda verilen sınırlı bölge tanımlarını, bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=2−x2y = 2 - x^2 parabolü ile y=−xy = -x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x2−4xy = x^2 - 4x parabolü ile y=2x−x2y = 2x - x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x3y = x^3 eğrisi ile y=4xy = 4x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

y=2−x2y = 2 - x^2 parabolü ile y=−xy = -x doğrusunun sınırladığı alan ∫−12(2+x−x2) dx\int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx integrali ile; y=x2−4xy = x^2 - 4x ve y=2x−x2y = 2x - x^2 parabollerinin sınırladığı alan ∫03(6x−2x2) dx\int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx integrali ile; y=x3y = x^3 eğrisi ve y=4xy = 4x doğrusunun sınırladığı alan ise 2∫02(4x−x3) dx2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx integrali ile eşleşir.
Verilen her üç sınırlı bölge için kesişim noktaları doğru şekilde bulunmuş ve ilgili aralıklarda hangi eğrinin üstte olduğu tespit edilerek doğru belirli integral formülleriyle eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için kesişim noktalarını belirleme
2−x2=−x  ⟹  x2−x−2=0  ⟹  (x−2)(x+1)=0  ⟹  x=−12 - x^2 = -x \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=2x = 2
İntegral sınırlarını tespit etmek için eğrilerin kesiştikleri noktaların apsisleri hesaplanır.
2
Birinci bölgenin alan integralini yazma
[−1,2][-1, 2] aralığında üstteki eğri y=2−x2y = 2 - x^2, alttaki eğri y=−xy = -x olduğundan alan integral ifadesi ∫−12(2−x2−(−x)) dx=∫−12(2+x−x2) dx\int_{-1}^{2} (2 - x^2 - (-x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx olur.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki fonksiyonun denklemi ile alttaki fonksiyonun denkleminin farkının sınır değerleri arasında entegre edilmesiyle bulunur.
3
İkinci bölge için kesişim noktalarını belirleme
x2−4x=2x−x2  ⟹  2x2−6x=0  ⟹  2x(x−3)=0  ⟹  x=0x^2 - 4x = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 6x = 0 \implies 2x(x - 3) = 0 \implies x = 0 ve x=3x = 3
İkinci alanın sınır değerlerini bulmak için iki parabolün kesişim noktaları hesaplanır.
4
İkinci bölgenin alan integralini yazma
[0,3][0, 3] aralığında üstteki parabol y=2x−x2y = 2x - x^2, alttaki parabol y=x2−4xy = x^2 - 4x olduğundan alan integral ifadesi ∫03((2x−x2)−(x2−4x)) dx=∫03(6x−2x2) dx\int_{0}^{3} ((2x - x^2) - (x^2 - 4x)) \, dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx olur.
Üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak integral kurulur.
5
Üçüncü bölge için kesişim noktalarını belirleme
x3=4x  ⟹  x3−4x=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0  ⟹  x=−2x^3 = 4x \implies x^3 - 4x = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2
Eğri ve doğrunun kesiştiği tüm noktalar bulunarak sınır değerler tespit edilir.
6
Üçüncü bölgenin simetri özelliğini kullanarak alan integralini yazma
[−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki alanlar simetriden dolayı eşittir. [0,2][0, 2] aralığında üstteki doğru y=4xy = 4x ve alttaki eğri y=x3y = x^3 olduğundan toplam alan integral ifadesi 2∫02(4x−x3) dx2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Tek fonksiyonların simetrik sınırlardaki mutlak alanları eşit olduğundan, toplam alan tek bir bölgenin alanının iki katı olarak yazılabilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın hesabı, eğrilerin kesişim noktaları belirlendikten sonra, üstte kalan eğrinin denkleminden altta kalan eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen ifadenin bu kesişim noktaları sınırlarında integralinin alınmasıyla yapılır.
Soru 13Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9 parabolünün tepe noktası TT'dir. Bu parabol ile y=x−3y = x - 3 doğrusu TT ve AA noktalarında kesişmektedir.

Buna göre, parabol ile TATA doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16\frac{1}{6}

Cevap

Sınırlandırılmıs\cbo¨lgeninalanı16birimkaredir.Sınırlandırılmış bölgenin alanı \frac{1}{6} birimkaredir.
Sınırlandırılmış bölgenin alanı, üstteki doğru (y=x−3y = x - 3) ile alttaki parabol (y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9) arasındaki farkın kesim noktaları olan x=3x=3 ve x=4x=4 sınırları boyunca integralinin alınmasıyla 16\frac{1}{6} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasını bulmak.
y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9 parabolü için a=1a = 1, b=−6b = -6, c=9c = 9 değerleri kullanılarak tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−62(1)=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3 bulunur. Ordinatı ise k=32−6(3)+9=0k = 3^2 - 6(3) + 9 = 0 olup tepe noktası T(3,0)T(3, 0) olarak elde edilir.
Parabolün tepe noktasını belirlemek, doğrunun kesim noktalarından birini tespit etmek için gereklidir.
2
Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak.
x2−6x+9=x−3  ⟹  x2−7x+12=0  ⟹  (x−3)(x−4)=0x^2 - 6x + 9 = x - 3 \implies x^2 - 7x + 12 = 0 \implies (x-3)(x-4) = 0 denklemi çözüldüğünde kesim noktalarının apsisleri x=3x = 3 ve x=4x = 4 bulunur. Buradan kesim noktaları T(3,0)T(3, 0) ve A(4,1)A(4, 1) olarak belirlenir.
Entegrasyon sınırlarını ve alanı sınırlayan eğrilerin kesişim noktalarını belirlemek için bu adım uygulanır.
3
Belirli integral yardımıyla alanı hesaplamak.
[3,4][3, 4] aralığında y=x−3y = x - 3 doğrusu parabolün üzerinde olduğundan, alan S=∫34(x−3−(x2−6x+9))dx=∫34(−x2+7x−12)dxS = \int_3^4 (x - 3 - (x^2 - 6x + 9)) dx = \int_3^4 (-x^2 + 7x - 12) dx integrali ile hesaplanır. u=x−3  ⟹  du=dxu = x-3 \implies du = dx dönüşümü yapıldığında sınırlar x=3  ⟹  u=0x=3 \implies u=0 ve x=4  ⟹  u=1x=4 \implies u=1 olur. İntegral ∫01(u−u2)du=[u22−u33]01=12−13=16\int_0^1 (u - u^2) du = \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} olarak bulunur.
İki eğri arasında kalan bölgenin alanını hesaplamak için üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral alınır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Pratik Parabol-Doğru Alan Formülü: Bir doğru ile bir parabolün kesişmesiyle oluşan sınırlı bölgenin alanı, kesim noktalarının apsisleri farkı Δx\Delta x ve parabolün başkatsayısı aa olmak üzere, S=∣a∣⋅(Δx)36S = \frac{|a| \cdot (\Delta x)^3}{6} formülüyle pratik olarak hesaplanabilir. Burada a=1a = 1 ve Δx=4−3=1\Delta x = 4 - 3 = 1 olduğundan, S=1⋅136=16S = \frac{1 \cdot 1^3}{6} = \frac{1}{6} bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 14Soru →

Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanmış olan bazı kapalı bölgelerin sözel ifadeleri soldaki sütunda, bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral gösterimleri ise sağdaki sütunda verilmiştir. Buna göre, sol sütunda verilen her bir bölgeyi sağ sütundaki doğru integral gösterimiyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

I. bölgede y=x2y = x^2 parabolü, y=8−x2y = 8 - x^2 parabolü ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge
I. bölgede y=x3y = x^3 eğrisi ile y=4xy = 4x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
x=y2x = y^2 parabolü ile y=x−2y = x - 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=2y = 2 doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki bölgelerin doğru belirli integral gösterimleriyle eşleşmesi şu şekildedir: Birinci bölge integral gösterimlerinin üçüncüsüyle, ikinci bölge birincisiyle, üçüncü bölge ikincisiyle ve dördüncü bölge dördüncüsüyle eşleşir.
Her bir sınırlı bölgenin sınırları ortak çözüm yöntemiyle bulunmuş, üstteki (veya sağdaki) fonksiyondan alttaki (veya soldaki) fonksiyon çıkarılarak elde edilen integrandlar doğru integral sınırları ile eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x2=8−x2  ⟹  2x2=8  ⟹  x=2x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x = 2 (I. bölge için x≥0x \ge 0 alınır). Sınırlar 00 ile 22 arasındadır. Üstteki eğri y=8−x2y = 8 - x^2, alttaki eğri y=x2y = x^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx olur.
Eğrilerin kesim noktaları integralin sınırlarını, üstte ve altta kalma durumları ise integrandı belirler.
2
İkinci bölge için kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x3=4x  ⟹  x(x2−4)=0  ⟹  x=2x^3 = 4x \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x = 2 (I. bölge için pozitif kök alınır). Sınırlar 00 ile 22 arasındadır. Bu aralıkta y=4xy = 4x doğrusu y=x3y = x^3 eğrisinin üstünde yer aldığından alan integral ifadesi ∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Kesişim noktaları ve fonksiyonların birbirine göre konumları belirlenerek alan integral ifadesi oluşturulur.
3
Üçüncü bölge için y değişkenine göre kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x=y2x = y^2 ve x=y+2x = y + 2 denklemlerinin ortak çözümünden y2−y−2=0  ⟹  y=−1y^2 - y - 2 = 0 \implies y = -1 ve y=2y = 2 sınırları bulunur. Sağdaki doğru x=y+2x = y + 2, soldaki parabol ise x=y2x = y^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olur.
Eğrilerin y eksenine göre konumları analiz edilerek integral değişkeni y olarak seçilmiştir.
4
Dördüncü bölge için y değişkenine göre sınırları belirleyip integral ifadesini yazma
y=x  ⟹  x=y2y = \sqrt{x} \implies x = y^2 parabolü, y ekseni (x=0x=0) ve y=2y=2 doğrusu ile sınırlanan bölgenin y sınırları 00 ile 22 arasındadır. Sağdaki sınır x=y2x=y^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫02y2 dy\int_{0}^{2} y^2 \, dy olur.
y ekseni boyunca dilimleme yapılarak alan doğrudan y cinsinden ifade edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla x veya y değişkenine göre hesaplanması.
Soru 15Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eğriler arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Kesişim noktaları x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak belirlendikten sonra, [−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki alanlar ayrı ayrı integral ile hesaplanır. Fonksiyonların simetrik yapısından dolayı her iki bölgenin alanı da 4 birimkaredir. Dolayısıyla toplam alan 8 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
x3−3x=x⇒x3−4x=0⇒x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-2)(x+2) = 0 denkleminden kesişim noktaları x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak elde edilir.
İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesiştiği apsis değerlerinin hesaplanması gerekir.
2
Kesişim noktaları arasındaki aralıklarda hangi eğrinin üstte olduğunu analiz edin.
[−2,0][-2, 0] aralığında x3−3x≥xx^3 - 3x \geq x iken [0,2][0, 2] aralığında x≥x3−3xx \geq x^3 - 3x olur.
İntegral ile alan hesabı yapılırken üst sınırda yer alan fonksiyondan alt sınırda yer alan fonksiyon çıkarılır.
3
Belirlenen aralıklarda integral alarak alanları ayrı ayrı hesaplayın.
[0,2][0, 2] aralığındaki alan ∫02(4x−x3) dx=[2x2−x44]02=4\int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 4 birimkare bulunur. Simetriden dolayı [−2,0][-2, 0] aralığındaki alan da 4 birimkaredir.
Her bir sınırlı bölgenin alanı, eğrilerin farkının belirli integrali alınarak bulunur.
4
Elde edilen alan değerlerini toplayarak toplam alanı bulun.
Toplam Alan = 4+4=84 + 4 = 8 birimkaredir.
Eğriler arasında kalan tüm sınırlı bölgelerin toplam alanını bulmak için ayrı ayrı hesaplanan alanlar toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesişim noktaları sınır kabul edilerek, üstteki fonksiyon ile alttaki fonksiyonun farkının belirli integrali alınarak hesaplanır.
Soru 16Soru →

Aşağıda sınırları verilen sınırlı bölgelerin alanlarını, bu alanları veren doğru belirli integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminde y=x2−2xy = x^2 - 2x ve y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında x≥0x \geq 0 için kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde x=y2−1x = y^2 - 1 parabolü ile x=y+1x = y + 1 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge integral olan 8x - 2x^2 fonksiyonunun 0'dan 4'e integraliyle; ikinci bölge 4x - x^3 fonksiyonunun 0'dan 2'ye integraliyle; üçüncü bölge ise 2 + y - y^2 fonksiyonunun -1'den 2'ye y'ye göre integraliyle eşleşir.
Verilen her üç durumda da integral sınırları, eğrilerin kesişim noktalarının çözülmesiyle doğru bir şekilde elde edilmiştir. x eksenine göre integral alınan ilk iki durumda üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılmış; y eksenine göre integral alınan üçüncü durumda ise sağdaki doğrudan soldaki parabol çıkarılarak doğru integraller eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşleşme için parabollerin kesim noktalarını bulmak üzere denklemleri eşitleyin.
x2−2x=6x−x2⇒2x2−8x=0⇒x(2x−8)=0x^2 - 2x = 6x - x^2 \Rightarrow 2x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(2x - 8) = 0 denkleminden sınırlar x=0x = 0 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Belirli integralin alt ve üst sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktalarının apsisleri gereklidir.
2
İlk aralıkta hangi parabolün üstte olduğunu belirleyip alan integralini kurun.
[0,4][0, 4] aralığında y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolü üstte, y=x2−2xy = x^2 - 2x parabolü alttadır. Buradan alan ∫04((6x−x2)−(x2−2x)) dx=∫04(8x−2x2) dx\int_{0}^{4} ((6x - x^2) - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{4} (8x - 2x^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen farkın sınır değerleri arasındaki integraline eşittir.
3
İkinci eşle��me için x≥0x \geq 0 koşulunda kübik eğri ile doğrunun kesim noktalarını bulun ve integralini oluşturun.
x3−3x=x⇒x3−4x=0⇒x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 2)(x + 2) = 0 denkleminden x≥0x \geq 0 için sınırlar x=0x = 0 ve x=2x = 2 bulunur. Bu aralıkta y=xy = x doğrusu üstte olduğundan alan ∫02(x−(x3−3x)) dx=∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (x - (x^3 - 3x)) \, dx = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Bölgenin sağlandığı aralıkta üstteki doğrunun denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak alan integrali kurulur.
4
Üçüncü eşleşme için y değişkenine göre entegrasyon yapmak üzere kesim noktalarının ordinatlarını bulun.
y2−1=y+1⇒y2−y−2=0⇒(y−2)(y+1)=0y^2 - 1 = y + 1 \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow (y - 2)(y + 1) = 0 denkleminden sınırlar y=−1y = -1 ve y=2y = 2 olarak bulunur. Aralıkta sağdaki doğru (x=y+1x = y + 1), soldaki parabolden (x=y2−1x = y^2 - 1) büyük olduğundan alan ∫−12((y+1)−(y2−1)) dy=∫−12(2+y−y2) dy\int_{-1}^{2} ((y + 1) - (y^2 - 1)) \, dy = \int_{-1}^{2} (2 + y - y^2) \, dy şeklinde yazılır.
y eksenine göre alan hesaplanırken integral sınırları kesim noktalarının ordinatlarıdır ve sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla x veya y değişkenlerine göre ifade etme.
Soru 17Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+6x+2f(x) = -x^2 + 6x + 2 parabolünün tepe noktasının apsisi rr olarak verilmiştir. Buna göre, y=f(x)y = f(x) parabolü ile y=rx+2y = rx + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

92(dokuzbo¨lu¨iki)\frac{9}{2} (dokuz bölü iki)
Parabolün tepe noktasının apsisi r=3r = 3 olarak hesaplanır. Buradan doğrunun denklemi y=3x+2y = 3x + 2 olur. Parabol ile doğrunun kesişim noktaları ortak çözüm denkleminden x=0x = 0 ve x=3x = 3 olarak belirlenir. Bu aralıkta üstteki eğriden (parabolden) alttaki eğri (doğru) çıkarılarak [0,3][0, 3] aralığında alınan belirli integral, alan değerini 92\frac{9}{2} birimkare olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulunuz.
f(x)=−x2+6x+2f(x) = -x^2 + 6x + 2 parabolünde a=−1a = -1 ve b=6b = 6 olduğundan, tepe noktasının apsisi r=−b2a=−62(−1)=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3 olur.
Soruda tanımlanan doğrunun denklemi tepe noktasının apsisi rr değerine bağlıdır.
2
Elde edilen r=3r = 3 değerini yerine yazarak doğrunun denklemini bulunuz.
Doğrunun denklemi y=rx+2  ⟹  y=3x+2y = rx + 2 \implies y = 3x + 2 olarak bulunur.
İki eğrinin kesişim noktalarını belirleyebilmek için doğrunun tam denklemine ihtiyaç vardır.
3
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını ortak çözüm yaparak bulunuz.
−x2+6x+2=3x+2  ⟹  −x2+3x=0  ⟹  x(3−x)=0-x^2 + 6x + 2 = 3x + 2 \implies -x^2 + 3x = 0 \implies x(3-x) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x1=0x_1 = 0 ve x2=3x_2 = 3 olarak elde edilir.
İki eğri arasında kalan bölgenin integral sınırlarını belirlemek için kesişim noktaları bulunmalıdır.
4
Belirli integral yardımıyla sınırlandırılan bölgenin alanını hesaplayınız.
Alan A=∫03((−x2+6x+2)−(3x+2)) dx=∫03(3x−x2) dx=[3x22−x33]03=(272−9)−0=92A = \int_0^3 \left( (-x^2 + 6x + 2) - (3x + 2) \right) \, dx = \int_0^3 (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \left( \frac{27}{2} - 9 \right) - 0 = \frac{9}{2} birimkare bulunur.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak sınır değerler arasında alınan belirli integral ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası T1(−4,0)T_1(-4, 0) olan ve kolları sağa doğru açılan P1P_1 parabolü ile tepe noktası T2(8,0)T_2(8, 0) olan ve kolları sola doğru açılan P2P_2 parabolü verilmiştir. Bu iki parabol, yy-eksenini aynı (0,2)(0, 2) ve (0,−2)(0, -2) noktalarında kesmektedir.

Buna göre, P1P_1 ve P2P_2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 32 birimkaredir.
Parabollerin denklemleri sırasıyla x=y2−4x = y^2 - 4 ve x=−2y2+8x = -2y^2 + 8 olarak bulunur. Kesim noktaları olan y=−2y = -2 ve y=2y = 2 sınırları arasında, sağdaki parabolden soldaki parabol çıkarılarak yy değişkenine göre alınan integral alanı 3232 birimkare olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
P1P_1 parabolünün denklemini bulma.
x=y2−4x = y^2 - 4
Tepe noktası T1(−4,0)T_1(-4, 0) olan ve sağa açılan yatay parabol denklemi x=ay2−4x = ay^2 - 4 şeklindedir. (0,2)(0,2) noktasını sağladığından 0=4a−4  ⟹  a=10 = 4a - 4 \implies a = 1 olur.
2
P2P_2 parabolünün denklemini bulma.
x=−2y2+8x = -2y^2 + 8
Tepe noktası T2(8,0)T_2(8, 0) olan ve sola açılan yatay parabol denklemi x=by2+8x = by^2 + 8 şeklindedir. (0,2)(0,2) noktasını sağladığından 0=4b+8  ⟹  b=−20 = 4b + 8 \implies b = -2 olur.
3
Kesim noktalarını belirleme.
y=−2y = -2 ve y=2y = 2
İki parabolün kesim noktalarını bulmak için denklemleri ortak çözeriz: y2−4=−2y2+8  ⟹  3y2=12  ⟹  y=±2y^2 - 4 = -2y^2 + 8 \implies 3y^2 = 12 \implies y = \pm 2.
4
Alan integralini kurma ve hesaplama.
32
[−2,2][-2, 2] aralığında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak yy eksenine göre integral alınır: ∫−22((−2y2+8)−(y2−4)) dy=∫−22(12−3y2) dy=[12y−y3]−22=32\int_{-2}^{2} ((-2y^2 + 8) - (y^2 - 4)) \, dy = \int_{-2}^{2} (12 - 3y^2) \, dy = [12y - y^3]_{-2}^{2} = 32.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın, y değişkenine göre belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Soru 19Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=3x2y = 3x^2 parabolü ile y=3y = 3 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 4 birimkaredir.
Verilen parabol ile doğrunun kesişim noktaları x=−1x = -1 ve x=1x = 1 olarak bulunur. [−1,1][-1, 1] aralığında doğru (y=3y = 3) parabolün (y=3x2y = 3x^2) üstünde kaldığından, aradaki alan ∫−11(3−3x2) dx\int_{-1}^{1} (3 - 3x^2) \, dx integrali ile hesaplanır. Bu integralin değeri 44 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
y=3x2y = 3x^2 parabolü ile y=3y = 3 doğrusunun kesişim noktalarını bulun.
3x2=3  ⟹  x2=1  ⟹  x=−13x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 ve x=1x = 1.
Kesişim noktaları integralin alt ve üst sınırlarını belirler.
2
Üstteki eğri olan y=3y = 3 doğrusundan alttaki eğri olan y=3x2y = 3x^2 parabolünü çıkararak alanı veren integral ifadesini yazın.
Alan=∫−11(3−3x2) dxAlan = \int_{-1}^{1} (3 - 3x^2) \, dx
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak hesaplanır.
3
İntegrali hesaplayıp sınır değerlerini yerine yazın.
Alan=[3x−x3]−11=(3(1)−13)−(3(−1)−(−1)3)=2−(−2)=4Alan = \left[ 3x - x^3 \right]_{-1}^{1} = (3(1) - 1^3) - (3(-1) - (-1)^3) = 2 - (-2) = 4.
Belirli integralin değerini hesaplayarak alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Soru 20Soru →

Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanan aşağıdaki bölgeleri, bu bölgelerin alanlarını veren doğru belirli integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge I)
y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölge (Bölge II)
y=4−x2y = 4 - x^2 parabolü ile y=x+2y = x + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge III)

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Bölge I için integral ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx, Bölge II için integral ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx, Bölge III için integral ∫−21(2−x−x2) dx\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx olmalıdır.
Her üç bölgenin de alan formülleri doğru bir şekilde kesişim noktaları alt ve üst sınır alınarak ve üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak oluşturulmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölgelerin sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktalarını bulunuz.
x2=2x  ⟹  x=0,2x^2 = 2x \implies x = 0, 2; x=x2  ⟹  x=0,1\sqrt{x} = x^2 \implies x = 0, 1 ve 4−x2=x+2  ⟹  x=−2,14-x^2 = x+2 \implies x = -2, 1 kesişim sınırları elde edilir.
Belirli integralin alt ve üst sınırlarını tespit etmek için sınır eğrilerinin kesim noktaları bulunmalıdır.
2
Her bir bölge için hangi eğrinin üstte hangisinin altta olduğunu belirleyiniz.
Bölge I'de y=2xy = 2x üstte, y=x2y = x^2 alttadır; Bölge II'de y=xy = \sqrt{x} üstte, y=x2y = x^2 alttadır; Bölge III'de y=4−x2y = 4-x^2 üstte, y=x+2y = x+2 alttadır.
İki eğri arasındaki alan hesaplanırken integral içi ifade üstteki eğri eksi alttaki eğri olarak yazılır.
3
Elde edilen sınırları ve integral içi ifadeleri birleştirerek integral gösterimlerini oluşturunuz.
Bölge I alanı ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx; Bölge II alanı ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx; Bölge III alanı ∫−21(2−x−x2) dx\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx integralleri ile eşleşir.
Belirli integral tanımı gereği ∫ab[f(x)−g(x)] dx\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx ifadesi alanı verir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla ifade edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 3Sonraki
İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin