Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde sınırları verilen bazı kapalı bölgeler sol sütunda, bu bölgelerin alanların�� veren belirli integral ifadeleri ise sağ sütunda yer almaktadır.

Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki uygun integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

  • y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx
  • y=x2y = x^2 parabolü ile y=xy = \sqrt{x} eğrisi arasında kalan sınırlı bölge∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx
  • y=x2y = x^2 ve y=8−x2y = 8 - x^2 parabolleri ile yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölge (x≥0x \ge 0)∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx

Cevap

Birinci bölge ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx integrali ile, ikinci bölge ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx integrali ile ve üçüncü bölge ∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx integrali ile eşleşir.
Verilen her bir bölge için kesişim noktaları bulunarak integral sınırları belirlenmiş, ardından üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak doğru integral ifadeleriyle eşleştirme yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bularak entegrasyon sınırlarını belirleyin.
Birinci bölge için x2=2x  ⟹  x=0x^2 = 2x \implies x = 0 ve x=2x = 2. İkinci bölge için x2=x  ⟹  x=0x^2 = \sqrt{x} \implies x = 0 ve x=1x = 1. Üçüncü bölge için x2=8−x2  ⟹  x=2x^2 = 8 - x^2 \implies x = 2 (x≥0x \ge 0 için) ve sol sınır yy-ekseni olduğundan x=0x = 0.
Belirli integral sınırları, iki eğri arasında kalan alanın sınırlandığı x değerlerini tanımlar.
2
Hangi eğrinin üstte hangisinin altta olduğunu belirleyin.
[0,2][0,2] aralığında 2x≥x22x \ge x^2, [0,1][0,1] aralığında x≥x2\sqrt{x} \ge x^2 ve [0,2][0,2] aralığında 8−x2≥x28 - x^2 \ge x^2 olur.
Alan her zaman pozitif olmalıdır, bu yüzden üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılır.
3
Her bölge için alan integralini yazın.
Sırasıyla ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx, ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx ve ∫02((8−x2)−x2) dx=∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} ((8-x^2)-x^2) \, dx = \int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx.
Alan formülü ∫ab(f(x)−g(x)) dx\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx şeklinde uygulanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla ifade etme
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru