Examkin

Soru

Zorluk: Kolayİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Aşağıda, dik koordinat düzleminde sınırları verilen bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleri verilmiştir. Bölgeleri, bu alanları doğru şekilde ifade eden integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

  • y=x2y = x^2 eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx
  • y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı∫01(x−x) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) \, dx
  • y=x3y = x^3 eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında, birinci bölgede (x≥0x \ge 0) kalan sınırlı bölgenin alanı∫01(x−x3) dx\int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx

Cevap

y=x2y = x^2 ve y=xy = x eğrileri arasındaki alan ∫01(x−x2) dx\int_0^1 (x - x^2) \, dx integrali ile, y=xy = \sqrt{x} ve y=xy = x eğrileri arasındaki alan ∫01(x−x) dx\int_0^1 (\sqrt{x} - x) \, dx integrali ile ve birinci bölgedeki y=x3y = x^3 ve y=xy = x eğrileri arasındaki alan ise ∫01(x−x3) dx\int_0^1 (x - x^3) \, dx integrali ile eşleşir.
Verilen her bir eğri çifti için öncelikle kesişim noktaları bulunarak entegrasyon sınırları belirlenir. Ardından, ilgili aralıkta hangi fonksiyonun grafiğinin daha üstte olduğu belirlenerek üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılır. Bu doğrultuda, y=x2y=x^2 ve y=xy=x için [0,1][0,1] aralığında x≥x2x \ge x^2 olduğundan alan ∫01(x−x2)dx\int_0^1 (x-x^2)dx olur. y=xy=\sqrt{x} ve y=xy=x için [0,1][0,1] aralığında x≥x\sqrt{x} \ge x olduğundan alan ∫01(x−x)dx\int_0^1 (\sqrt{x}-x)dx olur. Birinci bölgede y=x3y=x^3 ve y=xy=x için ise [0,1][0,1] aralığında x≥x3x \ge x^3 olduğundan alan ∫01(x−x3)dx\int_0^1 (x-x^3)dx olarak ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulunuz.
x2=x  ⟹  x=0,1x^2 = x \implies x=0, 1; x=x  ⟹  x=0,1\sqrt{x} = x \implies x=0, 1; x3=x  ⟹  x=0,1x^3 = x \implies x=0, 1 (birinci bölgede). Tüm eğri çiftleri için entegrasyon sınırları [0,1][0,1] olarak belirlenir.
İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktaları bulunur.
2
Belirlenen [0,1][0,1] aralığında hangi eğrinin üstte olduğunu belirleyiniz.
[0,1][0,1] aralığında x≥x2x \ge x^2, x≥x\sqrt{x} \ge x ve x≥x3x \ge x^3 eşitsizlikleri geçerlidir.
Alan hesabında üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.
3
Alanları temsil eden integral ifadelerini yazıp eşleştiriniz.
Alan integralleri sırasıyla ∫01(x−x2) dx\int_0^1 (x - x^2) \, dx, ∫01(x−x) dx\int_0^1 (\sqrt{x} - x) \, dx ve ∫01(x−x3) dx\int_0^1 (x - x^3) \, dx olur.
Elde edilen sınırlar ve integraller kullanılarak doğru eşleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru