Examkin

Soru

Zorluk: ZorMaksimum ve Minimum Problemleri

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=8xy = \frac{8}{x} eğrisine üzerindeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenleri arasında kalan parçasının uzunluğu en az kaç birimdir?

Cevap: 8 birim

Cevap

Teğet doğrusunun koordinat eksenleri arasında kalan parçasının en kısa uzunluğu 8 birimdir.
Teğet doğrusunun eksenler arasında kalan parçasının uzunluğunu veren fonksiyon L(a)=4a2+256a2L(a) = \sqrt{4a^2 + \frac{256}{a^2}} şeklindedir. Bu fonksiyonun en küçük değerini bulmak için türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen a=22a = 2\sqrt{2} değeri fonksiyonda yerine yazıldığında en kısa uzunluk 64=8\sqrt{64} = 8 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasını belirleme ve türev yardımıyla teğet doğrusunun eğimini bulma
Teğet noktası P(a,8a)P(a, \frac{8}{a}) ve teğet doğrusunun eğimi m=−8a2m = -\frac{8}{a^2} olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini oluşturabilmek için öncelikle eğrinin üzerindeki bir noktayı ve bu noktadaki türev değerini kullanarak eğimi bulmamız gerekir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazma
Doğru denklemi y=−8a2x+16ay = -\frac{8}{a^2}x + \frac{16}{a} şeklinde elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü olan y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) kullanılarak teğetin denklemi oluşturulur.
3
Teğet doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulma
y-eksenini kestiği nokta A(0,16a)A(0, \frac{16}{a}) ve x-eksenini kestiği nokta B(2a,0)B(2a, 0) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun eksenler arasında kalan parçasının uç noktalarını belirlemek için eksenleri kestiği noktaları bulmalıyız.
4
Eksenler arasında kalan parçanın uzunluk fonksiyonunu tanımlama
Uzunluğun karesi L2=4a2+256a2L^2 = 4a^2 + \frac{256}{a^2} olarak ifade edilir.
A ve B noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülü (Pisagor teoremi) uygulanır.
5
Uzunluk fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma
8a−512a3=08a - \frac{512}{a^3} = 0 denklemi çözülerek a=22a = 2\sqrt{2} kritik noktası elde edilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) değerlerini bulmak için türevi sıfıra eşitlenir.
6
Kritik noktayı fonksiyon yerine yazarak en küçük uzunluk değerini hesaplama
L2=64  ⟹  L=8L^2 = 64 \implies L = 8 olarak hesaplanır.
Bulunan kritik değer fonksiyon yerine yazılarak en küçük uzunluk değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü ve türevin geometrik yorumu

Alternatif Yöntem

Aritmetik ve Geometrik Ortalama (AGO) eşitsizliği kullanılarak türev almadan da bu problem çözülebilir. L2=4a2+256a2L^2 = 4a^2 + \frac{256}{a^2} ifadesinde terimlerin her ikisi de pozitif olduğundan AGO eşitsizliğine göre: 4a2+256a2≥24a2⋅256a2=21024=644a^2 + \frac{256}{a^2} \geq 2\sqrt{4a^2 \cdot \frac{256}{a^2}} = 2\sqrt{1024} = 64 olur. Buradan L2≥64  ⟹  L≥8L^2 \geq 64 \implies L \geq 8 bulunur. Eşitlik durumu 4a2=256a2  ⟹  a4=64  ⟹  a=224a^2 = \frac{256}{a^2} \implies a^4 = 64 \implies a = 2\sqrt{2} için sağlanır. Dolayısıyla en küçük uzunluk 8 birimdir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru