Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMaksimum ve Minimum Problemleri

Yarıçapı 99 birim olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koninin yüksekliği kaç birimdir?

Cevap: 12 birim

Cevap

En büyük hacimli dik dairesel koninin yüksekliği 12 birimdir.
Kürenin merkezinden koninin tabanına olan dik uzaklık ∣h−9∣|h-9| birimdir. Küre yüzeyindeki bir nokta ile merkez ve taban merkezi arasında oluşturulan dik üçgende Pisagor bağıntısı yazıldığında r2+(h−9)2=81  ⟹  r2=18h−h2r^2 + (h-9)^2 = 81 \implies r^2 = 18h - h^2 elde edilir. Koninin hacmi V(h)=13πr2h=π3(18h2−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}(18h^2 - h^3) olarak bulunur. Maksimum hacim için türev alındığında V′(h)=πh(12−h)=0V'(h) = \pi h(12-h) = 0 denklemi elde edilir. h>0h > 0 koşulunu sağlayan kök h=12h = 12 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik modelin kurulması ve değişkenlerin belirlenmesi
Kürenin yarıçapı R=9R = 9 birim, koninin yüksekliği hh ve taban yarıçapı rr olsun.
Koninin hacmini maksimum yapabilmek için boyutları arasındaki ilişkiyi veren bir denklem kurmamız gerekir.
2
Küre içindeki dik üçgen yardımıyla bağıntı oluşturulması
r2+(h−9)2=92  ⟹  r2=18h−h2r^2 + (h - 9)^2 = 9^2 \implies r^2 = 18h - h^2
Kürenin merkezi OO, koninin tepe noktası AA ve tabanının merkezi MM olsun. Koni tabanının çemberi üzerindeki bir BB noktası için OB=9OB = 9 (yarıçap) ve OM=∣h−9∣OM = |h - 9| olur. OMBOMB dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır.
3
Hacim formülünün tek değişkene bağlı yazılması
V(h)=13πr2h=π3(18h−h2)h=π3(18h2−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}(18h - h^2)h = \frac{\pi}{3}(18h^2 - h^3)
Türev alarak ekstremum noktayı bulabilmek için fonksiyonun tek değişken (hh) cinsinden ifade edilmesi gerekir.
4
Hacim fonksiyonunun türevinin sıfıra eşitlenmesi
V′(h)=π3(36h−3h2)=πh(12−h)=0  ⟹  h=12V'(h) = \frac{\pi}{3}(36h - 3h^2) = \pi h(12 - h) = 0 \implies h = 12 birim
Bir fonksiyonun maksimum değerini aldığı noktada birinci türevi sıfırdır. 0<h<180 < h < 18 aralığında türevi sıfır yapan tek değer h=12h = 12 olup, bu değer hacmi maksimum yapar.

Anahtar Kavram

Maksimum-minimum problemlerinde, optimize edilecek büyüklük (hacim, alan vb.) tek bir değişkene bağlı fonksiyon olarak ifade edilir. Bu fonksiyonun birinci türevinin işaret değiştirdiği (özellikle pozitiften negatife geçtiği) yerel maksimum noktası aranır.
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru