Examkin

Soru

Zorluk: ZorMaksimum ve Minimum Problemleri

Yarıçapı 12 cm12\text{ cm} olan daire şeklindeki bir kartondan bir daire dilimi kesilip kıvrılarak bir dik dairesel koni elde ediliyor. Buna göre, elde edilebilecek en büyük hacimli koninin yüksekliği kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    262\sqrt{6}
  2. B
    6
  3. 434\sqrt{3}Cevap
  4. D
    464\sqrt{6}
  5. E
    8

Cevap

En büyük hacimli koninin yüksekliği 43 cm4\sqrt{3}\text{ cm}'dir.
Oluşturulacak koninin yüksekliği hh ve taban yarıçapı rr olduğunda, Pisagor teoreminden r2=144−h2r^2 = 144 - h^2 elde edilir. Koninin hacim fonksiyonu V(h)=π3(144h−h3)V(h) = \frac{\pi}{3}(144h - h^3) olarak yazılır. Bu fonksiyonun türevi V′(h)=π3(144−3h2)V'(h) = \frac{\pi}{3}(144 - 3h^2) olup, türevin sıfır olduğu pozitif hh değeri h=43h = 4\sqrt{3} olarak bulunur. Bu değer hacmi en büyük yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin geometrik değişkenleri ile kartonun yarıçapı arasındaki ilişkiyi kurmak.
Oluşan dik dairesel koninin ana doğrusunun (yanal ayrıtının) uzunluğu, kartonun yarıçapı olan L=12 cmL = 12\text{ cm} olur. Koninin yüksekliği hh ve taban yarıçapı rr olmak üzere, dik üçgenden r2+h2=122=144  ⟹  r2=144−h2r^2 + h^2 = 12^2 = 144 \implies r^2 = 144 - h^2 bağıntısı elde edilir.
Koninin hacmini tek bir değişkenler cinsinden ifade edebilmek amacıyla yükseklik ile yarıçap arasındaki bağıntıyı kurmamız gerekir.
2
Koninin hacim fonksiyonunu yükseklik (hh) cinsinden yazmak.
V(h)=13πr2h=13π(144−h2)h=π3(144h−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (144 - h^2) h = \frac{\pi}{3} (144h - h^3)
Maksimum hacmi bulmak için hacim formülünde r2r^2 yerine hh cinsinden eşiti yazılarak tek değişkenli fonksiyona geçiş yapılır.
3
Hacim fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulmak.
V′(h)=π3(144−3h2)=0  ⟹  144−3h2=0  ⟹  3h2=144  ⟹  h2=48  ⟹  h=43 cmV'(h) = \frac{\pi}{3} (144 - 3h^2) = 0 \implies 144 - 3h^2 = 0 \implies 3h^2 = 144 \implies h^2 = 48 \implies h = 4\sqrt{3}\text{ cm}
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını (maksimum/minimum noktaları) bulmak için türevin sıfır olduğu değerler incelenir.
4
Bulunan h=43h = 4\sqrt{3} değerinin maksimum hacmi verdi��ini doğrulamak.
h∈(0,12)h \in (0, 12) aralığında V′(h)V'(h) türevinin işaret tablosu incelendiğinde, h=43h = 4\sqrt{3} noktasına kadar fonksiyonun artan, bu noktadan sonra azalan olduğu görülür. Dolayısıyla bu değer maksimum hacmi verir.
Kritik noktanın gerçekten yerel maksimum noktası olduğunu garanti etmek için işaret incelemesi yapılır.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde değişkenlerin birbirine bağlanması, tek değişkenli fonksiyon oluşturulması ve bu fonksiyonun türevi yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru