Examkin

Soru

Zorluk: ZorMaksimum ve Minimum Problemleri

Yarıçapı 9 cm9\text{ cm} olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 olur?

  1. A
    144
  2. B
    243
  3. 288Cevap
  4. D
    324
  5. E
    864

Cevap

En büyük hacim 288*pi cm^3 olarak bulunur.
En büyük hacimli koninin yüksekliği türev yardımıyla 12 cm olarak belirlenir. Bu yükseklik değeri için taban yarıçapının karesi 72 cm^2 olur. Koni hacim formülü uygulandığında en büyük hacim 288*pi cm^3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kürenin içine yerleştirilen dik koninin boyutları ile küre yarıçapı arasındaki ilişkiyi kurmak için bir geometrik model oluşturulur.
Koninin taban yarıçapı rr ve yüksekliği hh olsun. Kürenin merkezi OO ve yarıçapı R=9 cmR = 9\text{ cm}'dir. Koninin taban merkezinin küre merkezine olan uzaklığı xx ise, yükseklik h=9+xh = 9 + x olur. Küre merkezinden koninin taban çemberine çizilen yarıçap dik üçgen oluşturur: r2+x2=92⇒r2=81−x2r^2 + x^2 = 9^2 \Rightarrow r^2 = 81 - x^2.
Koninin taban yarıçapını yüksekliği cinsinden ifade edebilmek için küre içindeki dik üçgen bağıntısını kullanırız.
2
Koninin hacmini tek bir değişkene (hh değişkenine) bağlı bir fonksiyon olarak yazmak.
x=h−9x = h - 9 yazılırsa, r2=81−(h−9)2=18h−h2r^2 = 81 - (h - 9)^2 = 18h - h^2 elde edilir. Koninin hacim formülü V(h)=13πr2hV(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h olduğuna göre, hacim fonksiyonu V(h)=13π(18h−h2)h=13π(18h2−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi (18h - h^2)h = \frac{1}{3}\pi (18h^2 - h^3) olarak bulunur.
Maksimum hacmi bulabilmek amacıyla türevi alınacak tek değişkenli fonksiyonu elde etmek gerekir.
3
Hacim fonksiyonunun maksimum değerini bulmak için hh değişkenine göre türevi alınır ve sıfıra eşitlenir.
V′(h)=13π(36h−3h2)=πh(12−h)=0V'(h) = \frac{1}{3}\pi (36h - 3h^2) = \pi h (12 - h) = 0 denklemi elde edilir. Buradan h>0h > 0 olması gerektiğinden h=12 cmh = 12\text{ cm} bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevin sıfır olduğu noktalarda aranır.
4
Bulunan yükseklik değeri için maksimum hacmi hesaplamak.
h=12 cmh = 12\text{ cm} için koninin hacmi V(12)=13π(18⋅122−123)=13π⋅122⋅(18−12)=13π⋅144⋅6=288π cm3V(12) = \frac{1}{3}\pi (18 \cdot 12^2 - 12^3) = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot (18 - 12) = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 6 = 288\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Hacim fonksiyonunda kritik noktayı yerine yazarak maksimum hacim değerini elde ederiz.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla geometrik şekillerin maksimum ve minimum hacim/alan hesaplamalarının yapılması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru