Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMaksimum ve Minimum Problemleri

Dik koordinat düzleminde, bir köşesi orijin O(0,0)O(0,0) noktasında olan bir OABOAB dik üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin [OA][OA] kenarı pozitif xx-ekseni üzerinde, BB köşesi ise birinci bölgede y=x⋅e−xy = x \cdot e^{-x} eğrisi üzerindedir. [OA]⊥[AB][OA] \perp [AB] olduğuna göre, bu üçgenin alanının maksimum değerini almas��nı sağlayan θ=m(AOB^)\theta = m(\widehat{AOB}) dar açısı için tan⁡θ\tan\theta değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ee
  2. B
    1e\frac{1}{e}
  3. 1e2\frac{1}{e^2}Cevap
  4. D
    2e2\frac{2}{e^2}
  5. E
    e2e^2

Cevap

Maksimum alan durumunda dik üçgende dar açının tanjantı karşı dik kenar bölü komşu dik kenar oranından 1/e^2 olarak elde edilir.
Üçgenin alanını veren 12x2e−x\frac{1}{2}x^2 e^{-x} fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde alanı maksimum yapan apsis değeri x=2x=2 olarak bulunur. Bu durumda karşı dik kenar 2e−22e^{-2} birim, komşu dik kenar ise 22 birim uzunluğunda olur. θ\theta açısının tanjantı karşı/komşu oranından e−2e^{-2} yani 1/e21/e^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin köşelerinin koordinatlarını değişken cinsinden belirleme
BB köşesi y=x⋅e−xy = x \cdot e^{-x} eğrisi üzerinde olduğundan koordinatları B(x,x⋅e−x)B(x, x \cdot e^{-x}) şeklindedir. [OA][OA] kenarı xx-ekseni üzerinde ve [OA]⊥[AB][OA] \perp [AB] olduğundan AA köşesi A(x,0)A(x, 0) olur.
Üçgenin alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için köşe koordinatlarının belirlenmesi gerekir.
2
Üçgenin alan fonksiyonunu oluşturma
OABOAB dik üçgeninin dik kenar uzunlukları ∣OA∣=x|OA| = x ve ∣AB∣=x⋅e−x|AB| = x \cdot e^{-x} birimdir. Buradan üçgenin alanı Alan(x)=12⋅∣OA∣⋅∣AB∣=12x2e−x\text{Alan}(x) = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |AB| = \frac{1}{2} x^2 e^{-x} olarak elde edilir.
Maksimum yapılacak olan büyüklük alan olduğundan, alanın xx değişkenine bağlı fonksiyonu kurulmalıdır.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp kritik noktaları bulma
Alan′(x)=12(2x⋅e−x−x2⋅e−x)=12x(2−x)e−x\text{Alan}'(x) = \frac{1}{2} \left( 2x \cdot e^{-x} - x^2 \cdot e^{-x} \right) = \frac{1}{2} x(2 - x)e^{-x} olur. Alan′(x)=0\text{Alan}'(x) = 0 denklemini sağlayan pozitif xx değeri x=2x = 2 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarını belirlemek için birinci türevinin kökleri incelenmelidir.
4
Bulunan kritik değer için tanjant oranını hesaplama
x=2x = 2 için OABOAB dik üçgeninde θ=m(AOB^)\theta = m(\widehat{AOB}) açısının tanjantı tan⁡θ=∣AB∣∣OA∣=2e−22=e−2=1e2\tan\theta = \frac{|AB|}{|OA|} = \frac{2e^{-2}}{2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2} olarak bulunur.
Alanı maksimum yapan xx değeri kullanılarak soru kökünde istenen trigonometrik oran hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türevin maksimum ve minimum problemlerine uygulanması ve geometrik şekillerin optimizasyonu.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru