Examkin

Maksimum ve Minimum Problemleri

35 soru

Tüm türler35Çoktan seçmeli18Sayısal9Kısa cevap8
Soru 1Soru →

Yarıçapı 9 cm9\text{ cm} olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

En büyük hacim 288*pi cm^3 olarak bulunur.
En büyük hacimli koninin yüksekliği türev yardımıyla 12 cm olarak belirlenir. Bu yükseklik değeri için taban yarıçapının karesi 72 cm^2 olur. Koni hacim formülü uygulandığında en büyük hacim 288*pi cm^3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kürenin içine yerleştirilen dik koninin boyutları ile küre yarıçapı arasındaki ilişkiyi kurmak için bir geometrik model oluşturulur.
Koninin taban yarıçapı rr ve yüksekliği hh olsun. Kürenin merkezi OO ve yarıçapı R=9 cmR = 9\text{ cm}'dir. Koninin taban merkezinin küre merkezine olan uzaklığı xx ise, yükseklik h=9+xh = 9 + x olur. Küre merkezinden koninin taban çemberine çizilen yarıçap dik üçgen oluşturur: r2+x2=92⇒r2=81−x2r^2 + x^2 = 9^2 \Rightarrow r^2 = 81 - x^2.
Koninin taban yarıçapını yüksekliği cinsinden ifade edebilmek için küre içindeki dik üçgen bağıntısını kullanırız.
2
Koninin hacmini tek bir değişkene (hh değişkenine) bağlı bir fonksiyon olarak yazmak.
x=h−9x = h - 9 yazılırsa, r2=81−(h−9)2=18h−h2r^2 = 81 - (h - 9)^2 = 18h - h^2 elde edilir. Koninin hacim formülü V(h)=13πr2hV(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h olduğuna göre, hacim fonksiyonu V(h)=13π(18h−h2)h=13π(18h2−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi (18h - h^2)h = \frac{1}{3}\pi (18h^2 - h^3) olarak bulunur.
Maksimum hacmi bulabilmek amacıyla türevi alınacak tek değişkenli fonksiyonu elde etmek gerekir.
3
Hacim fonksiyonunun maksimum değerini bulmak için hh değişkenine göre türevi alınır ve sıfıra eşitlenir.
V′(h)=13π(36h−3h2)=πh(12−h)=0V'(h) = \frac{1}{3}\pi (36h - 3h^2) = \pi h (12 - h) = 0 denklemi elde edilir. Buradan h>0h > 0 olması gerektiğinden h=12 cmh = 12\text{ cm} bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevin sıfır olduğu noktalarda aranır.
4
Bulunan yükseklik değeri için maksimum hacmi hesaplamak.
h=12 cmh = 12\text{ cm} için koninin hacmi V(12)=13π(18⋅122−123)=13π⋅122⋅(18−12)=13π⋅144⋅6=288π cm3V(12) = \frac{1}{3}\pi (18 \cdot 12^2 - 12^3) = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot (18 - 12) = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 6 = 288\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Hacim fonksiyonunda kritik noktayı yerine yazarak maksimum hacim değerini elde ederiz.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla geometrik şekillerin maksimum ve minimum hacim/alan hesaplamalarının yapılması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Dik koordinat düzleminde, bir köşesi orijin O(0,0)O(0,0) noktasında olan bir OABOAB dik üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin [OA][OA] kenarı pozitif xx-ekseni üzerinde, BB köşesi ise birinci bölgede y=x⋅e−xy = x \cdot e^{-x} eğrisi üzerindedir. [OA]⊥[AB][OA] \perp [AB] olduğuna göre, bu üçgenin alanının maksimum değerini almas��nı sağlayan θ=m(AOB^)\theta = m(\widehat{AOB}) dar açısı için tan⁡θ\tan\theta değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1e2\frac{1}{e^2}

Cevap

Maksimum alan durumunda dik üçgende dar açının tanjantı karşı dik kenar bölü komşu dik kenar oranından 1/e^2 olarak elde edilir.
Üçgenin alanını veren 12x2e−x\frac{1}{2}x^2 e^{-x} fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde alanı maksimum yapan apsis değeri x=2x=2 olarak bulunur. Bu durumda karşı dik kenar 2e−22e^{-2} birim, komşu dik kenar ise 22 birim uzunluğunda olur. θ\theta açısının tanjantı karşı/komşu oranından e−2e^{-2} yani 1/e21/e^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin köşelerinin koordinatlarını değişken cinsinden belirleme
BB köşesi y=x⋅e−xy = x \cdot e^{-x} eğrisi üzerinde olduğundan koordinatları B(x,x⋅e−x)B(x, x \cdot e^{-x}) şeklindedir. [OA][OA] kenarı xx-ekseni üzerinde ve [OA]⊥[AB][OA] \perp [AB] olduğundan AA köşesi A(x,0)A(x, 0) olur.
Üçgenin alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için köşe koordinatlarının belirlenmesi gerekir.
2
Üçgenin alan fonksiyonunu oluşturma
OABOAB dik üçgeninin dik kenar uzunlukları ∣OA∣=x|OA| = x ve ∣AB∣=x⋅e−x|AB| = x \cdot e^{-x} birimdir. Buradan üçgenin alanı Alan(x)=12⋅∣OA∣⋅∣AB∣=12x2e−x\text{Alan}(x) = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |AB| = \frac{1}{2} x^2 e^{-x} olarak elde edilir.
Maksimum yapılacak olan büyüklük alan olduğundan, alanın xx değişkenine bağlı fonksiyonu kurulmalıdır.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp kritik noktaları bulma
Alan′(x)=12(2x⋅e−x−x2⋅e−x)=12x(2−x)e−x\text{Alan}'(x) = \frac{1}{2} \left( 2x \cdot e^{-x} - x^2 \cdot e^{-x} \right) = \frac{1}{2} x(2 - x)e^{-x} olur. Alan′(x)=0\text{Alan}'(x) = 0 denklemini sağlayan pozitif xx değeri x=2x = 2 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarını belirlemek için birinci türevinin kökleri incelenmelidir.
4
Bulunan kritik değer için tanjant oranını hesaplama
x=2x = 2 için OABOAB dik üçgeninde θ=m(AOB^)\theta = m(\widehat{AOB}) açısının tanjantı tan⁡θ=∣AB∣∣OA∣=2e−22=e−2=1e2\tan\theta = \frac{|AB|}{|OA|} = \frac{2e^{-2}}{2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2} olarak bulunur.
Alanı maksimum yapan xx değeri kullanılarak soru kökünde istenen trigonometrik oran hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türevin maksimum ve minimum problemlerine uygulanması ve geometrik şekillerin optimizasyonu.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 3Soru →

Yarıçapı 99 birim olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koninin yüksekliği kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

En büyük hacimli dik dairesel koninin yüksekliği 12 birimdir.
Kürenin merkezinden koninin tabanına olan dik uzaklık ∣h−9∣|h-9| birimdir. Küre yüzeyindeki bir nokta ile merkez ve taban merkezi arasında oluşturulan dik üçgende Pisagor bağıntısı yazıldığında r2+(h−9)2=81  ⟹  r2=18h−h2r^2 + (h-9)^2 = 81 \implies r^2 = 18h - h^2 elde edilir. Koninin hacmi V(h)=13πr2h=π3(18h2−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}(18h^2 - h^3) olarak bulunur. Maksimum hacim için türev alındığında V′(h)=πh(12−h)=0V'(h) = \pi h(12-h) = 0 denklemi elde edilir. h>0h > 0 koşulunu sağlayan kök h=12h = 12 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik modelin kurulması ve değişkenlerin belirlenmesi
Kürenin yarıçapı R=9R = 9 birim, koninin yüksekliği hh ve taban yarıçapı rr olsun.
Koninin hacmini maksimum yapabilmek için boyutları arasındaki ilişkiyi veren bir denklem kurmamız gerekir.
2
Küre içindeki dik üçgen yardımıyla bağıntı oluşturulması
r2+(h−9)2=92  ⟹  r2=18h−h2r^2 + (h - 9)^2 = 9^2 \implies r^2 = 18h - h^2
Kürenin merkezi OO, koninin tepe noktası AA ve tabanının merkezi MM olsun. Koni tabanının çemberi üzerindeki bir BB noktası için OB=9OB = 9 (yarıçap) ve OM=∣h−9∣OM = |h - 9| olur. OMBOMB dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır.
3
Hacim formülünün tek değişkene bağlı yazılması
V(h)=13πr2h=π3(18h−h2)h=π3(18h2−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}(18h - h^2)h = \frac{\pi}{3}(18h^2 - h^3)
Türev alarak ekstremum noktayı bulabilmek için fonksiyonun tek değişken (hh) cinsinden ifade edilmesi gerekir.
4
Hacim fonksiyonunun türevinin sıfıra eşitlenmesi
V′(h)=π3(36h−3h2)=πh(12−h)=0  ⟹  h=12V'(h) = \frac{\pi}{3}(36h - 3h^2) = \pi h(12 - h) = 0 \implies h = 12 birim
Bir fonksiyonun maksimum değerini aldığı noktada birinci türevi sıfırdır. 0<h<180 < h < 18 aralığında türevi sıfır yapan tek değer h=12h = 12 olup, bu değer hacmi maksimum yapar.

Anahtar Kavram

Maksimum-minimum problemlerinde, optimize edilecek büyüklük (hacim, alan vb.) tek bir değişkene bağlı fonksiyon olarak ifade edilir. Bu fonksiyonun birinci türevinin işaret değiştirdiği (özellikle pozitiften negatife geçtiği) yerel maksimum noktası aranır.
Soru 4Soru →
Bir teknoloji mağazasında satılan bir ürünün adet satış fiyatı xx TL olmak üzere, bu üründen elde edilen günlük kâr fonksiyonu
K(x)=−x2+100x−1600K(x) = -x^2 + 100x - 1600
olarak modellenmiştir.
Buna göre, bu teknoloji mağazasının bu üründen elde edebileceği günlük maksimum kâr kaç TL'dir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 900

Cevap

Günlük maksimum kâr 900 TL'dir.
Maksimum kârı bulmak amacıyla kâr fonksiyonunun birinci türevi alınarak sıfıra eşitlenir: K′(x)=−2x+100=0K'(x) = -2x + 100 = 0 denkleminden x=50x = 50 elde edilir. Bu değer en yüksek kârı veren ürün satış fiyatıdır. Maksimum kâr miktarını bulmak için bu fiyat değeri fonksiyonda yerine yazılır: K(50)=−2500+5000−1600=900K(50) = -2500 + 5000 - 1600 = 900 TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kâr fonksiyonunun türevini alınız.
K′(x)=−2x+100K'(x) = -2x + 100
Maksimum veya minimum noktaları bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevi hesaplanır.
2
Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulunuz.
−2x+100=0  ⟹  x=50-2x + 100 = 0 \implies x = 50
Türevin sıfır olduğu nokta, fonksiyonun yerel maksimum (tepe) noktasının apsis değeridir.
3
Bulunan kritik değeri kâr fonksiyonunda yerine yazarak maksimum kârı hesaplayınız.
K(50)=−502+100(50)−1600=−2500+5000−1600=900K(50) = -50^2 + 100(50) - 1600 = -2500 + 5000 - 1600 = 900
Maksimum kâr değerini bulmak için fonksiyonun tepe noktasının ordinat değeri (kk) hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması, tepe noktası koordinatları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

Yarıçapı 12 cm12\text{ cm} olan daire şeklindeki bir kartondan bir daire dilimi kesilip kıvrılarak bir dik dairesel koni elde ediliyor. Buna göre, elde edilebilecek en büyük hacimli koninin yüksekliği kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 434\sqrt{3}

Cevap

En büyük hacimli koninin yüksekliği 43 cm4\sqrt{3}\text{ cm}'dir.
Oluşturulacak koninin yüksekliği hh ve taban yarıçapı rr olduğunda, Pisagor teoreminden r2=144−h2r^2 = 144 - h^2 elde edilir. Koninin hacim fonksiyonu V(h)=π3(144h−h3)V(h) = \frac{\pi}{3}(144h - h^3) olarak yazılır. Bu fonksiyonun türevi V′(h)=π3(144−3h2)V'(h) = \frac{\pi}{3}(144 - 3h^2) olup, türevin sıfır olduğu pozitif hh değeri h=43h = 4\sqrt{3} olarak bulunur. Bu değer hacmi en büyük yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin geometrik değişkenleri ile kartonun yarıçapı arasındaki ilişkiyi kurmak.
Oluşan dik dairesel koninin ana doğrusunun (yanal ayrıtının) uzunluğu, kartonun yarıçapı olan L=12 cmL = 12\text{ cm} olur. Koninin yüksekliği hh ve taban yarıçapı rr olmak üzere, dik üçgenden r2+h2=122=144  ⟹  r2=144−h2r^2 + h^2 = 12^2 = 144 \implies r^2 = 144 - h^2 bağıntısı elde edilir.
Koninin hacmini tek bir değişkenler cinsinden ifade edebilmek amacıyla yükseklik ile yarıçap arasındaki bağıntıyı kurmamız gerekir.
2
Koninin hacim fonksiyonunu yükseklik (hh) cinsinden yazmak.
V(h)=13πr2h=13π(144−h2)h=π3(144h−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (144 - h^2) h = \frac{\pi}{3} (144h - h^3)
Maksimum hacmi bulmak için hacim formülünde r2r^2 yerine hh cinsinden eşiti yazılarak tek değişkenli fonksiyona geçiş yapılır.
3
Hacim fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulmak.
V′(h)=π3(144−3h2)=0  ⟹  144−3h2=0  ⟹  3h2=144  ⟹  h2=48  ⟹  h=43 cmV'(h) = \frac{\pi}{3} (144 - 3h^2) = 0 \implies 144 - 3h^2 = 0 \implies 3h^2 = 144 \implies h^2 = 48 \implies h = 4\sqrt{3}\text{ cm}
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını (maksimum/minimum noktaları) bulmak için türevin sıfır olduğu değerler incelenir.
4
Bulunan h=43h = 4\sqrt{3} değerinin maksimum hacmi verdi��ini doğrulamak.
h∈(0,12)h \in (0, 12) aralığında V′(h)V'(h) türevinin işaret tablosu incelendiğinde, h=43h = 4\sqrt{3} noktasına kadar fonksiyonun artan, bu noktadan sonra azalan olduğu görülür. Dolayısıyla bu değer maksimum hacmi verir.
Kritik noktanın gerçekten yerel maksimum noktası olduğunu garanti etmek için işaret incelemesi yapılır.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde değişkenlerin birbirine bağlanması, tek değişkenli fonksiyon oluşturulması ve bu fonksiyonun türevi yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi.
Soru 6Soru →

Bir kenarı duvar olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin diğer üç kenarı toplam 40 metre40\text{ metre} tel örgüyle çevrilecektir. Buna göre, bu bahçenin alanı en çok kaç metrekare olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Bahçenin alanı en çok 200 metrekare200\text{ metrekare} olabilir.
Bahçenin duvara dik kenarları xx metre olarak seçildiğinde, tel ile çevrilecek diğer kenar 40−2x40 - 2x metre olur. Alan fonksiyonu A(x)=40x−2x2A(x) = 40x - 2x^2 şeklindedir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınarak sıfıra eşitlenir: A′(x)=40−4x=0⇒x=10A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10 elde edilir. Bu değer fonksiyon yerine konulduğunda alan en fazla A(10)=10⋅(40−20)=200 metrekareA(10) = 10 \cdot (40 - 20) = 200\text{ metrekare} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bahçenin kenar uzunluklarını tek bir değişken cinsinden ifade edin.
Bahçenin duvara dik olan kenarları xx metre ise, diğer kenar 40−2x40 - 2x metre olur.
Toplam tel uzunluğu 40 metre40\text{ metre} olduğundan tel ile çevrilen üç kenarın toplamı 2x+y=402x + y = 40 eşitliğini sağlamalıdır.
2
Alan fonksiyonunu yazın.
A(x)=x⋅(40−2x)=40x−2x2A(x) = x \cdot (40 - 2x) = 40x - 2x^2
Dikdörtgenin alanı, komşu iki kenarının çarpımına eşittir.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.
A′(x)=40−4x=0⇒x=10A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarında türevi sıfırdır.
4
Maksimum alan değerini hesaplayın.
A(10)=10⋅20=200A(10) = 10 \cdot 20 = 200
x=10x = 10 değeri için alan fonksiyonu en büyük değerine ulaşır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması

Alternatif Yöntem

Alan fonksiyonu A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x ikinci dereceden bir fonksiyondur (parabol). Parabollerin en büyük veya en küçük değeri tepe noktasında (r=−b/(2a)r = -b/(2a)) oluşur. Burada r=−40/(2⋅(−2))=10r = -40 / (2 \cdot (-2)) = 10 olur. Maksimum alan ise A(10)=−2(10)2+40(10)=200 m2A(10) = -2(10)^2 + 40(10) = 200\text{ m}^2 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru →

Analitik düzlemde birinci bölgede; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi y=12−2xy = 12 - 2x doğrusu üzerinde olan bir dikdörtgen çiziliyor.

Buna göre, bu dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Maksimum alan değeri 18 birimkaredir.
Alan fonksiyonu A(x)=x(12−2x)=12x−2x2A(x) = x(12 - 2x) = 12x - 2x^2 olarak kurulur. Bu fonksiyonun türevi olan A′(x)=12−4xA'(x) = 12 - 4x ifadesini sıfıra eşitleyen x=3x = 3 değeri için alan en büyük değerini alır. Maksimum alan A(3)=3(12−2(3))=18A(3) = 3(12 - 2(3)) = 18 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin köşelerinin koordinatlarını ve alan fonksiyonunu belirleyin.
Dikdörtgenin bir köşesi y=12−2xy = 12 - 2x doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları (x,12−2x)(x, 12 - 2x) olur. Alan fonksiyonu A(x)=x⋅y=x(12−2x)=12x−2x2A(x) = x \cdot y = x(12 - 2x) = 12x - 2x^2 olarak elde edilir.
Maksimum/minimum problemlerinde en büyük olması istenen niceliği tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak ifade etmek gerekir.
2
Alan fonksiyonunun birinci türevini alarak kritik noktayı bulun.
A′(x)=12−4xA'(x) = 12 - 4x türev fonksiyonu elde edilir. 12−4x=012 - 4x = 0 denkleminden kritik nokta x=3x = 3 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarında türevi sıfırdır.
3
Bulunan kritik değeri alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı hesaplayın.
A(3)=3⋅(12−2(3))=3⋅6=18A(3) = 3 \cdot (12 - 2(3)) = 3 \cdot 6 = 18 birimkare bulunur.
Maksimum alan değerini bulmak için, bu alanı veren xx değeri orijinal alan fonksiyonunda yerine yazılmalıdır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması
Soru 8Soru →

Analitik düzlemde, y=x2y = x^2 parabolü üzerinde bulunan ve A(8,52)A\left(8, \frac{5}{2}\right) noktasına en yakın olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parabol üzerinde verilen noktaya en yakın olan noktanın koordinatları toplamı 6'dır.
Parabol üzerindeki genel bir P(x,x2)P(x, x^2) noktasının A(8,5/2)A(8, 5/2) noktasına olan uzaklığının karesi f(x)=(x−8)2+(x2−5/2)2f(x) = (x-8)^2 + (x^2-5/2)^2 fonksiyonudur. Bu fonksiyonun türevi olan f′(x)=4x3−8x−16f'(x) = 4x^3 - 8x - 16 ifadesini sıfır yapan tek gerçel sayı x=2x=2 değeridir. Bu apsis değeri parabol denkleminde yerine yazıldığında en yakın nokta P(2,4)P(2, 4) olarak elde edilir. Koordinatları toplamı ise 2+4=62+4=6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir noktayı temsil eden koordinatları belirleyin.
P(x,x2)P(x, x^2) noktası parabol üzerindeki herhangi bir noktayı temsil eder.
y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki tüm noktaların ordinatı, apsisinin karesine eşittir.
2
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak P(x,x2)P(x, x^2) ile A(8,52)A\left(8, \frac{5}{2}\right) noktaları arasındaki uzaklığın karesini veren fonksiyonu yazın.
f(x)=(x−8)2+(x2−52)2f(x) = (x - 8)^2 + \left(x^2 - \frac{5}{2}\right)^2 fonksiyonu elde edilir. Bu ifade açılıp düzenlendiğinde f(x)=x4−4x2−16x+2814f(x) = x^4 - 4x^2 - 16x + \frac{281}{4} halini alır.
Uzaklığı minimum yapan xx değeri ile uzaklığın karesini minimum yapan xx değeri aynıdır. Kareköklü ifadeyle uğraşmamak için uzaklığın karesi fonksiyon olarak seçilmiştir.
3
Elde edilen fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirlemek üzere sıfıra eşitleyin.
f′(x)=4x3−8x−16=0f'(x) = 4x^3 - 8x - 16 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem ortak çarpan parantezine alınarak 4(x3−2x−4)=04(x^3 - 2x - 4) = 0 şeklinde yazılabilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.
4
x3−2x−4=0x^3 - 2x - 4 = 0 denkleminin gerçel köklerini bulun.
x=2x = 2 değeri denklemi sağlar (23−2(2)−4=8−4−4=02^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0). Polinom b��lmesi yapıldığında denklem (x−2)(x2+2x+2)=0(x - 2)(x^2 + 2x + 2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. x2+2x+2=0x^2 + 2x + 2 = 0 çarpanının diskriminantı Δ=22−4(1)(2)=−4<0\Delta = 2^2 - 4(1)(2) = -4 < 0 olduğundan buradan gerçel kök gelmez. Dolayısıyla tek kritik nokta x=2x = 2'dir.
Türev fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu noktalar incelenerek en yakın noktanın apsisi belirlenir.
5
Bulunan apsis değerini parabol denkleminde yerine yazıp koordinatları ve koordinatların toplamını bulun.
x=2x = 2 için parabol üzerindeki en yakın nokta P(2,22)=P(2,4)P(2, 2^2) = P(2, 4) olur. Bu noktanın koordinatları toplamı 2+4=62 + 4 = 6 olarak bulunur.
Soru kökünde en yakın noktanın koordinatlarının toplamı sorulmaktad��r.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığın optimizasyonu.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, parabol üzerindeki en yakın P(x,x2)P(x, x^2) noktasından parabole çizilen teğet doğrusu, PAPA doğru parçasına dik olmak zorundadır. P(x,x2)P(x, x^2) noktasındaki teğetin eğimi türev yardımıyla mt=2xm_t = 2x bulunur. Bu noktadaki normalin eğimi ise mn=−12xm_n = -\frac{1}{2x} olur. PP ve A(8,2.5)A(8, 2.5) noktalarından geçen doğrunun eğimi ise x2−2.5x−8\frac{x^2 - 2.5}{x - 8}'dir. İki doğrunun diklik şartından: x2−2.5x−8=−12x⇒2x3−5x=−x+8⇒2x3−4x−8=0⇒x3−2x−4=0\frac{x^2 - 2.5}{x - 8} = -\frac{1}{2x} \Rightarrow 2x^3 - 5x = -x + 8 \Rightarrow 2x^3 - 4x - 8 = 0 \Rightarrow x^3 - 2x - 4 = 0 denklemi elde edilir. Buradan tek gerçel kök x=2x=2 olarak bulunur. Dolayısıyla aranan nokta P(2,4)P(2, 4) olup koordinatları toplamı 6'dır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 9Soru →

Bir dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1/4; -0,25; -0.25

Cevap

Parabol üzerindeki koordinatların toplamının en küçük değeri −1/4-1/4 olur.
Parabol üzerindeki noktalar P(x,x2)P(x, x^2) biçimindedir. Bu noktanın koordinatları toplamı f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x fonksiyonunu tanımlar. Bu fonksiyonun türevi f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1 olup, türevin sıfır olduğu x=−1/2x = -1/2 değerinde fonksiyon en küçük değerine ulaşır. En küçük değer ise f(−1/2)=−1/4f(-1/2) = -1/4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki herhangi bir noktayı değişken cinsinden ifade edin.
y=x2y = x^2 olduğundan, parabol üzerindeki bir nokta P(x,x2)P(x, x^2) şeklinde yazılır.
Nokta parabol üzerinde bulunduğundan ordinat değeri apsisin karesine eşittir.
2
Koordinatlar toplamını veren fonksiyonu tanımlayın.
f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x
P(x,x2)P(x, x^2) noktasının koordinatları toplamı x+y=x+x2x + y = x + x^2 ifadesine karşılık gelir.
3
Tanımlanan fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek en küçük değeri veren xx değerini bulun.
f′(x)=2x+1=0  ⟹  x=−12f'(x) = 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
Bir fonksiyonun yerel ekstremum değerleri, türevin sıfır olduğu kritik noktalarda oluşur.
4
Bulunan xx değerini fonksiyonda yerine yazarak en küçük değeri hesaplayın.
f(−12)=(−12)2+(−12)=14−12=−14f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}
Kritik noktadaki fonksiyon değeri, koordinatlar toplamının alabileceği en küçük değeri verir.

Anahtar Kavram

Bir parabol üzerindeki değişken bir noktanın koordinat ilişkisi kurulduktan sonra toplamı veren fonksiyonun türevi yardımıyla minimum değeri hesaplanır.
Soru 10Soru →

Bir firmanın ürettiği xx adet ürünün tanesini 60−2x60 - 2x TL'den satacağı öngörülmektedir.

Buna göre, bu firmanın bu ürünlerin satışından elde edebileceği toplam gelirin en büyük olmas�� için kaç adet ürün satması gerekir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Gelirin en yüksek seviyeye ulaşması için satılması gereken ürün adedi 15'tir.
Toplam gelir fonksiyonu R(x)=60x−2x2R(x) = 60x - 2x^2 olarak bulunur. Bu fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktayı bulmak için türevi alınarak sıfıra eşitlenir: R′(x)=60−4x=0R'(x) = 60 - 4x = 0 denklemi çözüldüğünde geliri maksimum yapan ürün adedi 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Gelir fonksiyonunu (R(x)R(x)) oluşturmak için satılan ürün adedi (xx) ile birim satış fiyatı (60−2x60 - 2x) çarpılır.
R(x)=x⋅(60−2x)=60x−2x2R(x) = x \cdot (60 - 2x) = 60x - 2x^2
Toplam geliri tek bir değişken cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Gelirin en büyük değerini almasını sağlayan xx değerini bulmak için fonksiyonun türevi alınır.
R′(x)=60−4xR'(x) = 60 - 4x
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi sıfıra eşittir.
3
Elde edilen türev fonksiyonu sıfıra eşitlenerek denklem çözülür.
60−4x=0⇒4x=60⇒x=1560 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 60 \Rightarrow x = 15
Türevin işaret değiştirdiği bu kritik nokta, geliri maksimum yapan ürün adedidir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması
Soru 11Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=12−x2y = 12 - x^2 parabolü ile koordinat eksenleri arasında kalan bölgede; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi bu parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen oluşturuluyor. Bu dikdörtgenin parabol üzerindeki köşesinden parabole çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenleriyle birinci bölgede oluşturduğu dik üçgenin alanı en küçük değerini aldığında, bu dikdörtgenin alanı kaç birimkare olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Teğet doğrusunun eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alan��nı minimum yapan a=2a = 2 değeri için çizilen dikdörtgenin alanı 16 birimkaredir.
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar kullanılarak oluşturulan üçgenin alan fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde a=2a=2 değeri elde edilir. Bu değer dikdörtgenin alan formülünde yerine yazıldığında alan 16 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki köşenin koordinatlarını belirleme
Birinci bölgedeki köşe P(a,12−a2)P(a, 12 - a^2) olur (0<a<120 < a < \sqrt{12}).
Dikdörtgenin bir köşesi parabolün üzerindedir ve alanı bu değişken cinsinden ifade edeceğiz.
2
Parabole PP noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini bulma
Teğet denklemi: y=−2ax+a2+12y = -2ax + a^2 + 12
Türev yardımıyla teğet doğrusunun eğimini (m=−2am = -2a) ve geçtiği noktayı kullanarak denklemi oluştururuz.
3
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulma
yy-eksenini kestiği nokta: a2+12a^2 + 12, xx-eksenini kestiği nokta: a2+122a\frac{a^2 + 12}{2a}
Eksenlerle sınırlanan dik üçgenin dik kenar uzunluklarını belirlemek için eksenleri kestiği noktaları bulmalıyız.
4
Dik üçgenin alan fonksiyonunu yazma
A(a)=(a2+12)24aA(a) = \frac{(a^2 + 12)^2}{4a}
Üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
5
Alan fonksiyonunun minimum noktasını bulma
a=2a = 2
Fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek yerel minimum noktasını buluruz. Bölümün türevi kuralı uygulandığında A′(a)=(a2+12)(3a2−12)4a2=0  ⟹  a=2A'(a) = \frac{(a^2+12)(3a^2-12)}{4a^2} = 0 \implies a = 2 elde edilir.
6
Dikdörtgenin alanını hesaplama
Alan = 16 birimkare
Bulunan a=2a = 2 değerini dikdörtgenin alan formülünde (a⋅(12−a2)a \cdot (12 - a^2)) yerine yazarız.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ile maksimum ve minimum problemleri uygulaması
Soru 12Soru →

Alt kısmı dikdörtgen, üst kısmı ise bu dikdörtgenin bir kenarını çap kabul eden yarım daire biçiminde tasarlanan bir pencerenin dış çevre uzunluğu 1212 metredir. Pencereden içeri giren ışık miktarının maksimum olması için pencerenin toplam alanının en büyük olması gerekmektedir. Buna göre, pencerenin alanını maksimum yapan yarım dairenin yarıçapı kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 124+π\frac{12}{4+\pi}

Cevap

Pencerenin alanını maksimum yapan yarım dairenin yarıçapı \frac{12}{4+\pi} metredir.
Pencerenin alanını veren fonksiyon A(r)=12r−(2+π2)r2A(r) = 12r - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2 olarak kurulduğunda, bu fonksiyonun türevi A′(r)=12−(4+π)rA'(r) = 12 - (4+\pi)r olur. Türevi sıfıra eşitleyen yarıçap değeri ise doğrudan bölme işlemiyle bulunarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pencerenin boyutlarını değişkenler cinsinden tanımlayalım.
Yarım dairenin yarıçapı rr metre olsun. Bu durumda dairenin çapı ve dolayısıyla dikdörtgenin yatay kenar uzunluğu 2r2r metre olur. Dikdörtgenin dikey kenar uzunluğunu ise hh metre olarak belirleyelim.
Pencerenin dış çevre ve alan formüllerini tek bir değişken cinsinden ifade edebilmek için temel boyutları tanımlamamız gerekir.
2
Dış çevre uzunluğunu veren denklemi kuralım ve hh değişkenini rr cinsinden yazalım.
Pencerenin dış çevre uzunluğu, dikdörtgenin alt ve iki yan kenarı ile yarım dairenin yay uzunluğunun toplamıdır: P=2r+2h+πr=12P = 2r + 2h + \pi r = 12 olur. Buradan 2h=12−(2+π)r  ⟹  h=6−(1+π2)r2h = 12 - (2+\pi)r \implies h = 6 - \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)r elde edilir.
Çevre sınırlamasını kullanarak iki değişkenli alan fonksiyonunu tek değişkene indirgemek amacıyla hh değerini rr cinsinden ifade etmeliyiz.
3
Pencerenin toplam alan fonksiyonunu rr cinsinden oluşturalım.
Toplam alan A(r)=Dikdo¨rtgenin Alanı+Yarım Dairenin Alanı=2r⋅h+12πr2A(r) = \text{Dikdörtgenin Alanı} + \text{Yarım Dairenin Alanı} = 2r \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2 olur. hh yerine bulduğumuz ifadeyi yazarsak: A(r)=2r(6−(1+π2)r)+12πr2=12r−2r2−πr2+12πr2=12r−(2+π2)r2A(r) = 2r\left(6 - \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)r\right) + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12r - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12r - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2 elde edilir.
Maksimum yapmak istediğimiz alan ifadesini tek bir değişken (rr) cinsinden fonksiyon olarak tanımlamalıyız.
4
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek maksimum alanı veren rr değerini bulalım.
A′(r)=12−2(2+π2)r=12−(4+π)r=0  ⟹  (4+π)r=12  ⟹  r=124+πA'(r) = 12 - 2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r = 12 - (4+\pi)r = 0 \implies (4+\pi)r = 12 \implies r = \frac{12}{4+\pi} bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum) noktasını bulmak için birinci türevinin kökünü hesaplamamız gerekir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü, geometrik şekillerin çevre ve alan ilişkilerinin modellenmesi.
Soru 13Soru →

Doğrusal bir kıyı şeridine sahip bir denizde, kıyıdan 4 km4\text{ km} açıkta bulunan bir AA noktasındaki yüzücü, kıyı üzerinde yer alan ve kendisine en yakın kıyı noktasına 12 km12\text{ km} uzaklıktaki bir BB noktasına ulaşmak istemektedir. Yüzücünün sudaki hızı saatte 3 km3\text{ km}, kıyıdaki yürüyüş hızı ise saatte 5 km5\text{ km}'dir. Buna göre, yüzücünün BB noktasına en kısa sürede ulaşabilmesi için kıyıya çıktıktan sonra karada yürümesi gereken mesafe kaç km\text{km} olmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Yüzücünün kıyıya çıktıktan sonra karada yürümesi gereken mesafe 9 km'dir.
Yüzücünün A noktasından C noktasına yüzme süresi ile C noktasından B noktasına yürüme süresinin toplamını veren fonksiyon T(x)=x2+163+12−x5T(x) = \frac{\sqrt{x^2+16}}{3} + \frac{12-x}{5} şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde x=3x = 3 elde edilir. Yüzücünün karada yürümesi gereken mesafe ise 12−x=912 - x = 9 km olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yüzücünün kıyıya ulaştığı noktan��n en yakın kıyı noktasına olan uzaklığını xx olarak değişken tanımlayarak yolların uzunluklarını ifade etmek.
Denizde kat edilen mesafe AC=x2+16AC = \sqrt{x^2 + 16} km, karada kat edilen mesafe CB=12−xCB = 12 - x km'dir.
Yüzücünün toplam süresini tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazabilmek için.
2
Zaman = Yol / Hız formülünü kullanarak toplam süreyi veren T(x)T(x) fonksiyonunu oluşturmak.
T(x)=x2+163+12−x5T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{3} + \frac{12 - x}{5} saat.
Minimize etmek istediğimiz toplam süreyi matematiksel olarak modellemek.
3
Oluşturulan T(x)T(x) fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulmak.
T′(x)=x3x2+16−15=0  ⟹  5x=3x2+16  ⟹  x=3T'(x) = \frac{x}{3\sqrt{x^2+16}} - \frac{1}{5} = 0 \implies 5x = 3\sqrt{x^2+16} \implies x = 3 km.
Fonksiyonun yerel minimum noktasını türev yardımıyla tespit etmek.
4
Bulunan x=3x = 3 değerini kullanarak yüzücünün karada yürümesi gereken mesafeyi (12−x12 - x) hesaplamak.
12−3=912 - 3 = 9 km.
Soruda bizden yüzücünün kıyıya çıktığı noktadan itibaren karada yürümesi gereken mesafe istendiği için.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum (optimizasyon) problemlerinin çözümü
Soru 14Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=12−2xy = \sqrt{12 - 2x} eğrisi üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktası; orijin O(0,0)O(0,0) ve pozitif xx-ekseni üzerindeki bir B(b,0)B(b, 0) noktası ile birleştirilerek tepe açısı PP olan bir OPBOPB dik üçgeni oluşturuluyor.

Pozitif aa ve bb tam sayıları için [OB][OB] hipotenüsünün uzunluğunun alabileceği en küçük değer a3−ba\sqrt{3} - b birim olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6; altı

Cevap

En küçük hipotenüs uzunluğu 43−24\sqrt{3} - 2 birim olup buradan a=4a = 4 ve b=2b = 2 bulunur. Dolayısıyla a+b=6a + b = 6'dır.
Dik üçgenin diklik şartından yola çıkarak hipotenüs uzunluğunu veren b(x)=x−2+12xb(x) = x - 2 + \frac{12}{x} fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde minimumu veren değer x=23x = 2\sqrt{3} olarak bulunur. Bu değer fonksiyona yazıldığında en küçük hipotenüs uzunluğu 43−24\sqrt{3} - 2 birim elde edilir. Buradan katsayılar a=4a = 4 ve b=2b = 2 olarak bulunup toplamları 66 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dik üçgenin köşe koordinatlarını belirleyip diklik şartını yazmak.
Orijin O(0,0)O(0,0), P(x,y)P(x, y) ve B(b,0)B(b,0) noktaları için OP⊥PBOP \perp PB olmalıd��r. Buradan eğimler çarpımı mOP⋅mPB=−1  ⟹  yx⋅−yb−x=−1  ⟹  y2=x(b−x)m_{OP} \cdot m_{PB} = -1 \implies \frac{y}{x} \cdot \frac{-y}{b-x} = -1 \implies y^2 = x(b-x) elde edilir.
OPBOPB üçgeninin tepe açısı PP olan bir dik üçgen olduğu belirtilmiştir.
2
Hipotenüs uzunluğu olan bb değişkenini xx cinsinden ifade etmek.
b−x=y2x  ⟹  b(x)=x+y2xb - x = \frac{y^2}{x} \implies b(x) = x + \frac{y^2}{x} bulunur. P(x,y)P(x,y) noktası y=12−2xy = \sqrt{12-2x} eğrisi üzerinde olduğundan y2=12−2xy^2 = 12-2x eşitliği yerine yazılır: b(x)=x+12−2xx=x−2+12xb(x) = x + \frac{12-2x}{x} = x - 2 + \frac{12}{x} elde edilir.
Elde edilen geometrik bağıntıyı tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon haline getirmek gerekir.
3
Türev yardımıyla fonksiyonu minimize etmek.
b′(x)=1−12x2b'(x) = 1 - \frac{12}{x^2} olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde 1−12x2=0  ⟹  x2=12  ⟹  x=231 - \frac{12}{x^2} = 0 \implies x^2 = 12 \implies x = 2\sqrt{3} (birinci bölgede olduğundan x>0x > 0 alınır) kritik noktası elde edilir. Bu nokta yerel minimum noktasıdır.
Bir fonksiyonun en küçük değerini bulmak için türevinin işaret değiştirdiği kritik noktalar incelenir.
4
En küçük hipotenüs uzunluğunu hesaplamak ve istenen toplamı bulmak.
x=23x = 2\sqrt{3} değeri fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük uzunluk b(23)=23−2+1223=43−2b(2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 2 + \frac{12}{2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} - 2 birim olarak bulunur. a3−ba\sqrt{3} - b biçimiyle karşılaştırıldığında a=4a = 4 ve b=2b = 2 olup a+b=6a + b = 6 elde edilir.
Kritik değer fonksiyona yazılarak minimum uzunluk hesaplanır ve soru kökündeki katsayılar belirlenir.

Anahtar Kavram

Türevin maksimum ve minimum problemlerine uygulanması, geometrik optimizasyon.
Soru 15Soru →

Genişliği 8 metre8\text{ metre} olan bir koridor, genişliği 27 metre27\text{ metre} olan başka bir koridorla dik kesişmektedir. Bu koridorların birleştiği köşeden yatay konumda tutularak geçebilecek en uzun demir borunun boyu kaç metredir? (Borunun kalınlığı ihmal edilecektir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 131313\sqrt{13}

Cevap

Demir borunun geçebileceği maksimum uzunluk 131313\sqrt{13} metredir.
Doğru yanıt olan 131313\sqrt{13} değeri, borunun geçiş geometrisinden elde edilen L(θ)=8csc⁡θ+27sec⁡θL(\theta) = 8\csc\theta + 27\sec\theta fonksiyonunun türevi alınıp minimum noktası hesaplandığında tan⁡θ=23\tan\theta = \frac{2}{3} değeri için doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Koridorların kesişim bölgesini dik koordinat düzlemine yerleştirelim.
Dikey koridorun dış duvarı yy ekseni (x=0x=0), yatay koridorun dış duvarı xx ekseni (y=0y=0) ve iç köşe K(8,27)K(8, 27) noktası olur.
Geometrik problemi analitik yöntemlerle modellemek için koordinat sistemi kurulur.
2
İç köşeden geçen borunun uçlarının eksenlerle yaptığı açıyı θ\theta olarak tanımlayalım ve boru boyunu veren fonksiyonu yazalım.
Borunun dikey koridorda kalan kısmı L1=8sin⁡θL_1 = \frac{8}{\sin\theta} ve yatay koridorda kalan kısmı L2=27cos⁡θL_2 = \frac{27}{\cos\theta} olup, toplam boru boyu L(θ)=8sin⁡θ+27cos⁡θL(\theta) = \frac{8}{\sin\theta} + \frac{27}{\cos\theta} şeklinde bir fonksiyon oluşturur.
Borunun köşeden geçebilmesi için bu uzunluğun alabileceği minimum değeri bulmamız gerekir.
3
Toplam uzunluk fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik açıyı belirleyelim.
L′(θ)=−8cos⁡θsin⁡2θ+27sin⁡θcos⁡2θ=0  ⟹  27sin⁡3θ=8cos⁡3θ  ⟹  tan⁡3θ=827  ⟹  tan⁡θ=23L'(\theta) = -\frac{8\cos\theta}{\sin^2\theta} + \frac{27\sin\theta}{\cos^2\theta} = 0 \implies 27\sin^3\theta = 8\cos^3\theta \implies \tan^3\theta = \frac{8}{27} \implies \tan\theta = \frac{2}{3} bulunur.
Fonksiyonun minimum değerine ulaştığı kritik nokta türevin sıfır olduğu yerde oluşur.
4
Elde edilen kritik açının trigonometrik oranlarını boru boyu fonksiyonunda yerine koyalım.
tan⁡θ=23\tan\theta = \frac{2}{3} ise sin⁡θ=213\sin\theta = \frac{2}{\sqrt{13}} ve cos⁡θ=313\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{13}} olur. Buradan Lmin=8213+27313=413+913=1313L_{min} = \frac{8}{\frac{2}{\sqrt{13}}} + \frac{27}{\frac{3}{\sqrt{13}}} = 4\sqrt{13} + 9\sqrt{13} = 13\sqrt{13} elde edilir.
Bulunan minimum geçiş uzunluğu, bu virajdan geçebilecek maksimum boru boyuna karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla trigonometrik maksimum ve minimum problemlerinin çözümü.
Soru 16Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=8xy = \frac{8}{x} eğrisine üzerindeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenleri arasında kalan parçasının uzunluğu en az kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Teğet doğrusunun koordinat eksenleri arasında kalan parçasının en kısa uzunluğu 8 birimdir.
Teğet doğrusunun eksenler arasında kalan parçasının uzunluğunu veren fonksiyon L(a)=4a2+256a2L(a) = \sqrt{4a^2 + \frac{256}{a^2}} şeklindedir. Bu fonksiyonun en küçük değerini bulmak için türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen a=22a = 2\sqrt{2} değeri fonksiyonda yerine yazıldığında en kısa uzunluk 64=8\sqrt{64} = 8 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasını belirleme ve türev yardımıyla teğet doğrusunun eğimini bulma
Teğet noktası P(a,8a)P(a, \frac{8}{a}) ve teğet doğrusunun eğimi m=−8a2m = -\frac{8}{a^2} olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini oluşturabilmek için öncelikle eğrinin üzerindeki bir noktayı ve bu noktadaki türev değerini kullanarak eğimi bulmamız gerekir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazma
Doğru denklemi y=−8a2x+16ay = -\frac{8}{a^2}x + \frac{16}{a} şeklinde elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü olan y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) kullanılarak teğetin denklemi oluşturulur.
3
Teğet doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulma
y-eksenini kestiği nokta A(0,16a)A(0, \frac{16}{a}) ve x-eksenini kestiği nokta B(2a,0)B(2a, 0) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun eksenler arasında kalan parçasının uç noktalarını belirlemek için eksenleri kestiği noktaları bulmalıyız.
4
Eksenler arasında kalan parçanın uzunluk fonksiyonunu tanımlama
Uzunluğun karesi L2=4a2+256a2L^2 = 4a^2 + \frac{256}{a^2} olarak ifade edilir.
A ve B noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülü (Pisagor teoremi) uygulanır.
5
Uzunluk fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma
8a−512a3=08a - \frac{512}{a^3} = 0 denklemi çözülerek a=22a = 2\sqrt{2} kritik noktası elde edilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) değerlerini bulmak için türevi sıfıra eşitlenir.
6
Kritik noktayı fonksiyon yerine yazarak en küçük uzunluk değerini hesaplama
L2=64  ⟹  L=8L^2 = 64 \implies L = 8 olarak hesaplanır.
Bulunan kritik değer fonksiyon yerine yazılarak en küçük uzunluk değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü ve türevin geometrik yorumu

Alternatif Yöntem

Aritmetik ve Geometrik Ortalama (AGO) eşitsizliği kullanılarak türev almadan da bu problem çözülebilir. L2=4a2+256a2L^2 = 4a^2 + \frac{256}{a^2} ifadesinde terimlerin her ikisi de pozitif olduğundan AGO eşitsizliğine göre: 4a2+256a2≥24a2⋅256a2=21024=644a^2 + \frac{256}{a^2} \geq 2\sqrt{4a^2 \cdot \frac{256}{a^2}} = 2\sqrt{1024} = 64 olur. Buradan L2≥64  ⟹  L≥8L^2 \geq 64 \implies L \geq 8 bulunur. Eşitlik durumu 4a2=256a2  ⟹  a4=64  ⟹  a=224a^2 = \frac{256}{a^2} \implies a^4 = 64 \implies a = 2\sqrt{2} için sağlanır. Dolayısıyla en küçük uzunluk 8 birimdir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 17Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2+1y = x^2 + 1 parabolü üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktasının A(3,1)A(3, 1) noktasına olan uzaklığı en küçük değerini almaktadır. Buna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

En yakın noktanın koordinatları toplamı 3'tür.
Uzaklık fonksiyonunun karesi olan f(x)=x4+x2−6x+9f(x) = x^4 + x^2 - 6x + 9 ifadesinin türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen 2x3+x−3=02x^3 + x - 3 = 0 denkleminin tek gerçel kökü olan x=1x=1 değeri, parabol üzerindeki en yakın noktanın apsisidir. Bu değer parabol denkleminde yerine yazıldığında ordinat y=2y=2 bulunur ve bu koordinatların toplamı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki herhangi bir PP noktasını temsil eden koordinatları belirleme ve bu noktanın A(3,1)A(3, 1) noktasına olan uzaklık fonksiyonunu kurma.
P(x,x2+1)P(x, x^2 + 1) noktası için uzaklığın karesini veren fonksiyon: f(x)=(x−3)2+(x2+1−1)2=x4+x2−6x+9f(x) = (x - 3)^2 + (x^2 + 1 - 1)^2 = x^4 + x^2 - 6x + 9
Uzaklığı minimize etmek için öncelikle uzaklık (veya kolaylık olması açısından uzaklığın karesi) fonksiyonunun tek değişkene bağlı ifadesini elde etmeliyiz.
2
Uzaklık fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma.
f′(x)=4x3+2x−6=0  ⟹  2x3+x−3=0f'(x) = 4x^3 + 2x - 6 = 0 \implies 2x^3 + x - 3 = 0
Fonksiyonun yerel ekstremum (minimum) değerlerini bulmak için birinci türevinin sıfır olduğu noktaları belirlemeliyiz.
3
2x3+x−3=02x^3 + x - 3 = 0 denkleminin kökünü bulma ve tekliğini inceleme.
x=1x = 1 denklemin köküdür. g(x)=2x3+x−3g(x) = 2x^3 + x - 3 fonksiyonunun türevi g′(x)=6x2+1>0g'(x) = 6x^2 + 1 > 0 olduğundan fonksiyon daima artandır ve başka gerçel kökü yoktur.
Türevin sıfır olduğu tek gerçel noktanın x=1x = 1 olduğunu doğrulamak için.
4
En yakın noktanın koordinatlarını bulma ve koordinatlar toplamını hesaplama.
x=1x = 1 için y=12+1=2y = 1^2 + 1 = 2 olur. Nokta P(1,2)P(1, 2)'dir. Koordinatlar toplamı 1+2=31 + 2 = 3 bulunur.
Soruda bizden istenen en yakın noktanın koordinatları toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü ve geometrik optimizasyon.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, parabol üzerindeki en yakın PP noktasından çizilen normal doğrusu (teğete dik olan doğru) A(3,1)A(3, 1) noktasından geçmek zorundadır. P(x0,x02+1)P(x_0, x_0^2 + 1) noktasındaki teğetin eğimi mt=2x0m_t = 2x_0 olduğundan, normalin eğimi mn=−12x0m_n = -\frac{1}{2x_0} olur. Normal doğrusunun denklemi y−(x02+1)=−12x0(x−x0)y - (x_0^2 + 1) = -\frac{1}{2x_0}(x - x_0) şeklindedir. Bu doğrunun A(3,1)A(3, 1) noktasından geçmesi gerektiğinden 1−x02−1=−12x0(3−x0)1 - x_0^2 - 1 = -\frac{1}{2x_0}(3 - x_0) yazılır ve düzenlendiğinde 2x03+x0−3=02x_0^3 + x_0 - 3 = 0 elde edilir. Buradan en yakın noktanın apsisi yine x0=1x_0 = 1 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 18Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=9−x2y = 9 - x^2 parabolü üzerindeki bir P(t,9−t2)P(t, 9-t^2) noktasından parabole bir teğet doğrusu çiziliyor. Bu teğet doğrusunun koordinat eksenleriyle sınırladığı birinci bölgedeki dik üçgenin alanı en az kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12312\sqrt{3}

Cevap

12312\sqrt{3}
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar türev yardımıyla belirlenip alan fonksiyonu oluşturulduğunda, alanın minimum değeri 12312\sqrt{3} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir teğet noktasını belirleme ve türev yardımıyla teğetin eğimini bulma.
P(t,9−t2)P(t, 9-t^2) noktası için teğetin eğimi m=f′(t)=−2tm = f'(t) = -2t olur.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasındaki türev değerine yani eğime ihtiyaç vardır.
2
Noktası ve eğimi bilinen teğet doğrusunun denklemini oluşturma.
y−(9−t2)=−2t(x−t)  ⟹  y=−2tx+t2+9y - (9-t^2) = -2t(x-t) \implies y = -2tx + t^2 + 9 doğrusu elde edilir.
Eksenleri kesen noktaları bulmak için teğet doğrusunun genel denklemi yazılmalıdır.
3
Teğet doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatlarını hesaplama.
x=0x=0 için B(0,t2+9)B(0, t^2+9) ve y=0y=0 için A(t2+92t,0)A\left(\frac{t^2+9}{2t}, 0\right) noktaları bulunur.
Eksenlerle oluşturulan dik üçgenin dik kenar uzunluklarını belirlemek için kesim noktaları gereklidir.
4
Üçgenin alan fonksiyonunu tt değişkenine bağlı olarak yazma ve sadeleştirme.
S(t)=12⋅t2+92t⋅(t2+9)=14t3+92t+814tS(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2+9}{2t} \cdot (t^2+9) = \frac{1}{4}t^3 + \frac{9}{2}t + \frac{81}{4t} fonksiyonu elde edilir.
Minimum alan değerini bulmak i��in optimize edilecek tek değişkenli alan fonksiyonu kurulmalıdır.
5
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulma.
S′(t)=34t2+92−814t−2=0  ⟹  3t4+18t2−81=0  ⟹  t4+6t2−27=0  ⟹  t=3S'(t) = \frac{3}{4}t^2 + \frac{9}{2} - \frac{81}{4}t^{-2} = 0 \implies 3t^4 + 18t^2 - 81 = 0 \implies t^4 + 6t^2 - 27 = 0 \implies t = \sqrt{3} bulunur.
Fonksiyonun yerel minimum noktasını veren tt değerini saptamak için türevin kökü bulunur.
6
Bulunan kritik tt değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak minimum alanı hesaplama.
S(3)=(3+9)243=123S(\sqrt{3}) = \frac{(3+9)^2}{4\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} birimkare bulunur.
Problemde istenen en küçük alan değerine ulaşmak için kritik nokta fonksiyonda yerine konur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü, teğet doğrusu denklemi ve geometrik optimizasyon.
Soru 19Soru →

Bir tur şirketi, düzenleyeceği bir müze gezisi için kişi başı katılım ücretini 100 TL olarak belirlemiştir. Bu geziye en fazla 200 kişi katılabilecektir. Şirket, geziye 80 kişiden fazla katılım olması durumunda, 80'in üzerindeki her bir kişi için tüm katılımcıların bilet ücretinde 0,5 TL indirim uygulayacaktır.

Buna göre, tur şirketinin bu geziden elde edeceği toplam gelirin en fazla olması için geziye kaç kişi katılmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

Toplam gelirin en fazla olması i��in geziye 140 kişi katılmalıdır.
Toplam geliri en yüksek yapan katılımcı sayısını bulmak için öncelikle katılımcı sayısı xx cinsinden gelir fonksiyonu yazılır. 80 kişinin üzerindeki her bir kişi için kişi başı ücret 0,50,5 TL azaldığından, kişi başı bilet fiyatı 100−0,5(x−80)=140−0,5x100 - 0,5(x - 80) = 140 - 0,5x olur. Toplam gelir ise R(x)=x(140−0,5x)=140x−0,5x2R(x) = x(140 - 0,5x) = 140x - 0,5x^2 şeklindedir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınır: R′(x)=140−xR'(x) = 140 - x. Türevin sıfır olduğu x=140x = 140 değeri, geliri maksimum yapan katılımcı sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Katılımcı sayısına bağlı olarak kişi başı bilet ücretini veren fonksiyonu yazalım.
Geziye katılan kişi sayısı xx olsun (x>80x > 80). 80'in üzerindeki kişi sayısı x−80x - 80 olur. Bu durumda kişi başı bilet ücreti 100−0,5(x−80)=140−0,5x100 - 0,5(x - 80) = 140 - 0,5x TL olur.
Toplam geliri hesaplayabilmek için öncelikle birim fiyatın katılımcı sayısına bağlı ifadesini bulmamız gerekir.
2
Toplam gelir fonksiyonunu (R(x)R(x)) oluşturalım.
R(x)=x⋅(140−0,5x)=140x−0,5x2R(x) = x \cdot (140 - 0,5x) = 140x - 0,5x^2 elde edilir.
Toplam gelir, katılımcı sayısı ile kişi başı bilet ücretinin çarpımına eşittir.
3
Gelir fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulalım.
R′(x)=140−xR'(x) = 140 - x olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde 140−x=0  ⟹  x=140140 - x = 0 \implies x = 140 bulunur.
Bir fonksiyonun yerel maksimum değerini bulmak için birinci türevinin kökünü incelemeliyiz.
4
Bulunan değerin sınır koşullarını ve maksimumluk durumunu kontrol edelim.
R′′(x)=−1<0R''(x) = -1 < 0 olduğundan x=140x = 140 noktası bir yerel maksimum noktasıdır ve 80<140≤20080 < 140 \le 200 aralığındadır.
Kritik noktanın gerçekten maksimum noktası olduğunu ve tanımlı aralıkta yer aldığını doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde, optimize edilmek istenen büyüklük tek bir değişkene bağlı fonksiyon olarak yazılır ve bu fonksiyonun türevinin sıfır olduğu noktalar (kritik noktalar) incelenerek en büyük veya en küçük değer belirlenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 20Soru →

Tabanı kare, ��stü açık ve hacmi 48 m348\text{ m}^3 olan kare dik prizma biçimindeki bir su deposu inşa edilecektir. Bu deponun tabanını kaplamak için kullanılacak malzemenin metrekare fiyatı 15 TL15\text{ TL}, yan yüzeylerini kaplamak için kullanılacak malzemenin metrekare fiyatı ise 10 TL10\text{ TL}'dir. Buna göre, bu deponun kaplama maliyeti en az kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 720

Cevap

Deponun kaplama maliyeti en az 720 TL'dir.
Maliyet fonksiyonu M(x)=15x2+1920xM(x) = 15x^2 + \frac{1920}{x} olarak elde edildikten sonra türevi alınarak sıfıra eşitlendiğinde elde edilen x=4x = 4 değeri maliyeti minimum yapar. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük maliyet 720 TL720\text{ TL} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Taban kenar uzunluğunu xx ve yüksekliği hh olarak tanımlayıp hacim formülünü oluşturun.
V=x2⋅h=48  ⟹  h=48x2V = x^2 \cdot h = 48 \implies h = \frac{48}{x^2}
Deponun hacmi 48 m348\text{ m}^3 olarak verilmiştir ve prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin ��arpımına eşittir.
2
Taban ve yan yüzeylerin alanlarını bulup birim fiyatlarla çarparak toplam maliyet fonksiyonunu xx cinsinden yazın.
M(x)=15⋅x2+10⋅(4xh)=15x2+40x(48x2)=15x2+1920xM(x) = 15 \cdot x^2 + 10 \cdot (4xh) = 15x^2 + 40x \left(\frac{48}{x^2}\right) = 15x^2 + \frac{1920}{x}
Taban alanı x2x^2 olup metrekare maliyeti 15 TL15\text{ TL}'dir. Üstü açık olduğu için sadece 4 adet yan yüzey (xhxh) kaplanacaktır ve yan yüzeylerin metrekare maliyeti 10 TL10\text{ TL}'dir.
3
Maliyet fonksiyonunun türevini alın.
M′(x)=30x−1920x2M'(x) = 30x - \frac{1920}{x^2}
Maliyeti minimum yapan noktayı bulmak için fonksiyonun birinci türevi sıfıra eşitlenmelidir.
4
Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.
30x−1920x2=0  ⟹  30x3=1920  ⟹  x3=64  ⟹  x=430x - \frac{1920}{x^2} = 0 \implies 30x^3 = 1920 \implies x^3 = 64 \implies x = 4
Maliyetin minimum değeri, türevin sıfır olduğu yerel ekstremum noktasında gerçekleşir.
5
Bulunan x=4x = 4 değerini maliyet fonksiyonunda yerine yazarak minimum maliyeti hesaplayın.
M(4)=15(4)2+19204=240+480=720M(4) = 15(4)^2 + \frac{1920}{4} = 240 + 480 = 720
x=4x = 4 değeri için maliyet fonksiyonunun aldığı değer en küçük maliyeti verir.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde, kısıt denklemi yardımıyla hedef fonksiyon tek değişkene indirgenir ve türevi alınarak ekstremum noktası bulunur.
Sayfa 1 / 2Sonraki
Maksimum ve Minimum Problemleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin