Examkin

Soru

Zorluk: Kolayİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+6x+2f(x) = -x^2 + 6x + 2 parabolünün tepe noktasının apsisi rr olarak verilmiştir. Buna göre, y=f(x)y = f(x) parabolü ile y=rx+2y = rx + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    3
  2. B
    103\frac{10}{3}
  3. 92\frac{9}{2}Cevap
  4. D
    9
  5. E
    2432\frac{243}{2}

Cevap

92(dokuzbo¨lu¨iki)\frac{9}{2} (dokuz bölü iki)
Parabolün tepe noktasının apsisi r=3r = 3 olarak hesaplanır. Buradan doğrunun denklemi y=3x+2y = 3x + 2 olur. Parabol ile doğrunun kesişim noktaları ortak çözüm denkleminden x=0x = 0 ve x=3x = 3 olarak belirlenir. Bu aralıkta üstteki eğriden (parabolden) alttaki eğri (doğru) çıkarılarak [0,3][0, 3] aralığında alınan belirli integral, alan değerini 92\frac{9}{2} birimkare olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulunuz.
f(x)=−x2+6x+2f(x) = -x^2 + 6x + 2 parabolünde a=−1a = -1 ve b=6b = 6 olduğundan, tepe noktasının apsisi r=−b2a=−62(−1)=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3 olur.
Soruda tanımlanan doğrunun denklemi tepe noktasının apsisi rr değerine bağlıdır.
2
Elde edilen r=3r = 3 değerini yerine yazarak doğrunun denklemini bulunuz.
Doğrunun denklemi y=rx+2  ⟹  y=3x+2y = rx + 2 \implies y = 3x + 2 olarak bulunur.
İki eğrinin kesişim noktalarını belirleyebilmek için doğrunun tam denklemine ihtiyaç vardır.
3
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını ortak çözüm yaparak bulunuz.
−x2+6x+2=3x+2  ⟹  −x2+3x=0  ⟹  x(3−x)=0-x^2 + 6x + 2 = 3x + 2 \implies -x^2 + 3x = 0 \implies x(3-x) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x1=0x_1 = 0 ve x2=3x_2 = 3 olarak elde edilir.
İki eğri arasında kalan bölgenin integral sınırlarını belirlemek için kesişim noktaları bulunmalıdır.
4
Belirli integral yardımıyla sınırlandırılan bölgenin alanını hesaplayınız.
Alan A=∫03((−x2+6x+2)−(3x+2)) dx=∫03(3x−x2) dx=[3x22−x33]03=(272−9)−0=92A = \int_0^3 \left( (-x^2 + 6x + 2) - (3x + 2) \right) \, dx = \int_0^3 (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \left( \frac{27}{2} - 9 \right) - 0 = \frac{9}{2} birimkare bulunur.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak sınır değerler arasında alınan belirli integral ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru