Dik koordinat düzleminde, A(5, 0) noktası ile y = \sqrt{2x} eğrisi üzerindeki bir P(x, y) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $A(5, 0)$ noktası ile $y = \sqrt{2x}$ eğrisi üzerindeki bir $P(x, y)$ noktası veriliyor.

Buna göre, $P$ ile $A$ noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en küçük değer kaç birimdir?

En küçük uzaklık değeri 3 birimdir.

Uzaklık fonksiyonunu veren ifadenin karekökünün içi en küçük değerini

x = 4

noktasında alır ve bu noktadaki uzaklık

\sqrt{4^2 - 8(4) + 25} = 3

birimdir.

Eğri üzerindeki keyfi bir

P(x, y)

noktasının

A(5, 0)

noktasına olan uzaklık formülünü yazınız.

d = \sqrt{(x-5)^2 + y^2}

İki nokta arasındaki uzaklık formülü

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

şeklindedir.

y = \sqrt{2x}

bağıntısını kullanarak uzaklık formülünü tek bir değişkene bağlı hale getiriniz.

d(x) = \sqrt{(x-5)^2 + 2x} = \sqrt{x^2 - 10x + 25 + 2x} = \sqrt{x^2 - 8x + 25}

Türev alabilmek için fonksiyonun tek bir değişkene (

x

'e) bağlı olması gerekir.

Uzaklık fonksiyonunu minimum yapmak için karekökün içindeki ifadenin türevini alıp sıfıra eşitleyiniz.

f(x) = x^2 - 8x + 25 \implies f'(x) = 2x - 8 = 0 \implies x = 4

Karekök fonksiyonu artan olduğundan, fonksiyonun en küçük değeri içindeki ifadenin en küçük olduğu noktada gerçekleşir.

Bulunan

x = 4

değerini uzaklık formülünde yerine yazarak en küçük uzaklığı hesaplayınız.

d(4) = \sqrt{4^2 - 8(4) + 25} = \sqrt{16 - 32 + 25} = \sqrt{9} = 3

birim

Minimum değeri veren

x

noktasındaki fonksiyon değerini bulmak için yerine koyma işlemi yapılır.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü yardımıyla tek değişkene indirgenen fonksiyonun türevi kullanılarak minimum değerinin bulunması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru