Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Aşağıda sınırları verilen sınırlı bölgelerin alanlarını, bu alanları veren doğru belirli integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

  • Dik koordinat düzleminde y=x2−2xy = x^2 - 2x ve y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı∫04(8x−2x2) dx\int_{0}^{4} (8x - 2x^2) \, dx
  • Dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında x≥0x \geq 0 için kalan sınırlı bölgenin alanı∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx
  • Dik koordinat düzleminde x=y2−1x = y^2 - 1 parabolü ile x=y+1x = y + 1 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı∫−12(2+y−y2) dy\int_{-1}^{2} (2 + y - y^2) \, dy

Cevap

Birinci bölge integral olan 8x - 2x^2 fonksiyonunun 0'dan 4'e integraliyle; ikinci bölge 4x - x^3 fonksiyonunun 0'dan 2'ye integraliyle; üçüncü bölge ise 2 + y - y^2 fonksiyonunun -1'den 2'ye y'ye göre integraliyle eşleşir.
Verilen her üç durumda da integral sınırları, eğrilerin kesişim noktalarının çözülmesiyle doğru bir şekilde elde edilmiştir. x eksenine göre integral alınan ilk iki durumda üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılmış; y eksenine göre integral alınan üçüncü durumda ise sağdaki doğrudan soldaki parabol çıkarılarak doğru integraller eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşleşme için parabollerin kesim noktalarını bulmak üzere denklemleri eşitleyin.
x2−2x=6x−x2⇒2x2−8x=0⇒x(2x−8)=0x^2 - 2x = 6x - x^2 \Rightarrow 2x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(2x - 8) = 0 denkleminden sınırlar x=0x = 0 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Belirli integralin alt ve üst sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktalarının apsisleri gereklidir.
2
İlk aralıkta hangi parabolün üstte olduğunu belirleyip alan integralini kurun.
[0,4][0, 4] aralığında y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolü üstte, y=x2−2xy = x^2 - 2x parabolü alttadır. Buradan alan ∫04((6x−x2)−(x2−2x)) dx=∫04(8x−2x2) dx\int_{0}^{4} ((6x - x^2) - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{4} (8x - 2x^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen farkın sınır değerleri arasındaki integraline eşittir.
3
İkinci eşle��me için x≥0x \geq 0 koşulunda kübik eğri ile doğrunun kesim noktalarını bulun ve integralini oluşturun.
x3−3x=x⇒x3−4x=0⇒x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 2)(x + 2) = 0 denkleminden x≥0x \geq 0 için sınırlar x=0x = 0 ve x=2x = 2 bulunur. Bu aralıkta y=xy = x doğrusu üstte olduğundan alan ∫02(x−(x3−3x)) dx=∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (x - (x^3 - 3x)) \, dx = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Bölgenin sağlandığı aralıkta üstteki doğrunun denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak alan integrali kurulur.
4
Üçüncü eşleşme için y değişkenine göre entegrasyon yapmak üzere kesim noktalarının ordinatlarını bulun.
y2−1=y+1⇒y2−y−2=0⇒(y−2)(y+1)=0y^2 - 1 = y + 1 \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow (y - 2)(y + 1) = 0 denkleminden sınırlar y=−1y = -1 ve y=2y = 2 olarak bulunur. Aralıkta sağdaki doğru (x=y+1x = y + 1), soldaki parabolden (x=y2−1x = y^2 - 1) büyük olduğundan alan ∫−12((y+1)−(y2−1)) dy=∫−12(2+y−y2) dy\int_{-1}^{2} ((y + 1) - (y^2 - 1)) \, dy = \int_{-1}^{2} (2 + y - y^2) \, dy şeklinde yazılır.
y eksenine göre alan hesaplanırken integral sınırları kesim noktalarının ordinatlarıdır ve sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla x veya y değişkenlerine göre ifade etme.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru