Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMaksimum ve Minimum Problemleri

Eni 10 cm10\text{ cm} ve boyu 16 cm16\text{ cm} olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun dört köşesinden birer kenar uzunluğu x cmx\text{ cm} olan eş kareler kesilerek çıkartılıyor. Kalan karton parçası katlanarak üstü açık bir dikdörtgenler prizması biçiminde bir kutu yapılıyor. Bu kutunun hacminin alabileceği en büyük değer kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevap: 144

Cevap

Kutunun alabileceği en büyük hacim 144 cm³'tür.
Kutunun hacim fonksiyonu V(x)=4x3−52x2+160xV(x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x olup, tanım aralığı 0<x<50 < x < 5 şeklindedir. Fonksiyonun türevinin bu aralıktaki tek kökü x=2x = 2 olduğundan maksimum hacim V(2)=144 cm3V(2) = 144\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kutunun boyutlarını belirleyip hacim fonksiyonunu x cinsinden yazın.
Kutunun yüksekliği xx cm, taban kenarları ise 10−2x10 - 2x cm ve 16−2x16 - 2x cm olur. Hacim fonksiyonu V(x)=x(10−2x)(16−2x)=4x3−52x2+160xV(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x olarak elde edilir.
Kutunun hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
2
Kutunun boyutlarının fiziksel olarak tanımlı olabilmesi için x değişkeninin tanım kümesini belirleyin.
Kenar uzunlukları pozitif olmalıdır: x>0x > 0, 10−2x>0  ⟹  x<510 - 2x > 0 \implies x < 5 ve 16−2x>0  ⟹  x<816 - 2x > 0 \implies x < 8. Buradan tanım kümesi (0,5)(0, 5) aralığı olarak bulunur.
Uzunluk ölçüleri negatif veya sıfır olamaz.
3
Hacim fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulun.
V′(x)=12x2−104x+160=0  ⟹  3x2−26x+40=0V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 0 \implies 3x^2 - 26x + 40 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri x=2x = 2 ve x=203x = \frac{20}{3} olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevin sıfır olduğu kritik noktalarda aranır.
4
Bulunan kritik noktaları tanım kümesi yönünden inceleyin ve maksimum hacmi hesaplayın.
x=203≈667x = \frac{20}{3} \approx 6{}67 değeri (0,5)(0, 5) tanım aralığının dışındadır. Bu nedenle tek geçerli kritik nokta x=2x = 2 olur. Hacim fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında maksimum hacim V(2)=2⋅(10−4)⋅(16−4)=144V(2) = 2 \cdot (10 - 4) \cdot (16 - 4) = 144 olarak bulunur.
Maksimum hacim, geçerli tanım kümesindeki tek yerel maksimum noktası olan x = 2 değerinde elde edilir.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde türev kullanılarak optimizasyon yapılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru