Analitik düzlemde sınırları verilen bazı kapalı bölgeler sol sütunda, bu bölgelerin alanla… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Analitik düzlemde sınırları verilen bazı kapalı bölgeler sol sütunda, bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral ifadeleri ise sağ sütunda karışık olarak verilmiştir. Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki doğru integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

$y = x^2$ parabolü ile $y = 2x$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölge $\int_0^2 (2x - x^2) \, dx$
$y = x^2$ ve $y = 8 - x^2$ parabolleri arasında kalan sınırlı bölge $\int_{-2}^2 (8 - 2x^2) \, dx$
$x = y^2$ parabolü ile $x = y + 2$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölge $\int_{-1}^2 (y + 2 - y^2) \, dy$

Cevap

y = x^2

ile

y = 2x

bölgesi

\int_0^2 (2x - x^2) \, dx

integraliyle;

y = x^2

ile

y = 8 - x^2

bölgesi

\int_{-2}^2 (8 - 2x^2) \, dx

integraliyle;

x = y^2

ile

x = y + 2

bölgesi ise

\int_{-1}^2 (y + 2 - y^2) \, dy

integraliyle eşleşir.

Her bir bölge için sınır eğrilerinin kesişim noktaları cebirsel olarak doğru hesaplanmış ve integral sınırları olarak atanmıştır. Ardından, verilen aralıklarda hangi eğrinin üstte (veya sağda) yer aldığı tespit edilerek doğru integral ifadeleriyle eşleştirme yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

Birinci bölge için kesim noktalarını ve üstteki fonksiyonu belirleyin.

Kesim noktaları

x=0

x=2

; üstteki fonksiyon

y=2x

İntegrasyon sınırlarını ve integrandın işaretini belirlemek için eğrilerin kesişim noktaları ve birbirlerine göre konumları bulunur.

İkinci bölge için kesim noktalarını ve üstteki fonksiyonu belirleyin.

Kesim noktaları

x=-2

x=2

; üstteki fonksiyon

y=8-x^2

İki parabol arasındaki bölgenin alanını hesaplarken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.

Üçüncü bölge için değişkeni

y

seçerek sınırları ve sağdaki fonksiyonu belirleyin.

Kesim noktaları

y=-1

y=2

; sağdaki fonksiyon

x=y+2

Eğriler

y

değişkenine bağlı olarak daha kolay ifade edildiğinden entegrasyon

y

eksenine göre yapılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral kullanılarak ifade edilmesi ve hesaplanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru