Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMaksimum ve Minimum Problemleri

Dik koordinat düzleminde, dik kenarları koordinat eksenleri üzerinde olan ve hipotenüsü P(1,8)P(1, 8) noktasından geçen birinci bölgedeki bir dik üçgenin alanı en az kaç birimkaredir?

  1. A
    8
  2. B
    12
  3. 16Cevap
  4. D
    18
  5. E
    24

Cevap

16
Doğru cevap 16 birimkaredir. Hipotenüsü P(1,8)P(1, 8) noktasından geçen ve dik kenarları koordinat eksenleri üzerinde olan dik üçgenin alan fonksiyonu A(a)=4a2a−1A(a) = \frac{4a^2}{a-1} şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde kritik nokta a=2a = 2 olarak bulunur. Fonksiyonda a=2a = 2 yazıldığında en küçük alan değeri 16 birimkare elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin eksenleri kestiği noktaları belirleyerek hipotenüs doğrusunun denklemini yazma
Dik üçgenin köşeleri A(a,0)A(a, 0) ve B(0,b)B(0, b) olsun (a>1,b>0a > 1, b > 0). Bu noktalardan geçen hipotenüs doğrusunun denklemi xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 olur.
Hipotenüs doğrusunun üzerindeki noktaları ilişkilendirmek için doğru denklemi yazılmalıdır.
2
P(1,8)P(1, 8) noktasını doğru denkleminde yerine yazarak bb değişkenini aa cinsinden ifade etme
1a+8b=1  ⟹  8b=1−1a=a−1a  ⟹  b=8aa−1\frac{1}{a} + \frac{8}{b} = 1 \implies \frac{8}{b} = 1 - \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} \implies b = \frac{8a}{a-1} elde edilir.
Alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı hale getirmek için değişkenler arasında bağıntı kurulur.
3
Üçgenin alan fonksiyonunu oluşturma
Alan(a)=a⋅b2=a2⋅8aa−1=4a2a−1Alan(a) = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{8a}{a-1} = \frac{4a^2}{a-1} bulunur.
Türev yardımıyla en k��çük değeri bulmak için alan fonksiyonu tanımlanmalıdır.
4
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulma
Alan′(a)=8a(a−1)−4a2⋅1(a−1)2=4a2−8a(a−1)2=0  ⟹  4a(a−2)=0Alan'(a) = \frac{8a(a-1) - 4a^2 \cdot 1}{(a-1)^2} = \frac{4a^2 - 8a}{(a-1)^2} = 0 \implies 4a(a-2) = 0 olur. a>1a > 1 olduğu için a=2a = 2 bulunur.
Fonksiyonun yerel ekstremum (minimum) noktasını bulmak için türevinin kökleri incelenir.
5
Kritik noktayı alan fonksiyonunda yerine yazarak en küçük alan değerini hesaplama
Alan(2)=4(22)2−1=16Alan(2) = \frac{4(2^2)}{2-1} = 16 birimkare elde edilir.
Minimum alanın sayısal değerini bulmak için elde edilen a=2a = 2 değeri fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması

Alternatif Yöntem

Aritmetik ve Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AO-GO) kullanılarak da çözülebilir: 1a+8b=1≥28ab  ⟹  1≥32ab  ⟹  ab≥32\frac{1}{a} + \frac{8}{b} = 1 \geq 2\sqrt{\frac{8}{ab}} \implies 1 \geq \frac{32}{ab} \implies ab \geq 32 olur. Buradan üçgenin alanı Alan=ab2≥16\text{Alan} = \frac{ab}{2} \geq 16 olarak doğrudan elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru