Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMaksimum ve Minimum Problemleri

Bir turizm şirketi, düzenleyeceği bir kültür turu için kişi başı ücreti 3000 TL3000 \text{ TL} olarak belirlemiştir. Bu tura en fazla 150 kişi katılabilmektedir. Tura katılan kişi sayısı 80'den fazla olduğunda, 80'in üzerindeki her bir kişi için tüm katılımcılara ki��i başı 15 TL15 \text{ TL} indirim yapılacaktır.

Buna göre, bu tura kaç kişi katılırsa şirketin elde edeceği toplam gelir en fazla olur?

  1. A
    100
  2. B
    120
  3. C
    130
  4. 140Cevap
  5. E
    150

Cevap

Toplam gelirin en fazla olması için tura 140 kişi katılmalıdır.
Toplam geliri modelleyen R(x)=4200x−15x2R(x) = 4200x - 15x^2 fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde elde edilen 140140 değeri, şirkete en yüksek geliri sağlayan katılımcı sayısıdır. Bu değer turun kapasite sınırı olan 150 değerini aşmadığından geçerli çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Katılımcı sayısına bağlı olarak kişi başı bilet fiyatını veren cebirsel ifadeyi oluşturun.
Tura katılan kişi sayısı xx olsun (80<x≤15080 < x \le 150). 80'in üzerindeki katılımcı sayısı x−80x - 80 olur. Bu durumda kişi başı bilet fiyatı 3000−15(x−80)=4200−15x TL3000 - 15(x - 80) = 4200 - 15x \text{ TL} olarak belirlenir.
Toplam geliri bulmak için öncelikle bilet fiyatının katılımcı sayısına bağlı denklemini yazmamız gerekir.
2
Toplam gelir fonksiyonunu (R(x)R(x)) kurun.
R(x)=x⋅(4200−15x)=4200x−15x2R(x) = x \cdot (4200 - 15x) = 4200x - 15x^2 elde edilir.
Toplam gelir, toplam katılımcı sayısı ile kişi başı bilet fiyatının çarpılmasına eşittir.
3
Gelir fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı hesaplayın.
R′(x)=4200−30xR'(x) = 4200 - 30x olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde 4200−30x=0  ⟹  30x=4200  ⟹  x=1404200 - 30x = 0 \implies 30x = 4200 \implies x = 140 bulunur.
Fonksiyonun yerel maksimum değerini araştırmak için türevin sıfır olduğu kritik noktayı bulmalıyız.
4
Bulunan kritik noktanın sınır koşullarını sağladığını ve geliri maksimum yaptığını doğrulayın.
x=140x = 140 değeri 80<x≤15080 < x \le 150 tanım aralığındadır. R′′(x)=−30<0R''(x) = -30 < 0 olduğundan bu noktada fonksiyon maksimum değerini alır.
Kritik noktanın fiziksel sınırları aşmadığından ve yerel maksimum noktası olduğundan emin olunmalıdır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum-minimum problemlerinin modellenmesi ve çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Türev kullanmak yerine, elde edilen R(x)=−15x2+4200xR(x) = -15x^2 + 4200x fonksiyonunun kolları aşağı doğru olan bir parabol belirttiği görülebilir. Bu fonksiyonun maksimum değeri tepe noktasının apsisinde (rr) gerçekleşir. Buradan r=−b2a=−42002⋅(−15)=140r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4200}{2 \cdot (-15)} = 140 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru