Dik koordinat düzleminde, x = y^2 - 2 parabolü ile x = y doğrusu arasında kalan sınırlı bö… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $x = y^2 - 2$ parabolü ile $x = y$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Sınırlı bölgenin alanı \frac{9}{2} birimkaredir.

Eğrilerin kesim noktaları olan

y = -1

y = 2

sınırları arasında, sağda yer alan

x = y

doğrusundan solda yer alan

x = y^2 - 2

parabolü çıkarılarak integral alındığında alan

\frac{9}{2}

birimkare olarak bulunur. Bu durum sınırlı bölgenin alanını tam ve doğru şekilde verir.

Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.

y^2 - 2 = y \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow (y - 2)(y + 1) = 0

İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin hangi noktalarda kesiştiğini saptamak gerekir.

Kesişim noktalarından belirli integralin sınırlarını elde edin.

y_1 = -1

y_2 = 2

Bu sınırlar, sınırlı bölgenin

y

ekseni üzerindeki alt ve üst sınırlarını oluşturur.

[-1, 2]

aralığında hangi eğrinin sağda (daha büyük

x

değerine sahip) olduğunu belirleyin.

y = 0

için

x = 0

(doğru) ve

x = -2

(parabol) olduğundan, doğru (

x = y

) parabolün (

x = y^2 - 2

) sağındadır.

Alanı hesaplarken integral içinde sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılmalıdır.

Belirli integrali kurup hesaplayın.

A = \int_{-1}^{2} [y - (y^2 - 2)] \, dy = \int_{-1}^{2} (-y^2 + y + 2) \, dy = \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 2y \right]_{-1}^{2} = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}

İki eğri arasında kalan alan, sağdaki eğrinin denkleminden soldakinin çıkarılmasıyla elde edilen farkın integraline eşittir.

İki eğri arasında kalan alan hesaplanırken, kesim noktaları bulunarak integral sınırları belirlenir.

y

değişkenine göre entegrasyon yapıldığında sağdaki eğrinin denkleminden soldaki eğrinin denklemi çıkarılarak integral hesabı gerçekleştirilir.

Soru