Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMaksimum ve Minimum Problemleri

Bir teknoloji şirketi ürettiği bir yazılım lisansından elde edece��i kârı en üst düzeye çıkarmak istemektedir. Bu yazılımın xx bin adet satılması durumunda elde edilecek toplam gelir ve toplam maliyet fonksiyonları sırasıyla,

R(x)=−2x2+30x+10R(x) = -2x^2 + 30x + 10
C(x)=19(3x−3)3−11x2+48x−40C(x) = \frac{1}{9}(3x-3)^3 - 11x^2 + 48x - 40

bin TL olarak modellenmiştir. Buna göre, bu şirketin elde edebileceği maksimum kâr kaç bin TL'dir?

  1. A
    29
  2. B
    41
  3. 53Cevap
  4. D
    47
  5. E
    35

Cevap

Maksimum kâr 53 bin TL'dir.
Toplam gelir fonksiyonundan toplam maliyet fonksiyonu çıkarılarak kâr fonksiyonu P(x)P(x) elde edilir. P(x)P(x) fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen köklerden yerel maksimum noktası olan x=3x = 3 değeri kâr fonksiyonunda yerine yazıldığında maksimum kâr 53 bin TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kâr fonksiyonunu (P(x)P(x)) toplam gelir fonksiyonundan (R(x)R(x)) toplam maliyet fonksiyonunu (C(x)C(x)) çıkararak elde ediniz.
P(x)=R(x)−C(x)=(−2x2+30x+10)−(19(3x−3)3−11x2+48x−40)=−19(3x−3)3+9x2−18x+50P(x) = R(x) - C(x) = (-2x^2 + 30x + 10) - (\frac{1}{9}(3x-3)^3 - 11x^2 + 48x - 40) = -\frac{1}{9}(3x-3)^3 + 9x^2 - 18x + 50
Kârı en üst düzeye çıkaran noktayı bulmak için öncelikle kâr fonksiyonunu tanımlamamız gerekir.
2
Kâr fonksiyonunun türevini (P′(x)P'(x)) zincir kuralını uygulayarak alınız.
P′(x)=−19⋅3(3x−3)2⋅3+18x−18=−(3x−3)2+18x−18=−9x2+36x−27P'(x) = -\frac{1}{9} \cdot 3(3x-3)^2 \cdot 3 + 18x - 18 = -(3x-3)^2 + 18x - 18 = -9x^2 + 36x - 27
Maksimum veya minimum değerlerin adaylarını bulmak için fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan kritik noktaları bulmalıyız.
3
Türev fonksiyonunu sıfıra eşitleyip köklerini bulunuz.
−9x2+36x−27=0  ⟹  x2−4x+3=0  ⟹  (x−1)(x−3)=0  ⟹  x=1-9x^2 + 36x - 27 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1 veya x=3x = 3
Türevin sıfır olduğu noktalar fonksiyonun yerel ekstremum noktalarıdır.
4
Türev işaret tablosunu inceleyerek hangi kritik noktanın yerel maksimum olduğunu belirleyiniz.
x=3x = 3 noktasında fonksiyon artanlıktan azalanlığa geçtiği için yerel maksimumdur.
Maksimum kârı elde etmek için yerel maksimum noktasını tespit etmeliyiz.
5
Belirlenen yerel maksimum noktasını kâr fonksiyonunda yerine yazıp maksimum kârı hesaplayınız.
P(3)=−19(9−3)3+9(3)2−18(3)+50=−24+81−54+50=53P(3) = -\frac{1}{9}(9-3)^3 + 9(3)^2 - 18(3) + 50 = -24 + 81 - 54 + 50 = 53 bin TL
Maksimum kâr miktarını bulmak için x=3x = 3 değerini kâr fonksiyonuna yerleştiririz.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü

Alternatif Yöntem

Kârın maksimum olması için marjinal gelirin marjinal maliyete eşit olması gerekir, yani R′(x)=C′(x)R'(x) = C'(x) eşitliği doğrudan çözülerek de x=3x = 3 kritik noktası bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru