Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanan aşağıdaki bölgeleri, bu bölgelerin alanlarını veren doğru belirli integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

  • y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge I)∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx
  • y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölge (Bölge II)∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx
  • y=4−x2y = 4 - x^2 parabolü ile y=x+2y = x + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge III)∫−21(2−x−x2) dx\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx

Cevap

Bölge I için integral ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx, Bölge II için integral ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx, Bölge III için integral ∫−21(2−x−x2) dx\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx olmalıdır.
Her üç bölgenin de alan formülleri doğru bir şekilde kesişim noktaları alt ve üst sınır alınarak ve üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak oluşturulmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölgelerin sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktalarını bulunuz.
x2=2x  ⟹  x=0,2x^2 = 2x \implies x = 0, 2; x=x2  ⟹  x=0,1\sqrt{x} = x^2 \implies x = 0, 1 ve 4−x2=x+2  ⟹  x=−2,14-x^2 = x+2 \implies x = -2, 1 kesişim sınırları elde edilir.
Belirli integralin alt ve üst sınırlarını tespit etmek için sınır eğrilerinin kesim noktaları bulunmalıdır.
2
Her bir bölge için hangi eğrinin üstte hangisinin altta olduğunu belirleyiniz.
Bölge I'de y=2xy = 2x üstte, y=x2y = x^2 alttadır; Bölge II'de y=xy = \sqrt{x} üstte, y=x2y = x^2 alttadır; Bölge III'de y=4−x2y = 4-x^2 üstte, y=x+2y = x+2 alttadır.
İki eğri arasındaki alan hesaplanırken integral içi ifade üstteki eğri eksi alttaki eğri olarak yazılır.
3
Elde edilen sınırları ve integral içi ifadeleri birleştirerek integral gösterimlerini oluşturunuz.
Bölge I alanı ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx; Bölge II alanı ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx; Bölge III alanı ∫−21(2−x−x2) dx\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx integralleri ile eşleşir.
Belirli integral tanımı gereği ∫ab[f(x)−g(x)] dx\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx ifadesi alanı verir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla ifade edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru