Examkin

Soru

Zorluk: ZorMaksimum ve Minimum Problemleri

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=9−x2y = 9 - x^2 parabolü üzerindeki bir P(t,9−t2)P(t, 9-t^2) noktasından parabole bir teğet doğrusu çiziliyor. Bu teğet doğrusunun koordinat eksenleriyle sınırladığı birinci bölgedeki dik üçgenin alanı en az kaç birimkaredir?

  1. A
    333\sqrt{3}
  2. 12312\sqrt{3}Cevap
  3. C
    24324\sqrt{3}
  4. D
    25
  5. E
    27

Cevap

12312\sqrt{3}
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar türev yardımıyla belirlenip alan fonksiyonu oluşturulduğunda, alanın minimum değeri 12312\sqrt{3} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir teğet noktasını belirleme ve türev yardımıyla teğetin eğimini bulma.
P(t,9−t2)P(t, 9-t^2) noktası için teğetin eğimi m=f′(t)=−2tm = f'(t) = -2t olur.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasındaki türev değerine yani eğime ihtiyaç vardır.
2
Noktası ve eğimi bilinen teğet doğrusunun denklemini oluşturma.
y−(9−t2)=−2t(x−t)  ⟹  y=−2tx+t2+9y - (9-t^2) = -2t(x-t) \implies y = -2tx + t^2 + 9 doğrusu elde edilir.
Eksenleri kesen noktaları bulmak için teğet doğrusunun genel denklemi yazılmalıdır.
3
Teğet doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatlarını hesaplama.
x=0x=0 için B(0,t2+9)B(0, t^2+9) ve y=0y=0 için A(t2+92t,0)A\left(\frac{t^2+9}{2t}, 0\right) noktaları bulunur.
Eksenlerle oluşturulan dik üçgenin dik kenar uzunluklarını belirlemek için kesim noktaları gereklidir.
4
Üçgenin alan fonksiyonunu tt değişkenine bağlı olarak yazma ve sadeleştirme.
S(t)=12⋅t2+92t⋅(t2+9)=14t3+92t+814tS(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2+9}{2t} \cdot (t^2+9) = \frac{1}{4}t^3 + \frac{9}{2}t + \frac{81}{4t} fonksiyonu elde edilir.
Minimum alan değerini bulmak i��in optimize edilecek tek değişkenli alan fonksiyonu kurulmalıdır.
5
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulma.
S′(t)=34t2+92−814t−2=0  ⟹  3t4+18t2−81=0  ⟹  t4+6t2−27=0  ⟹  t=3S'(t) = \frac{3}{4}t^2 + \frac{9}{2} - \frac{81}{4}t^{-2} = 0 \implies 3t^4 + 18t^2 - 81 = 0 \implies t^4 + 6t^2 - 27 = 0 \implies t = \sqrt{3} bulunur.
Fonksiyonun yerel minimum noktasını veren tt değerini saptamak için türevin kökü bulunur.
6
Bulunan kritik tt değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak minimum alanı hesaplama.
S(3)=(3+9)243=123S(\sqrt{3}) = \frac{(3+9)^2}{4\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} birimkare bulunur.
Problemde istenen en küçük alan değerine ulaşmak için kritik nokta fonksiyonda yerine konur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü, teğet doğrusu denklemi ve geometrik optimizasyon.
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru