Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminin birinci b��lgesinde; y2=4xy^2 = 4x parabolü, x=4x = 4 doğrusu ve xx ekseni arasında kalan sınırlı bölge, y=mxy = mx doğrusu ile alanları oranı 1:311:31 olan iki bölgeye ayrılıyor. Buna göre, mm pozitif gerçel sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

  1. 112\frac{1}{12}Cevap
  2. B
    124\frac{1}{24}
  3. C
    16\frac{1}{6}
  4. D
    116\frac{1}{16}
  5. E
    18\frac{1}{8}

Cevap

Değerlerin çarpımı 1/12'dir.
Birinci bölgede parabol, x ekseni ve x = 4 doğrusu arasındaki toplam alan 32/3 birimkaredir. Alanlar oranı 1:31 olduğundan küçük bölgenin alanı 1/3 birimkare olmalıdır. Doğrunun eğimi m >= 1 olduğunda üstte kalan alan 8/(3m^3) formülüyle bulunur ve buradan m = 2 elde edilir. Doğrunun eğimi 0 < m <= 1 olduğunda altta oluşan üçgenin alanı 8m olur ve buradan m = 1/24 elde edilir. Bu iki pozitif gerçel sayının çarpımı ise 1/12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrularla sınırlanan bölgenin toplam alanını hesaplama
S=323S = \frac{32}{3} birimkare
Bölgenin sınırlarını belirleyip belirli integral kullanarak toplam alanı bulmak için.
2
Alanları oranı 1:311:31 olan iki bölgeden küçük olanın alanını belirleme
Küçük bölgenin alanı S1=132S=13S_1 = \frac{1}{32} S = \frac{1}{3} birimkare
Toplam alan 32 parçaya bölündüğünde küçük parçanın payına düşen miktarı bulmak için.
3
y=mxy = mx doğrusunun bölgeden çıkış noktasına göre birinci durumu inceleme (m≥1m \ge 1)
m=2m = 2 değeri elde edilir.
Doğrunun parabolü x≤4x \le 4 aralığında kesmesi durumundaki alanı hesaplamak için.
4
y=mxy = mx doğrusunun bölgeden çıkış noktasına göre ikinci durumu inceleme (0<m≤10 < m \le 1)
m=124m = \frac{1}{24} değeri elde edilir.
Doğrunun x=4x = 4 düşey doğrusunu kesmesi durumundaki üçgensel alanı hesaplamak için.
5
Bulunan mm değerlerinin çarpımını hesaplama
2×124=1122 \times \frac{1}{24} = \frac{1}{12}
Soruda istenen çarpım değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı ve Doğru ile Alan Bölme
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru