Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMaksimum ve Minimum Problemleri

Bir peyzaj mimarı, yarıçapı 66 metre olan yarım daire biçimindeki bir park alanının içine dikdörtgen şeklinde bir yeşil alan tasarlayacaktır. Bu dikdörtgenin bir kenarı yarım dairenin çapı üzerinde, diğer iki köşesi ise yarım daire yayı üzerindedir. Buna göre, bu yeşil alanın alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

Cevap: 36 / 36 metrekare

Cevap

Tasarlanabilecek yeşil alanın alanı en fazla 36 metrekare olabilir.
Yarım daire içine yerleştirilen dikdörtgenin alanı A(x)=2x36−x2A(x) = 2x\sqrt{36-x^2} fonksiyonuyla ifade edilir. Bu fonksiyonun türevinin sıfır olduğu nokta x=32x = 3\sqrt{2} değeridir ve bu noktadaki alan en büyük değerine ulaşarak 3636 metrekare olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin boyutlarını yarım dairenin yarıçapı cinsinden ifade etmek için bir koordinat sistemi kurun veya değişkenleri belirleyin.
Yarım dairenin yarıçapı R=6R = 6 metredir. Dikdörtgenin merkezini orijin kabul edersek, dikdörtgenin yatay kenarının yarısı xx olsun. Bu durumda dikdörtgenin taban köşeleri (−x,0)(-x, 0) ve (x,0)(x, 0) noktalarında olur. Dikdörtgenin yüksekliği ise yarım dairenin sınır eğrisi olan y=36−x2y = \sqrt{36 - x^2} fonksiyonu ile belirlenir.
Dikdörtgenin alanını tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazabilmek amacıyla değişken tanımlaması yapılır.
2
Dikdörtgenin alan fonksiyonunu xx değişkenine bağlı olarak yazın.
Dikdörtgenin taban uzunluğu 2x2x ve yüksekliği y=36−x2y = \sqrt{36 - x^2} olduğundan, alan fonksiyonu A(x)=2x⋅36−x2A(x) = 2x \cdot \sqrt{36 - x^2} olarak elde edilir.
Maksimum değeri bulabilmek amacıyla türevi alınacak alan fonksiyonunu oluşturmak gerekir.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulun.
Alan fonksiyonunun karesini alarak veya doğrudan çarpımın türevi kuralını uygulayarak türevi alabiliriz. Doğrudan türev alırsak: A′(x)=236−x2+2x⋅−2x236−x2=236−x2−2x236−x2=2(36−x2)−2x236−x2=72−4x236−x2A'(x) = 2\sqrt{36-x^2} + 2x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{36-x^2}} = 2\sqrt{36-x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{36-x^2}} = \frac{2(36-x^2) - 2x^2}{\sqrt{36-x^2}} = \frac{72 - 4x^2}{\sqrt{36-x^2}} bulunur. Türevi sıfır yapan değer için pay sıfır olmalıdır: 72−4x2=0  ⟹  x2=18  ⟹  x=3272 - 4x^2 = 0 \implies x^2 = 18 \implies x = 3\sqrt{2} metre (genişlik pozitif olmalıdır).
Bir fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktalarda (yerel ekstremum) birinci türevi sıfırdır.
4
Bulunan xx değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı hesaplayın.
A(32)=2(32)36−(32)2=6218=62⋅32=36A(3\sqrt{2}) = 2(3\sqrt{2})\sqrt{36 - (3\sqrt{2})^2} = 6\sqrt{2}\sqrt{18} = 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 36 metrekare olarak bulunur.
Soruda istenen en büyük alan değerini elde etmek için kritik nokta fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru