Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Analitik düzlemde, f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x ve g(x)=2x−x2g(x) = 2x - x^2 fonksiyonlarının grafikleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    203\frac{20}{3}
  2. B
    133\frac{13}{3}
  3. 9Cevap
  4. D
    73\frac{7}{3}
  5. E
    413\frac{41}{3}

Cevap

9
İki parabolün kesim noktaları x=0x=0 ve x=3x=3 olarak bulunur. Bu aralıkta g(x)=2x−x2g(x) = 2x-x^2 parabolü üstte yer aldığından alan ∫03(g(x)−f(x)) dx=9\int_0^3 (g(x) - f(x)) \, dx = 9 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesim noktalarını belirlemek amacıyla iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleyin.
x2−4x=2x−x2  ⟹  2x2−6x=0  ⟹  2x(x−3)=0x^2 - 4x = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 6x = 0 \implies 2x(x - 3) = 0 denkleminden kesim noktalarının apsisleri x=0x = 0 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
İki eğri arasında sınırlanan bölgenin x eksenindeki sınırlarını tespit etmek için kesim noktaları hesaplanmalıdır.
2
Bulunan [0,3][0, 3] aralığında hangi eğrinin üstte olduğunu test edin.
x=1x = 1 için g(1)=1g(1) = 1 ve f(1)=−3f(1) = -3 olduğundan, [0,3][0, 3] aralığında g(x)≥f(x)g(x) \ge f(x)'dir.
Alan hesabında pozitif bir değer elde etmek için üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulmalıdır.
3
Eğriler arasında kalan alanı veren belirli integrali yazın.
A=∫03(g(x)−f(x)) dx=∫03(2x−x2−(x2−4x)) dx=∫03(6x−2x2) dxA = \int_0^3 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_0^3 (2x - x^2 - (x^2 - 4x)) \, dx = \int_0^3 (6x - 2x^2) \, dx
İki eğri arasındaki alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen farkın belirli integrali ile hesaplanır.
4
Belirli integrali hesaplayarak alan değerini bulun.
∫03(6x−2x2) dx=[3x2−23x3]03=(3(3)2−23(3)3)−0=(27−18)−0=9\int_0^3 (6x - 2x^2) \, dx = \left[ 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^3 = \left( 3(3)^2 - \frac{2}{3}(3)^3 \right) - 0 = (27 - 18) - 0 = 9 birimkare.
Newton-Leibniz kuralı gereğince ilkel fonksiyon bulunup sınırlar yerine yazılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral kullanılarak hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru